2025-2026学年四川省成都市某中学高二年级上册10月月考数学试卷（含答案）

2025-2026学年四川省成都市石室中学高二上学期10月月考

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知全集U={123,4,5,6},集合M={2,3,5},N={4,5},则Q（MUN）的非空真子集有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

2.设数据1,2,3,4,m的下四分位数为m,则实数m的取值范围是（）

A.[1,2]B.（1,2]C.[3,4]D.{2}

3.已知空间向量五=（2,—2,—1）,b=（3,0,1）,则向量E在向量G上的投影向量是（）

A.ly,-y,-|）B.（学，-学,一|）

3，吗）D.（噜。，喇

4.已知函数的=2）.>0,财Q）=（）

A.-2B.-1C.0D.1

5.连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件4="正面向上的次数大于反

面向上的次数”，事件用="第i次抛掷的结果为正面向上"（其中i=l,2）,则有（）

A.事件A与事件仇是互斥事件B.事件反与事件％是相互对立事件

C.PQ4UBi）>P（8]U/）D.P（4A3D=P（B1AB2）

6.如图所示，棱长为1的四面体木块，其四个面均为等边三角形，点P是AABC的中心，过点尸将木块锯

开，并使得截面平行于力。和8C,则下列关于截面的说法正确的个数为（）

①截面是矩形；

②载面的面积为余

③投面与侧面4的交线平行于侧面ACD.

A.0B.1C.2D.3

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7.如图，在直四棱柱48cz)-4BiGDi中，AB1AD,AB=AD=1,AAY>AB,E,广分别是侧棱BB1,

DDi上的动点,且平面AEF与平面718c所成角的大小为30。，则线段BE的长的最大值为()

8.现有5个正整数勺，x2,与，x4,x5,若这组数据的和为10,方差为0.4,则从这组数据中随机取1个

数，该数超过众数的概率为()

1n2厂3n4

AA.-B.-C.7D.—

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知复数为=1+i,Z2=-1+i，则()

A.zxz2=而•石

B.在复平面上，Z1Z2对应的向量与4对应的向量的夹角为3

c.\zxz2\=\z2\•%|

D.若|z+zi-1|=2,则忆|的最大值为3

10.下列结论正确的是()

A.若A(-2,3)、8(3,-2)、三点共线，则m的值为0

B.已知两点M(—3,4)、N(3,2),过点P(L0)的直线"与线段MN有公共点，则人的斜率k的取值范围为[一1,1]

C.已知点力(3,4),点B在坐标轴上，经过A8两点直线的方向向量为(1,2),则(0,—2)可以是点8的坐标

D.若两直线的倾斜角分别为斜率分别是右,42，口1V即，则向V电

11.如图，•个带有盖子的密闭圆台形铁桶中装有两个实心球(桶壁的厚度忽略不计)，其中•人球恰为铁桶

的内切球(与圆台的上，下底面及每条母线都相切的球)，E为该球与母线BC的切点.AB,CD分别为铁桶

上，下底面的直径，月SB〃CD,AB=2CD=4,F为启的中点，贝义)

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A.铁桶的母线长为3

B.铁桶的侧面积为18Tt

C.过D,E,F三点的平面与桶盖的交线与直线CD所成角的正切值为g

D.桶中另一个球的半径的最大值为20-V7

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若直线I的斜率为k,倾斜角为a且aw[%和，则k的取值范围是.

13.设48是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=：,P(万)=5,P(ZB+/1K)=J,则P(A+B)=

14.某公司为了调杳员工的体重(单位：千克)，因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，月按比例分层

随机抽样的方法抽取样本，已知抽取样本中所有员工体重的方差为120,其中女员工的平均体重为50,方

差为50,男员工的平均体重为70,方差为30.若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答防写出文字说明，讦明过程或演算步骤°

15.(本小题13分)

已知在△力BC中，角4B,C所对的边分别是a,b,c,且满足华tan普F二年b.

(1)求角C的大小；

(2)若44BC的外接圆半径为1,求4ABC面积的最大值.

16.(本小题15分)

云南师大附中在组织选拔数学英才班的过程中，对高一年级的300名学生进行了一次测试.已知参加此次

测试的学生的分数々(i=1,2,•••,300)全部介于45分到95分之间，学校将所有分数分成5组：

[45,55)/55,65),…，[85,95],整理得到如图所示的频率分布直方图(同组数据以这组数据的中间值作为代

表).

