2025-2026学年北师大版八年级数学上学期期末常考题之勾股定理

2025・2026学年上学期初中数学北师大版八年级期末必刷常考题

之勾股定理

一.选择题（共9小题）

1.（2025秋•陕西期中）下列各数中，能与8,15构成一组勾股数的是（）

A.7B.17C.19D.7161

2.（2025秋•曲靖期中）如图，在中，ZC=90°,4。平分/84C,若BC=15,BD=10,则点

。到A4的距离是（）

A.15B.10C.5D.4

3.（2025•秦都区校级模拟）如图，在5X7的网格中，每个小正方形的边长均为I,点A,B,C都在格点

上，A。为△A8C的中线，则AO的长为（)

5>/105V10

C.-----D.-----

42

4.（2024秋•侯马市期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要

的工具，也是数形结合的纽带之一.如图，当秋千静止时，踏板6离地的垂直高度8£=0.8相，将它往

前推3/〃至C处时（即水平距离CO=3〃?），踏板离地的垂直高度CF=2.6/〃，它的绳索始终拉直，则绳

索AC的长是（

冏

A.3.2mC.3.6/72D.3.8/n

5.（2025秋•南山区期中）意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是

相等的，如图所示，证明了勾E殳定理，若设图1中空白部分的面积为Si,图2中空白部分的面积为S2,

则下列对S1,52所列等式不正确的是（）

图1用2

222

A.Sr=a+b+2abB.S2=c+ab

22

C.Sr=a+b+abD.Si=S2

6.（2025春•海淀区期末）在勾股定理的证明中，小云用与RtaABC全等的三角形拼出了如图所示的弦图,

则线段A8的长为（）

D.2V3

7.（2025春•邯郸校级期末）如图1,有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高45〃的墙6任

何东西只要移至该灯5〃?及5〃:以内时，灯就会自动发光如图2,当一个身高1.5加的学生（即CO=L5〃?）

走到灯刚好发光的地方时，他离墙的距离为（）

C.6〃?D.7m

8.（2024秋•偃师区期末）一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高

必须低于（)

C.3.9米D.3.8米

9.（2025秋•东港市期中）下列选项中，正确的是（）

A.在RtZLAHC中，己知两边长分别为3和4,则第三边的长为5

B.若三角形的三边之比为3：4：5,则该三角形是直角三角形

C.△ABC的三边分别为AB,BC,AC,若4?2=8。2+4。2,则/A是直角

D.在△48C中，若N4：NB：ZC=2：3：7,则△ABC是直角三角形

二,填空题（共4小题）

10.（2025秋•东莞市期中）在如图所示的3X3正方形网格中，Zl+Z2+Z3=度.

11.（2024秋•锦江区校级期末）若将15只空油桶（每只油桶底面的直径均为2〃?）堆在一-起，并且最下面

的个数是5只，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码高为加结果/呆留根号）.

12.（2025秋♦包头期中）如图，一个底面半径为8c/〃，高为15c〃?的圆柱形饮料罐，将一根长为20cm的

吸管从顶面正中心的小圆孔，按如图所示紧贴底部侧面插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略

不计，则吸管露在饮料罐外部的长度是。儿

13.（2025春•樊城区期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地A8=2.f米，当人体

进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生。。正对门，缓慢走到离门

1.2米的地方时（8C=1.2米），感应门自动打开，则A£>=米.

三,解答题（共2小题）

14.（2025秋•大连期中）小强同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：如

图1,在一个支架的横杆的点。处用一根细绳悬挂一个小球A,小球A可以自由摆动，04表示小球静

止时的位置.如图2,当小强用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置,此时过点B作BDL

OA,垂足为。，当小球摆到OC位置时，。8与。。恰好垂直（图2中的A、B、0、C在同一平面上），

过点。作CE_LOA,垂足为£测得8。=6a〃，CE=\0cm.

（1）求证：/COE=/B；

（2）求。E的长.

图1图2

15.（2025春•林州市期末）随着“双碳”目标的提出，为了减少能源消耗和碳排放，推广新能源汽车、推

动清洁能源的普及，对于实现“碳达峰”和“碳中和”目标具有重要意义.如I图，某社区新建新能源汽

车充电桩，C。为充电桩，8c和AC分别为两侧充电线伸出后的最长距离.

已知在△ABC中，CD_L4B交A8于点。，AC=20,8c=15,CD=\2.

求证：△AAC是直角三角形.

2025・2026学年上学期初中数学北师大版（2024）八年级期末必刷常考题

之勾股定理

参考答案与试题解析

一,选择题（共9小题）

题号123456789

答案BCBBACAAB

一.选择题（共9小题）

1.（2025秋•陕西期中）下列各数中，能与8,15构成一组勾股数的是（）

A.7B.17C.19D.

【考点】勾股数.

