2025-2026学年华东师大版八年级数学上学期期末必刷常考题之直角三角形三边的关系

2025・2026学年上学期初中数学华东师大版八年级期末必刷常考

题之直角三角形三边的关系

一.选择题（共7小题）

1.（2025秋•曲靖期中）如图，在RtZXACB中，NC=90°,4D平分N84C,若BC=15,8。=10,则点

D到AB的距离是（）

10C.5D.4

2.（2025秋•沛县期中）在RtZXABC中，ZABC=90°,AC=2,则AF+BCZ+AC2的值为（）

A.4B.8C.12D.无法计算

3.（2025•秦都区校级模拟）如图，在5X7的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点

上，AO为△A8C的中线，则AO的长为（）

5V25V25>/105V10

A.——B.——C.----D.----

4242

4.（2025秋•开原市期中）如图，分别以直角三角形的三边向外作三个正方形，且3=81,9=225则S2

289C.306D.441

5.（2025秋•朝阳区校级期中）如图，在AABC中，ZC=90°,A。是△ABC的角平分线，于点

E,若BC=16,BD=10,则DE的长为（

D

6.（2024秋•高新区期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1,点4,B,C都在格点上，以A为圆

心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D,则C。的长为（）

C---1-----\--Z-）-

A.V13B.V5C.2.2D.3-V5

7.（2U25春•龙风区校级期末）如图，正方形A4CD的边长为2,具面积标记为31,以为斜边作等腰

直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律

继续下去，则S2O25的值为（）

D.（护22

二.填空题（共5小题）

8.（2025秋•开原市期中）如图，在△A8C中，AC=BC=4cmtAB=5cm,C。是AB边上的高，则CO的

长为是.

9.（2025秋•和平区校级期中）如图，在RlZX/lBC中，AB=6,BC=\0.。为人C边的中点，AELBD-f

点、F.则尸C的长度为_______________________

10.（2025春•武都区期末）如图，△A8C的顶点4,B,。在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上,

CDLAB于点D.则CD的长为

II.（2025秋•新津区校级期末）在△/WC中，已知NC=90°,AC=9,BC=\2,斜边AB上的高

是.

12.（2025秋•福田区校级期中）如图，在△A8C中，NABC=45°,AB=672,AC=8,BC>6,点E,F

分别在BC,AC边上，且4F=CE,则AE+8尸的最小值为.

三.解答题（共3小题）

13.（2025春•安阳县期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕

过定滑轮A,一端拴在滑块8上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑

块8的左右滑动来调节物体C的升降.实验初始状态如图1所示，物体。静止在直轨道上，物体。到

滑块3的水平距离是6力〃，物体C到定滑轮A的垂直距离是8力〃.（实验过程中，绳子始终保持绷紧状

态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计.）

（1）求绳子的总长度；

（2）如图2,若物体C升高入加，求滑块B向左滑动的距离.

14.（2025秋•宁波期中）如图，已知NO8=90°,AD,AE分别是△ABC的高线和中线.

（1）若48=5,AC=\2,求A。的长；

（2）若N8=64°,求NQAE

15.（2025春•海淀区校级期中）【模型建立】

“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问

题.

例：求代数式kF孕+J（12-4）2+22的最小值.

分析：VPK和J（12-“）2+22是勾股定理的形式,"7字是直角边分别是x和3的直角三角形的

斜边，—斜一无1+22是直角边分别是12-x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△

43c和△。£尸，并使直角边3c和E厂在同一直线上（图1）,向右平移直角△A4C使点3和£重合（图

2）,这时"=x+127=12,AC=3,DF=2,问题就变成“点8在线段的何处时，AB+QB最短？”

（1）代数式mr藜+«12-＞）2+22的最小值为

（2）变式训练：利用图3,求代数式k7+J（5-x）2+1的最小值;

【模型拓展】

（3）根据以上学习，解决问题：已知正数x满足5/36-产+，64-％2=io,求工的值.

20252026学年上学期初中数学华东师大版（2024）八年级期末必刷常考

题之直角三角形三边的关系

参考答案与试题解析

一,选择题（共7小题）

题号1234567

答案CBBADBD

一.选择题（共7小题）

1.（2025秋•曲靖期中）如图，在中，ZC=90°,4D平分N84C,若BC=15,8。=10,则点

。到AB的距离是（）

【考点】勾股定理；角平分线的性质.

【专题】计算题；推理能力.

【答案】C

【分析】过点。作由角平分线的性质可得OC=OE,根据B。，BC的长即可求解.

