2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷拔尖卷（苏科版）解析版

九年级数学上学期期中模拟卷•拔尖卷【苏科版】

全解全析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1.（2024•广东•模拟预测）若关于x的一元二次方程+轨+。=0有两个不相等的实数根，则a,c的值

可以是（）

A.a=1,c=4B.Q=-1,c=—5

C.a=3,c=1D.a=2,c=2

【答案】C

【分析】本题主要考查了根的判判式，利用一元二次方程根的判别式，得出ac<4,再进行计算判断即可.

【详解】解：由题知，

因为关于x的一元二次方程+依+c=0有两个不相等的实数根，

所以△=42-4XQXc>0且QH0,

：.ac<4,

当a=l,c=4时，ac=4,故选项A不符合题意；

当a=-1,c=-5时，ac=5>4,故选项B不符合题意；

当a—3,c—1时,ac=3<4,故选项C符合题意；

当a=2,c=2时,ac=4,故选项D不符合题意；

故选:C.

2.（2024•陕西西安•模拟预测）如图，△ABC内接于。。，DE为。。的直径，且DE148J二点尸，连接

CE.若41=35°,乙CED=15°,则4B的度数为（）

A.65°B.70°C.75°D.80°

【答案】A

【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，三角形的内角和与外角定理，解题的关键是掌握垂径定理和

圆周角定理.根据垂径定理得N4FD=90。，AF=BF,得到族=而，推出N4CB=244CE,根据三角形

的外角定理求出4CGE,再根据三角形的内角和定理求出乙4CE,即可求解.

【详解】解：•••OE为。。的直径，且。于点F,

AZ.AFD=90°,AF=BF,

•••AE=BE,

乙ACE=乙BCE,^^.ACB=2LACE,

vLA=35°,

设4C与DE交于点G,

•••乙CGE=^A+Z.AFD=35°+90°=125°,

VMED=15°,

LACE=180O-Z,CGE-Z.CED=40°,

LACB=2^ACE=80°,

•••（B=180°-Z.ACB-Z.A=180°-80°-35°=65°,

故选：A.

3.（2025・四川巴中•中考真题）有一组数据：1,2,3,3,4,5.在这组数据中加入一个整数。，则下列一

定不变的是（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

【答案】B

【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的概念，利用相关概念逐一判断即可，熟知相关概念时

解题的关键.

【详解】解：这组数据中加入一个整数。，平均数有可能改变，方差也可能改变，故A、D不符合题意：

若a=l,则该数据的众数由原来的3,变为1和3,所以众数有可能改变，故C不符合题意；

若。工3,则新数据中间数为第四个数，为3,若。>3,则新数据中间数为第四个数，为3,中位数不变，

故B符合题意，

故选:B.

4.关于x的方程％2-2mx+m2=4的两个根刀［,不满足不=2h+3,且%〔>不，则的值为()

A.-3B.1C.3D.9

【答案】C

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根.根据(x—m+2)(x—m—2)=0,%i>x2

得到打=m+2,x2=m-2,由勺=2x2+3可得m的方程，解m的方程即可.

【详解】解：—2mx+m2=4,

•••(x—m+2)(x—m—2)=0,

.-.x-Tn4-2=0或尤-m-2=0,

>X2，

.,.%!=TH+2,x2=m—2,

vxj=2X2+3,

•,-7n+2=2(n?—2)+3,

解得m=3.

故选:C.

5.(2024•湖北•模拟预测)如图，AB,CO是。。互相垂直的两弦，。“，力0于“，若8c=2百，那么。”

A.1.5B.2C.V3D.无法确定

【答案】C

【分析】连接力。并延长交。。于点F,连接。凡BD,利用圆周角定理、垂径定理以及三角形中位线定理来

求解。”的长度.

【详解】解：连接4。并延长交。。于点F,连接。入BD,

是直径，

：.LADF=LABF=

,,.AB1BF,

•：CD1AB,

.•.CD||BF,

:.乙BDC=/.DBF,

.•.前=DF,

:.DF=BC=2v5,

•：0HA.AD,

'.AH=DH.