(1)求m的值，并估计此次校内测试分数的平均值M

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（2）学校要求按照分数从高到低选拔首100名的学生进行培训，试估计这100名学生的最低分数〔计算结果保

留一位小数）；

（3）试估计这300名学生的分数阳。=1,2,…,300）的方差s2,并判断此次得分为63分和86分的两名同学的成

绩是否进人到了3—s*+s]范围内？

（参考公式：-君2,其中方为各组频数，参考数据：/129«11.4）.

17.（本小题15分）

如图，在平行六面体力8。。-41坊的。1中，|而|=|而|=|彳1|=2,Z.AAAD=Z,AXAB=^,Z,BAD=

为4G和B]D1的交点.

⑴求|丽I；

（2）求平行六面体A8CD-4/IGDI的体积；

（3）设四面体&一48D外接球球心为。，求点B到平面OB©的距离.

18.（本小题17分）

抛掷一枚质地均匀的骰子.

（1）若连续抛掷3次，求“三个上底面点数之和为9”的概率；

（2）若将骰子六个面的点数改为两个1、两个2、两个3,现有一质点P在如图所示的正方形4BCD四个顶点上

按逆时针方向前进.规则如下：从A点出发，当骰子上底面出现的数字是1,质点P前进一步（如由力到8）；当

骰子上底面出现的数字是2,质点P前进两步（如由A到。），当骰子上底面出现的数字是3,质点P前进三步（

如由A到0）.在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止.求质点P恰好返回到A点的概率：

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(3)若随机事件B,C,C两两独立，则P(BCD)=P(B)P(C)P(D)是否一定成立？若一定成立，请证明，若不

•定成立，请用(2)中的骰子设计•个随机实验，举出具体反例来验证.

19.(本小题17分)

如图，四棱锥P-48CD的底面是边长为2的菱形，^ABC=l，PA=PC=>[2.

(1)证明：ACLPD：

(2)若直线P8与直线PO所成角的余弦值为浮，且|而|<|而求直线CD与平面PBC所成角的余弦值：

(3)若二面角P-48的正切值为第,P8<PD,平面a分别与侧棱P8,PC,PD,P4交于点E,F,M,G,且

BE=EP.'PF=l'PC,DM=MP,求面G8C与面4BCD所成夹角的余弦值.

3

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参考答案

\.c

2.A

3./

4.C

5.0

6.0

l.B

S.A

9.ACD

\0.AC

1IACD

12.(-8,-1]U[1,4-00)

14.63

15.解：⑴因为血鲁,nC=华

tanB+tanC_sin8cosc+cosBsinC_sin(B+C)_sin4a

所以

lanBsinficosCsin8coscsinScosCbcosC9

所以2a

bcosC一b'

所以cosC=

又C€(0,7T),

所以c=g；

(2)由(1)知，C=psinC=苧,

•J乙

由△力BC的外接圆半径为1,

所以肃=2,得c=6

a2+b2—c2a2+b2-31

又cosC=

2ab2ah2

所以M+Z?2_3=。匕,即小+〃=帅+3.

又因为a?+M之2ab,得ab+332ab,得QbW3,

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当且仅当a=b=，3时，等号成立，

所以Qb的最大值为3,

又因为S^BC=^absinC,

所以的最大值为;x3x苧=4

所以△ABC面积的最大值为孚.

4

16.解：(1)•/(0.0064-0.014+m+0.036+0.020)x10=1,所以m=0.024,

所以该次校内考试测试分数的平均数的估计值为：

50x0.06+60x0.144-70x0.24+80x0.36+90x0.2=75分.

(2)因为30婢0=0.06+0.14+0.24=0.44<|<0,8=0.06+0.14+0.24+0.36

设这100名学生的最低分数为Q，

则Q06+0.14+0.24+0.036(。-75)=解得a«81.3

所以这100名学生的最低分数的估计值为81.3分.

n

212

(3)vs=-VA(xt-7)

i=l

=0.06x(50-75)2+0.14x(60-75)2+0.24x(70-75)2+0.36x(80-75)2+0.2x(90-75)2

=129,

•••s=V129«11.4,x—s=63.6,x4-s=86.4»

故得分为63分的同学的成绩没有进入到［63.6,86.4］内，

得分为86分的同学的成绩进入到了［63.6,86.4］内.

即：得分为63分的同学的成绩没有进入到但—s,元+s］范围，

得分为86分的同学的成绩进入到［7-s,5+s］范围了.

17.［详解】（1）由题意得丽=西+瓦祈=西+g瓦仄=西+^廊+而）=-^AB+^AD+丽*,

因为|而|二|而|=\AA^\=2,LArAD=^ArAB=^,^BAD=.