【解答】解：过点。作。E_LA8,如图；

•・・4。是角平分线,ZC=90°,

:.DC=DE,

VBC=I5,BD=T0,

：.DC=DE=\5-10=5.

・••点。到A8的距离是5.

故选：C.

【点评】本题考查角平分线的性质，理解点到直线的距离是解题关键.

2.（2025秋•沛县期中）在RlAABC中，ZABC=90°,AC=2,则AB，BC2+AC2的值为（)

A.4B.8C.12D.无法计算

【考点】勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】B

【分析】先根据勾股定理得到再代入人亦+^^+人不求值.

【解答】解：•・•在RtZ\A8C中，ZABC=90°,

・•・根据勾股定理得，A^+BC2=AC2,

VAC=2,

Z.AB2+BC2+AC2=2AC2=2X22=8,则AB^BC^+AC2的值为8,

故选：B.

【点评】本题考查了勾股定理，解题关键是掌握勾股定理并能熟练运用求解.

3.（2025•秦都区校级模拟）如图，在5X7的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点

上，A。为aABC的中线，则AD的长为（）

5725衣5同5\fio

A.-----B------C.------D.------

4242

【考点】勾股定理.

【专题】网格型；等腰三角形与直角三角形；应用意识.

【答案】B

【分析】根据勾股定理计算出三角形三边的长度，判断三角形是直角三角形，再根据斜边上的中线是斜

边的一半进行判断即可.

【解答】解：每个小正方形的边长均为1,

根据勾股定理可得：4解=22+62=40,AC2=32+12=IO,«C2=12+72=50,

:.AB1+AC2=BC2,

・•・△ABC是直角三角形，

VAD是斜边BC边上的中线，

：.AD=1BC=V50=^A/2.

故选：B.

【点评】本题考查勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关健.

4.（2025秋•开原市期中）如图，分别以直角三角形的三边向外作三个正方形，且Si=81,S3=225则S2

【考点】勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形：矩形菱形正方形.

【答案】A

【分析】由勾股定理结合正方形的面积公式可得：S2=S3-5I=225-81=144.

【解答】解：由勾股定理结合正方形的面枳公式可得：S2=53-SI=225-81=144,

故选：A.

【点评】本题考查/勾股定理，正方形的面积，熟记勾股定理与正方形的面积公式是解题的关键.

5.（2025秋•朝阳区校级期中）如图，在aABC中，ZC=90°,4。是AA8c的角平分线，0£_LA3于点

E,若3c=16,30=10,则的长为（）

A.3B.4C.5D.6

【考点】勾股定理；角平分线的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识.

【答案】D

【分析】由题意可求从而求出C7）=OE即可求出答案.

【解答】解：在△A8C中，ZC=90°,4。是△ABC的角平分线,

由题意得：ZC=ZAED=90°,NCAD=NDAE,

在△AC。和中，

=ZAED

，:\Z.CAD=Z.DAE^

Uo=AD

(4AS),

：・CD=DE,

・・.BC=16,BD=\0,

：.CD=BC-BD=\6-\0=6=DE,

故选：D.

【点评】本题主要考查三角形的角平分线、全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法

是解题的关键.

6.（2024秋•高新区期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1,点4,B,C都在格点上，以4为圆

心，A8为半径画弧，交最上方的网格线于点。，则C。的长为（）

A.V13B.V5C.2.2D.3-V5

【考点】勾股定理.

【专题】三角形；运算能力.

【答案】B

【分析】连接AQ，则AO=AB=3,在Rt^ACO中，利用勾股定理求解即可.

【解答】解：连接4D,

由题意知：AD=AB=3,

在Rt△人CO中，由勾股定理得:

CD=y/AD2-AC2=V32-22=6

故选：B.

【点评】本题主要考查了勾股定理，明确AO=AB=3是解题的关键.

7.（2025春•龙凤区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为2,其面积标记为Si,以CO为斜边作等腰

直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律

继续下去，则S2O25的值为（）

0

AI-------\B

A.《）2020B.（与）2021

C.（¥）2。23D.（1）2022

【考点】勾股定理；规律型：图形的变化类.

【专题】规律型；创新意识.

【答案】D

【分析】由特殊情况总结出一般规律，即可得到答案.

【解答】解：•・•正方形A8CO的边长为2,

：.S\=DC-=4,

•••△OEC是等腰直角三角形，

/.2DE2=DC2=SI,

：,S2=ED2=^,

同理：S3=2s2=

按照此规律继续下去，则52025=品=品=壶，即$2025=（^）2022

故选：D.