又以。=OF,

.•O夕是△4/）尸的中位线，

.'.OH=叔F=V3,

故选:C.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、平行线的判定及性质、垂径定理以及三角形中位线定理，熟练掌握

这些定理并能灵活运用是解题的关键.

6.（2025•福建三明•一模）已知方程（％—2）（%2一4%+Q）=0的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边

边长，则实数a的取值范围是（）

A.1<a<3B.1<a<4

C.3<a<4D.2<a<3

【答案】C

【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，三角形三边关系的应用，先解方

程得到一个解为％=2,结合题意可得好一4%+a=0方程有两个不相等的正实数根，且|勺一通|<2,再进

一步解答即可.

【详解】解：；(x—2)(%2—4x+a)=0,

:.x—2=0或X2—4x+Q=0,

当力一2=0时，则％=2,

当“2一轨+Q=0时，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根，

2

=(—4)—4a>0,%14-%2=4>2,x^x?=a>0,

解得：a<4,

•.・方程Q-2)(%2—4x+a)=0的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，

|Xj—X2IV2,

x2

+2)—x2=V16—4a<2,

.,•0<16—4a<4,

解得：3<aW4,

综上：3<a<4,

故选：C

7.(2024・湖北•三模)为表彰文明有礼好少年，七、八年级分别选出两名同学和校长合影，校长坐在最中

间，四名同学随机就座，则七年级两名同学均与校长相邻的概率为().

12校长34

【答案】C

【分析】本题主要考查概率问题，掌握列举法是解题的关键.

根据题意，列举出所有的情况，根据题意计算概率即可.

【详解】根据题意，不妨设七年级两名学生为力、心八年级两名学生为。、D,

则就坐的情况与位置1,2,3,4对应的有：

A,B,C,D；A,B,D,C\A,C,B,D；A,C,D,B；A,D,B,C；A,D,C,B；

B,A,C,D；B,A,D,C；B,C,A,D；B,C,D,A；B,D,A,C；B,D,C,A；

C,B,A,D；C,B,D,A；C,A,B,D；C,A,D,B；C,D,B,A；C,D,A,B；

D,B,C,A；D,B,A,C；D,C)B,A；D,C,A,B；D,A,B,C；D,A,C,B；

总共有24种情况，七年级两名同学均与校长相邻，即48在2,3号位置的有4种,

所以七年级两名同学均与校长相邻的概率（=

故选：C.

8.（2025•河南驻马店•三模）如图，是由众多边长为2的正三角形组成的网格，B、C、。均为顶点，则前万

的长为（）

,r%、，、，、/%\,八、//%\•.八，、、/，、、//

♦/、\/，%、，/、、，1/、，，X、•X/->Z!、\//、/

，/%、・八、/八%，，、，，、/，、%，八、//%*，/

//%G，/、、，，、%/，、、，，、、,，、、,，、、，，、%/，

A.手itB.yJTC.D.殳

【答案】A

【分析】如图，由题意可得:。为近5所在圆的圆心，为格点，取格点儿瓦尸,连接0吃8尸,8£0£力。,04。8,。0,8。,

过。作0〃14。于“，△08/三△DO力三△8。/?,可得△BO。为等边三角形，Z.BOD=60°,求解00=

^524-（V3）2=V28=2V7：再利用弧长公式计算即可.

【详解】解:如图，由题意可得：。为颜所在圆的圆心，为格点，取格点4瓦凡连接

OF.BF.BE.DE.AD^A^B.OD.BD,过。作。，1ADTH,

••,由题意可得：0F=4=BE=AD,LOFB=120°=LBED=LOAD,BF=OA=DE=2,

.•.△OBFwADOAwABDE,

•,.08=DO=BD,

.•.△B。。为等边三角形，

.,.Z.8OD=60°,

由等边三角形的性质可得：^AOH=30°,OA=2,而乙4"。=90。,

.'.AH=1,OH=V22-12=x/3,

:.DH=5,

••.OD=J52+(V3)2=V28=2V7；

二两的长哈萨二第n：

故选：A

【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，弧长的计

算，三角形的外接圆的圆心的确定，作出图形是解本题的关犍.