所以|丽=荏+g而+再）2=；|画屣广+|瓯而而一通痂+而说

=1+14-4-0-2+2=6,

所以|的=AT6.

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(2)

设/L4]与底面所成的角度为仇公底面的投影为01，连接为。1，过4作4%148于E,再连接0便，

因为44遇。=44遇B=弓，所以01一定在4c上，由几何关系4810北，

2222

在Rt△&01E中，A1E=Ar0l4-0xE,即(2sin§=(2sin。)？+(2cosesin/,且siMe+cos?。=1,

联立可解得sin。=苧，所以六面体的前I。1=2x苧=，I,

所以六面体的体积为4YL

因为A48。为等腰直角三角形，所以4c与BD的交点。为其外接圆的圆心，

又0A=OB=0D=y[2,由(2)知0Ai=04sin45。=<2,

所以四面体为一48。外接球球心为。，^.OA2+OAj=AAj,即0AJL04，

又B力i=DAi且。是80的中点，则8D10A1，O/lnBO=0且04,80u平面48c0,

所以。4_L平面力8C0,以。为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则8(220),0(1,1,0),0(0,2,0)4(20,0),%(1,1,71),故8衣=乩=AAr=(-1,1,72),

-•-•T

所以则0B=(1,1,0),OB1=(0,2,©,。的=(一2,2,/1),

设平面08£的法向量为布=(3z),则,,呼=。=[2y+/ZZ=°,fc=/2,则m=

U.OC1=0l—2〉+2y+伍=。

(0,-1,72),

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所以点B到平面081cl的距离d=UU=*=芋

网

18.【详解】(1)由题意可知，连续抛掷3次结果共有216种，

设三次投掷的点数分别为x,y,z,则x+y+Z=9,x,y,ze{1,2,3,4,5,6},

当x=1时,y+z=8,共有(2,6),(3,5),(4,4,),(5,3),(6,2)五种情况;

当x=2时，y+z=7,共有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)六种情况:

当x=3时，y+z=6,共有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)五种情况:

当x=4时，y+z=5,共有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)四种情况;

当彳=5时，y+z=4,共有(1,3),(2,2),(3,1)三种情况;

当x=6时，y+z=3,共有(1,2),(2,1)二种情况；

5+6+5+4+3+2__25_

所以概率为P-

216—216

(2)投掷•次质地均匀的骰子，每个数字在上底面出现都是等可能的，其概率为

只投掷一次不可能返回到A点；

若投掷两次质点尸就恰好能返回到4点，则上底面出现的两个数字应依次为：(1,3)、(3,1)、(2,2)三种结

果，其概率为P2=《)2x3=/

若投掷三次质点P恰能返回到4点，则上底面出现的三个数字应依次为：(1,1,2)、(1,2,1)、(2,1,1)三种结

果，其概率为户3=(3X3寸

若投掷四次质点P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为：(1,1,1,1).其概率为「4==

1

正.

所以，质点P恰好返回到4点的概率为：P=P2+P3+P4=i+l+l.=2Z.

37olO1

(3)不--定成立，

投掷两次骰子，设事件B：第一次点数为1,事件C第二次点数为1,事件小两次点数相同.

则P(8)=P(C)=P(D)=i,

则P(BCD)=i,而0(8)P(C)P(D)=焉

即P(8CD)=P(8)户(C)P(。)不一定成立.

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19.【详解】（1）连接8。交4C于。，因为48。。为菱形，故AC_LBD；

又因为PA=PC,。为AC的中点，故P014C,

POCiBD=O,PO,BDu平面PBD,故"_L平面P80,

而PDu平面080,故4CJ.PD.

（2）以。为坐标原点，以。8,。。为轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(0,-1,0),0,0),C(0,l,0),D(-/3,0,0),

结合(1)可设PQ,0,z),因为所以/+1+Z2=2,即/+Z2=1,

而而=(%-C)9=(%+C),故|cos丽丽|“赢赢卜|”2%；：2口」=

可，

解得％=±苧，因为P8VP0,则％=苧，故2=苧，故P（苧,0,苧），

则比=（-值1,0）用=（苧,T苧）,

设平面PBC的法向量为元=（右,外与），则件匣=°,

（n•CP=0

—+力=o

则V3/6，令％1=1,则=C,Zi=讶，则元

匕必一乃+可与二°

又觉=（后1,0）,则|cos（比，创=|篇M=黑=年，

即直线CD与平面P8C所成角的余底值为J1-（苧尸=苧.

（3）由二面角P-AB-C的正切值为等可得其余弦值为手，

D/

设P(%,0,z),则乔=(x-73,0,z),^(<3,1,0),

设平面P