【专题】三角形.

【答案】B

【分析】勾股数要求三个正整数小b,c,且满足据此进行逐项分析，即可作答.

【解答】解：4、72+82=49+64=113^152,故该选项不符合题意;

B.152+82=225+64=289=172,故该选项符合题意；

C.152+82=225+64=289#：192,故该选项不符合题意：

D、不是正整数，故该选项不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考杳了勾股数，掌握其相关知识点是解题的关犍.

2.（2025秋•曲靖期中）如图，在RlZXACB中，ZC=90°,AD平分NB4C,若BC=15,87）=10,则点

。到AB的距离是（）

【考点】勾股定理；角平分线的性质.

【专题】计算题；推理能力.

【答案】C

【分析】过点。作。EL4B,由角平分线的性质可得OC=OE,根据B。，8c的长即可求解.

【解答】解：过点。作。从LA从如图；

:,DC=DE,

VfiC=15,8。=10,

：.DC=DE=\5-10=5.

・••点。到A8的距离是5.

故选：C.

【点评】本题考查角平分线的性质，理解点到直线的距离是蟀题关键.

3.（2025•秦都区校级模拟）如图，在5X7的网格中，每个小正方形的边长均为I,点A,B,。都在格点

上，A。为△ABC的中线，则AD的长为（）

【考点】勾股定理.

【专题】网格型：等腰三角形与直角三角形；应用意识.

【答案】B

【分析】根据勾股定理计算出二:角形三边的长度，判断三角形是直角二角形，再根据斜边上的中线是斜

边的一半进行判断即可.

【解答】解：每个小正方形的边长均为1,

根据勾股定理可得：人群=22+62=40,4C2=32+12=IO,«C2=12+72=50,

:.AB1+AC2=BC2,

•••△ABC是直角三角形，

VAD是斜边6c边上的中线，

：.AD=1BC=V50=7>/2.

故选：B.

【点评】本题考查勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键.

4.（2024秋•侯马市期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要

的工具，也是数形结合的纽带之一.如图，当秋千静止时，踏板4离地的垂直高度/^=0.8相，将它往

前推3/〃至。处时（即水平距离。。=3,〃），踏板离地的垂直高度C尸=2.。〃，它的绳索始终拉直，则绳

索AC的长是（

冏

A.3.2〃zC.3.6/7/D.3.8/Z/

【考点】勾股定理的应用.

【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识.

【答案】B

【分析】设AC的长为xm,则AB=AC=xm,故AO=4B-8D=（x-1.8）m.在直角△AQC中利用勾

股定理即可求解.

【解答】解:由题意可知,C尸=2.6〃?，BE=0.8w,

设AC的长为xm,则A8=AC=k〃，

所以AD=AB-8D=（x-1.8）m.

212222

在宜角△AQC中，AD+CD=ACf即（x-1.8）+3=x,

解得：x=3.4,

印绳索AC的长是3.4米.

故选：B.

【点评】本题考查勾股定理的实际应用，找到直角三角形并利用勾股定理构造方程是解题的关键.

5.（2025秋•南山区期中）意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是

相等的，如图所示，证明了勾段定理，若设图1中空白部分的面积为Si,图2中空白部分的面积为S2,

则下列对Si,S2所列等式不正确的是（）

即图2

7?

A.Sx—a?+b+2abB.S2—c+ab

22

C.Sx=a+b+abD.Si=S2

【考点】勾股定理的证明.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【答案】A

【分析】根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可■解决问题.

【解答】解：由勾股定理可得/+6=。2,

22222

由题意，可得Si=S2=a+b+2x^ab=a+b+ab=c+ab,

故选项A符合题意，选项&C、。不符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形,

然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理.

6.（2025春•海淀区期末）在勾股定理的证明中，小云用与Rt^ABC全等的三角形拼出了如图所示的弦图,

若正方形G"/K的面枳为16,正方形CQE尸的面积为4,则线段A8的长为（）

C.>/10D.2A/3

【考点】勾股定理的证明.

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】设AC=b,根据正方形的性质得到CO=2.GK=4,根据勾股定理即可得到结论.

【解答】解：设8C=a,AC=b,

•・•正方形GM7K的面积为16,正方形CQEr的面积为4,

；・CD=2,GK=4,

.（a+b=4

.%-Q=2,

,（a=1

.%=3,

：.AB=V32+I2=710,

故选：C.

【点评】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

7.（2025春•邯郸校级期末）如图1,有一个由传感器人控制的灯，要装在门上方离地高4.5〃1的墙E,任

何东西只要移至该灯5〃?及5/7；以内时，灯就会自动发光如图2,当一个身高15〃的学生（即C£>=1.5/n）

走到灯刚好发光的地方时，他离墙的距离为（）

【考点】勾股定理的应用.