9.(2025•浙江•模拟预测)设关于x的方程。炉+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根肛，x2,且

X!<1<x2,那么实数a的取值范围是()

22222

A.——B.—-<Za<Z-C.a>-D.——<a<0

JLJL/DO11

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及不等式的综合应用.根据一元二次

方程的根的判别式，建立关于。的不等式，求出。的取值范围.又因为％]<1<工2,所以(心-1)(无2—1)

<0,即％1*2—01+r)+1V°，利用根与系数的关系，

【详解】解：％•方程有两个不相等的实数根，

:.aH0且4>0,

.♦.(a+2/—4ax9a=-35a2+4G+4>0,

解得—!<a<

,a+2

•••%]+%2=-­»X1X2=9,

又"I<1<x2,

・•・%]—1V0,%2—1>0,

—1)(X2—1)<0,

—Ql+=2)+1V0，即9+誓+1VO,

解得一卷■<"(),

'-a的取值范围是一看Va<0.

故选:D.

10.（2025•湖北武汉•三模）如图，线段4c为。。的直径，ZABC的角平分线与乙。48的角平分线交于一点

D,且N力BC的角平分线与交于点E,点B为4C上一动点，当点。从点C运动到点力时，则D与尸两点的

运动路径比是（）

A.近而B.V5C.粤D-V2

【答案】D

【分析】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的

运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题.

如图1,连接CD,由题意可知，点。是△力BC的内心，由4C为直径，可得乙1夙?=90°,进而可得人IOC=135°

为定值，所以点。的轨迹为一段弧，如图2,以点E为圆心，E力为半径画圆，延长BE,交圆E于点M,连接

AM,CM,可证乙ADC+44MC=180°,根据对角互补的四点共圆，可知点。在以点E为圆心，£4为半径的

圆上运动，运动轨迹为通乙设04=r,则£4=扬，进一步可算出点。的运动路径为与灰，由图2可知,

点尸的运动轨迹为蒲，可算出点F的运动路径为/而，最后计算比值即可得解.

【详解】解：如图1,连接CD,

■.•点D是N/WC和的角平分线的交点，

二点。是△ABC的内心，

••.CO平分乙4C氏

•.FC为直径，

•••乙48c=90°,

LBAC4-Z.ACB=180°-90°=90°,

■­•^ADC=180°-（ADAC+AACD）=180°-^BAC+/LACB）=180°-1x90°=135°为定值，

点。的轨迹为一段弧，

•••此圆弧的圆心一定在弦力C的中垂线上，

如图2,过圆心。作BEJ.4C,连接4E,CE,

设0力=r,则OE=r,

•••AC为直径，

:•乙AEC=90°,

v8E平，｝心48。，

•••LABE=乙CBE,

:.AE=CE,

•••AE=CE=y/OE24-OA2=Vr2+r2=V2r,

如图2,以点E为圆心，区4为半径画圆，延长8E,交圆E于点M,连接AM,CM,

：〃EC是圆E中弦4c所对的圆心角，而〃MC是圆E中弦力C所九•的圆周角，

...=45°,

vLADC=135°,

Z.ADC+Z.AMC=180°,

.••点4M,C,D,四点共圆，

.••点。在以点E为圆心，E4=鱼厂为半径的圆上运动，运动轨迹为加，

•••点D的运动路径为I-=立鬻叵=零，

ADC3602

由图2可知，当点。从点C运动到点A时，点尸的运动轨迹为通，

•••点厂的运动路径为/-=嗖产=y,

CB3602

.•・点。和点F的运动路径比为粤招=V2：l.