【点评】本题考查勾股定理，规律型：图形的变化类，关键是由特殊情况总结出一般规律.

二,填空题（共5小题）

8.（2025秋•开原市期中）如图，在△A8C中，AC=BC=4cm,AB=5cm,C。是48边上的高，则CD的

长为是

c

【考点】勾股定理；等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

aV39

【答案】—.

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得出4。的长，再根据勾股定理即可求解.

【解答】解：・・・AC=BC=4CM,AB=5cm,CO是AB边上的高,

15

-一

22

在RtaACO中，由勾股定理得，

CD=y/AC2-AD2=学，

V39

故答案为：

【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形三线合一的性质，熟记勾股定理，等腰三角形三线合一的性

质是解题的关键.

9.（2025秋•和平区校级期中）如图，在RtZkABC中，A8=6,BC=10.。为AC边的中点，AELBDT

点立则bC的长度为竺.

【考点】勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】^V13.

【分析】过点/作于点”，对RlAABC,RtA/lDF,RtADFW,运用勾股定理以及

等面积法进行求解即可.

【解答】解：如图，过点”作/77L4C于点H,

在RtZXABC中,A5=6,BC=10,

由勾股定理得AC=y/BC2-AB2=8,

•・•。为AC边的中点，

，AO=CO=4,

在直角三角形A8O中，/DAB=9（T,

由勾股定理得BD=yiAD2+AB2=<42+62=26，

11

*：-AD*AB=/D・AF,

22

•.„AD-BA12rr-Q

在直角三角形AZ）/中，由勾股定理得DF=7AD?一。尸2=）后,

JO

・1=1WIur"FOF24

,•同理HF=R-=TT

在直角三角形。"/中，由勾股定理得DH=2一F〃2=搜

・・・C〃=C£>+O”=逐

在直角三角形中，由勾股定理得CF=7cH2+FH2=1g,

•LO

20/

故答案为：—5/13.

JLJ

【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积，熟练运用勾股定理求解是解题的关键.

10.（2025春•武都区期末）如图，△A8C的顶点A,B,。在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上,

13

CDA.AR于点D.则CD的长为0.

5

【考点】勾股定理.

【专题】网格型；几何直观.

【答案】称.

【分析】根据割补法求出8c的面积，再由勾股定理求出43的长，再根据三角形的面枳公式求解.

【解答】解：SA43c=4X4-2x4xl—^x3xl—ix3X4=

乙乙乙乙

AB=V32+42=5,

113

AB-CD=—，

22

・・•CfD=丁13，

故答案为：

【点评】本题考查了勾股定理，运用割补法求出三角形ABC的面积是解题的关键.

36

11.（2025秋・新津区校级期末）在448。中，已知/。=90°,4。=9,8。=12,斜边48上的高是二.

【考点】勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形：运算能力；推理能力.

__,_36

【答案】—.

【分析】设斜边A8上的高是人由勾股定理求出A8=15,再由三角形面积求出力的值即可.

【解答】解：设斜边43上的高是人，

VZC=90°,AC=9,4c=12,

：.AB=>JAC2+BC2=V92+122=15,

VSAABC="B•仁聂C・3C,

•,ACxBC9x1236

••仁T=-TTF

0/2

即斜边AB上的高是w，

故答案为：当.

【点评】本题考查了勾股定理以及三角形面积，根据勾股定理求出A8的长是解题的关键.

12.（2025秋•福田区校级期中）如图，在△ABC中，NA8C=45°,AB=6y[2,AC=8,BC>6,点、E,F

分别在4C,AC边上，且AP=CE,贝U4E+8F的最，卜值为2同

B

【考点】勾股定理.

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】2V58.

【分析】过A点作4G〃8C,截取4G=AC,连接/G,BG,过8作8R_LAG,交AG的反向延长线于

R,则NR3C=N8R4=9(r,利用SAS证明可求得AE+8P的最小值即为8G的长，再

结合等腰直角三角形的性质及勾股定理可求解.

【解答】解：过人点作AG〃BC,截取八G=/1C,连接/G,BG,过B作8RJ_4G,交AG的反向延长

线于R,则/RBC=NBRA=90°,

AZGAF=ZACE,

在△人尸G和中，

AG=AC

Z.GAF=Z.ACE,

AF=CE

/.△AFG^ACFA(SAS),

：,GF=AE,

：.AE+BF的最小值，即为BG的长,

VZAZ/C=45°,

・・・NRAB=NEBA=45°,

'：AB=6V2,

:,BR=AR=6,

•・・AC=8,

・・・AG=4C=8,

AG=AA+AG=6+8=14,

・・・BG=>/BR2+RG2=V62+142=2758,

即AE+BF的最小值为2班.