【专题】推理能力.

【答案】A

【分析】过点C作交A3于点E,构造出直角三角形，利用勾股定理解答.

【解答】解：过点C作CE//BD,交AB于点E.

*：BE=CD=\.5m,

：.AE=AB-BE=4.5-1.5=3(/??).

VAC=5m,

：,CEr=AC1-/1E2=52-32=^2,

CE=4cm,

故学生走到灯刚好发光的地方时，他离墙的距离为4〃?

故选：A.

【点评】本题考查正确运用勾投定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.直角三角形两

条直角边的平方和等于斜边的平方.

8.（2024秋•偃师区期末）一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则I：•车的外形高

C.3.9米D.3.8米

【考点】勾股定理的应用.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】A

【分析】首先根据题意欲通过如图的隧道，只要比较距厂门中线L2米处的高度比车高即可，根据勾股

定理得出CQ的长：然后再根据CH=C7M£）从进而得出CW的长，即可得出答案.

【解答】解：•・•车宽2.4米，

，欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度与车高.

在Rt^OCO中，由勾股定理可得：

CD=y/OC2-OD2=V22-1.22=1.6（〃?），

CH=CD+DH=1.6+2.5=4.1米，

故选；A.

【点评】本题主要考查的是垂径定理和勾股定理的应用，根据题意得出CQ的长是解题关键.

9.（2025秋•东港市期中）下列选项中，正确的是（）

A.在中，已知两边长分别为3和4,则第三边的长为5

B.若三角形的三边之比为3：4：5,则该三角形是直角三角形

C.△ABC的三边分别为AB,BC,AC,若4解=8。2+4。2,则/人是直角

D.在若NA：ZB：ZC=2：3：7,则△/18c是直角三角形

【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形内角和定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形.

【答案】B

【分析】根据勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答.

【解答】解：A、在n△ABC中，如果已知两直角边长分别为3和4时，则第三边的长为盛；如果已

知4为斜边，3为直角边时，则第三边的长为近，

故A不符合题意；

B、•・•三角形的三边之比为3：4：5,

工设三边分别为北,4a5匕

(3k)2+(4k)2=25炉，(5k)2=25k2,

，(3k)2+(44)2=(5k)2,

・•・该三角形是直角三角形，

故B符合题意；

C、△/WC的三边分别为/W,BC,AC,若人炉=8。2+人。2,则NC是直角，

故C不符合题意：

。、在△ABC中，若NA：NB：ZC=2：3：7,则NC=180°x；=105。,

•••△A8C不是直角三角形，

故。不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，准确熟练地进行计算是解题的

关键.

二,填空题(共4小题)

10.(2025秋•东莞市期中)在如图所示的3X3正方形网格中，Zl+Z2+Z3=90g.

【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】90.

【分析】证明△ABC0△/)£：/,△DCGg△C£B得出N2+N1=45°,根据网格的特点可知/3=45°,

即可求解.

【解答】解：如图，

在△ABC与△OE尸中，

AC=DF

乙ACB=乙DFE,

BC=EF

:.△AB8XDEF(S4S),

AZ1=Z4,

YFD//CG,

：.N2=NFDC,

同理可得△OCGgACEB,

：,EC=ED,N2=NBEC,

•；/BEC+NECB=9U°,

AZ2+ZEBC=90°,

・・・NECQ=90°,

・•・△EC。是等腰直角三角形，

/.zcor=45°,

即N4+NFQC=N1+N2=45°,

根据网格的特点可知N3=45°,

.-.Zl+Z2+Z3=90o,

故答案为：90.

【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得Nl+/2=45。

是解题的关键.

11.（2024秋•锦江区校级期末）若将15只空油桶（每只油桶底面的直径均为2〃?）堆在一起，并且最下面

的个数是5只，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码高为（4V3+2）—m（结果保留根号）.

【考点】勾股定理的应用.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识.

【答案】（46+2）.

【分析】仔细观察图片，可以看出15只油桶堆成的底面刚好构成等边三角形，它的边长是8/〃，遮雨棚

起码的高度是该三角形的高加一只油桶的直径，根据勾股定理求出A。的长，即可得出结果.

【解答】解：由题意得：A、8、C是三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形，它的边

长是4X2=8（〃?），AQ为等边△ABC的高,

：.AB=BC=Sm,BD=CD=1x8=4Cm）,

在RtAADB中，由勾股定理得：AD=\/AB2-BD2=V82-42=4>/3（/«）,

・••遮雨棚起码高为：（4百+2）加，

故答案为：（4V3+2）.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

12.（2025秋•包头期中）如图,一个底面半径为8cm,高为15cm的圆柱形饮料罐,将一根长为20cm的

吸管从顶面正中心的小圆孔，按如图所示紧贴底部侧面插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略

不计，则吸管露在饮料罐外部的长度是一3cm.

【考点】勾股定理的应用.

【专题】等腰三角形与直角三角形：应用意识.

【答案】3.

【分析】先根据勾股定理求解出吸管在饮料罐内部的长度，再根据吸管的总长度求解即可.

【解答】解：如图，由题意得：40=8。〃，BO=15cm,/8。4=90°,

在直角三角形A0B中，由勾股定理得：

AB=V82+152=17(cm),

・•・吸管在饮料罐内部的长度为17cm,

•••吸管的总长度为20cm,

，外部长度为20-17=3(cm),

即吸管露在饮料罐外部的长度是3cm.

故答案为：3.

【点评】本题考查了勾股定理解三角形，解决本题的关键是先求解出吸管在饮料罐内部的长度.

13.(2025春•樊城区期末)如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地4B=2.£米，当人体

进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门

1.2米的地方时(BC=1.2米)，感应门自动打开，则12=1.5米.

【考点】勾股定理的应用.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】过点。作。E_L48于点E,构造RtZ\AQE,利用勾股定理求得A。的长度即可.

【解答】解：如图，过点。作。E_LA8于点£,

•••44=2.5米，6£=8=1.6米，ED=5C=1.2米,则・BE=2.5・1.6=0.9（米，

在中，由勾股定理得到：AD=y/AE2+DE2=0.92+l.22=1.5（米）

故答案为：1.5.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得

线段4。的长度.

三,解答题（共2小题）

14,（2025秋•大连期中）小强同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：如

图1,在一个支架的横杆的点。处用一根细绳悬挂一个小球A,小球A可以自由摆动，OA表示小球静

止时的位置.如图2,当小强用发声物体靠近小球时，小球从摆到08位置，此时过点3作8Q_L

OA,垂足为。，当小球摆到OC位置时，04与OC恰好垂直（图2中的4、B、0、。在同一平面上），

过点。作垂足为£测得2Q=6s〃，CE=l0cm.

（1）求证：ZCOE=NB；

（2）求OE的长.

0

图1图2

【考点】勾股定理的应用.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力.

【答案】（1）'：CEYOA,BDLOA,

/.ZCEO=ZODB=90°,

yOBIOC,

AZBOC=90a,

AZBOD+ZCOE^r,

在RtABOO中，NBOIHNB=9()°,

，NCOE=NB；

(2)4cm.

【分析】(1)根据垂直的定义得到NCEO=NOQ8=90°,求得N8OO+NCOE=90°,根据余角的性

质即可得到结论；

(2)根据全等三角形的性质得到CE=O。，OE=BD,于是得到结论.

【解答】(1)证明：VC£±OA,BDLOA,

：.^CEO=ZODB=90°,

VO8JLOC,

・・・N9OC=90°,

・・・/8OO+NCOE=90°,

.,.ZBOD+ZB=90°,

:・/COE=/B；

(2)解：在△COE和△08。中，

"CEO=/ODB

乙COE=△B，

(OC=OB

:•△COE/AOBD(A4S),

:・CE=0D,0E=BD,

\*CE=}0cm,

・•.00=10。〃?，

*/BD=6cm,

/.0E=6cm,

：.DE=OD-0E=10-6=4(cm).

【点评】此题考查全等三角形的性质和判定，以及勾股定理，解答本题的关键是找准条件判定全等，解

题技巧是通过勾股定理求解边长，然后通过线段和差关系求解.

15.(2025春•林州市期末)随着“双碳”目标的提出，为了减少能源消耗和碳排放，推广新能源汽车、推

动清洁能源的普及，对于实现“碳达峰”和“碳中和”目标具有重要意义.如图，某社区新建新能源汽

车充电桩，C。为充电桩，8c和AC分别为两侧充电线伸出后的最长距离.

已知在△ABC中，CD_LA8交48于点。，AC=20,BC=15,CD=\2.

求证：△AAC是直角三角形.

【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】见解析.

【分析】直接根据勾股定理求出8。的长，再利用勾股定理可得出4。的长，根据勾股定理的逆定理即

可得出结论.

【解答】证明：•・・CQ_LA8

:・NCDB=NCDA=90°,

在对△COB中，

V5C=15,CD=12,

:・BD=V152-122=9,

在Rt^ACO中，

VAC=20,CD=12,

：.AD=yjAC2-CD2=V202-122=16.

：・AB=AD+DB=16+9=25,

在Rl△人8c中，

AB=25,AC=20,BC=15,

：.AI^=252=625,AC2+BC2=202+152=625,

：.AB2=AC2+BC2,

•••△ABC是直角三角形.

【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，根据勾股定理求出43的长是解本题的美键.

考点卡片

1.三角形内角和定理

（I）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且每个内角均大

于0°且小于180°.

（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°.

（3）三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将.三