【点评】本题主要考杳全等三角形的性质与判定，线段的性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识的综

合运用，判断AE+BF的最小值即为BG的长是解题的关键.

三.解答题（共3小题）

13.（2025春•安阳县期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕

过定滑轮A,一端拴在滑块8上，另一端拴在物体C上，滑块8放置在水平地面的直轨道上，通过滑

块8的左右滑动来调节物体C的升降.实验初始状态如图1所示，物体。静止在直轨道上，物体。到

滑块3的水平距离是&//〃，物体。到定滑轮A的垂直距离是8力〃.（实验过程中，绳子始终保持绷紧状

态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计.）

（I）求绳子的总长度；

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论：

（2）根据勾股定理和线段的和差即可得到结论.

【解答】解；（1）根据题意得从。=84〃，DC=6dm,NAC"=90°,

：.AB=>JAC24-BC2=10（dm）,

・・.AB+4C=IO+8=18（Jw）,

答：绳子的总长度为18d〃?；

（2）如图,

A

根据题意得N4DB=90°,AD=8c加，CD=Jdm,AB=(10+7)dm,

：・BD=y/AB2-AD2=V172-82=15(dm),

：.BE=BD-DE=\5-6=9(如),

答：滑块3向左滑动的距离为％加.

【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

14.(2025秋•宁波期中)如图，已知NC4B=90°,AD,AE分别是的高线和中线.

(1)若AB=5,AC=12,求A£)的长；

(2)若N8=64°,求NOAE.

【考点】勾股定理；角的计算：三角形的角平分线、中线和高.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】⑴3

JLJ

(2)38°.

【分析】(1)根据勾股定理求出“C,再根据三角形面积公式求出AQ；

(2)根据直角三角形的性质求出NC,根据直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质得到

NEAC=NC=26。，再根据三角形的外角性质、直角三角形的性质计算，得到答案.

【解答】解：(1)在中，AB=5,AC=12,

由勾股定理得：BC=>/AB2+AC2=V52+122=13,

S^ABC=^AB*AC=^BC*AD,

.4八ABAC5x1260

•MD=~^=—=I3;

(2)在RtZ\C4B中，NB=64°,AE是△ABC的中线，

1

AZC=90°-ZB=90°-64°=26°,AE=3BC=EC,

・・・NE4C=NC=26°,

ZAED=ZEAC+ZC=52°,

：.ZDAE=90°-ZAED=W-52°=38°.

【点评】本题考杳的是勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质，如果直角三角形的两条直角边长分

别是a,b,斜边长为c,那么°2+b2=c2.

15.（2025春•海淀区校级期中）【模型建立】

“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问

题.

例：求代数式衍存+J（12—%）2+22的最小值.

分析："T不和J（12-乃2+22是勾股定理的形式,标手是直角边分别是汇和3的宜角三角形的

斜边，，（斜一外2+22是直角边分别是12-x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△

ABC和△OE尸，并使直角边8c和EF在同一直线上（图1）,向右平移直角△ABC使点B和石重合（图

2）,这时CF=x+12-x=12,4C=3,DF=2,问题就变成“点8在线段C口的何处时，AB+DB最短？”

根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值.

图1图2图3

【模型应用】

（I）代数式收+32+）（12一x）2+22的最小值为」3；

（2）变式训练：利用图3,求代数式+J（5-x）2+1的最小值;

【模型拓展】

（3）根据以上学习，解决问题：已知正数X满足V36—产+，64—阿=io,求x的值.

【考点】勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观：运算能力；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析1(1)根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可;

(2)根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可；

(3)先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可.

【解答】解：(1)VAff=3+2=5,”。=12,

：,AD=V52+122=13,

・,・62+32+，(12-%)2+22的最小值是13,

故答案为：13；

(2)VAC=2,DF=\,CF=5,A"=2+l=3,HD=5,

：,AD=V324-52=V34»

••・扬47+J(5—x)2+l的最小值是序;

(3)构造△ABC,CO_L8C于/),AC=6,BC=8,如图，

设CO=x,则/。=V36-X2,BD=V64-X2,

=V36-x2+V64-x2=10,

V62+82=102,

・・・NAC8=90°,

1