图1图2

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11.（2025•江苏苏州•模拟预测）若a是方程必+%_1=o的根.则代数式2025+a2+白的值是

【答案】2028

【分析】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，根

据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算

法则化简求值是解决问题的关键.

【详解】解：；a是方程“2+x-1=0的根，

2

•••a+a—1=0,即Q2=1­Q,

2。25+小+摄

1

=2025+(l-a)+y—

(1-Q)21

=2025+/~-+

1-a1—a

Q2—2a+2

=2025+-----------

1-a

(l-a)-2a+2

=2025+

1-a

3(1—a)

=2025+------

1-a

=2025+3

=2028,

故答案为：2028.

12.(2024•江苏宿迁•三模)如图，点。在△4BC的边BC上，AC=OC,zC=36°,以。为圆心04为半径的

圆交48于点。，且80=。4则NB的度数是。.

【分析】此题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质、三角形外角性质，熟记等腰三角形的性质、三角

形外角性质是解题的关键.

连接。0,根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，求得乙1。。二)x(1800—36。)=72。，根据三角

形的外角的性质乙4。。=Z.B+4a40求解即可.

【详解】解；如图,连接。。，

,:BD=OA=OD,

B=CBOD,Z.ODA=Z.OAD,

vLODA=Z.B+乙BOD,

•••4ODA=Z.OAD=2LB,

vzC=36°,AC=OC,

LAOC=|X(180°-36°)=72%

vAAOC=Z.B+Z.OAD,

:.3/B=72°,

:•乙B=24°,

故答案为:24.

13.已知数据％i，不，…，%的平均数为m，方差为s2,则数据A国+b,kx2+b,•••,kxn+b的平均数为

方差为，标准差为.

【答案】km+bk2s2ks

【分析】根据平均数、方差、标准差的定义列式计算即可.

【详解】♦•♦数据X1，外，…，办的平均数为〃?，方差为s2,

222

•••=m,s=3Kxi—m)+(x2­m)2+...+(xn—m)],

..kx\+b+kx2+b-¥...+kx^b_"打+与+…+4])nb_..

■:n=十=KTTI十°,

nnn

,数据k%i+与，kx2+b,…，々%n+b的平均数为km+b,

1

22

—[(/cxx+b—km-b)2+(/cx2+匕-km—b)+...+(kxn+b—km—b)\

1

=-[(kxi—km)2+(kx2—km)2+...+(kx—km)2]

nn

222222

=，[k(xi—m)+k(X2—m)+...+k(xn—m)]

=A2s2

,数据k%i+与，kx2+b,…，kxn+b的方差为k2s2,标准差为V+s?=ks.

故答案为km+b；k2s2；ks.

【点睛】本题考查了平均数、方差、标准差，熟记平均数、方差、标准差的定义是解题的关键.

14.（2025•江西•模拟预测）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术〃.如

图，而是以点O为圆心、。力为半径的圆弧，点N是的中点，MNJ.AB,交检于点"会圆术”给出

丽的弧长/的近似值计算公式：l=AB+若.当04=5,AB=8时，则/的值约为

【答案】8.8

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，掌握这些知识是关键：连接。N.由垂径定理得0N_L4B,

结合MNJ.A。，得M,M。二点共线，由勾股定理求得ON的长，从而求得MN的长，再代入弧氏/的近似

值计算公式即可求解.

【详解】解：如图,连接0N.

•・,点N是48的中点，

•••ONIA8,

又・;MN工AB,

N,。三点共线，

-：0A=5,AB=8,

/.AN=\AB=4,

...ON=70A2-AN2=3,

•••MN=0M-0N=5—3=2,

I=AB+^-=8+^-=8.8；

OA5

故答案为；8.8.

15.若关于x的一元二次方程x2-3%+m2+m=0（7n>0）,当m=1,2,3,…,2022时，相应的一元二次方程

的两根分别记为由,仇次2/2；。2c22—2022,则看++++…段;+念的值为

【处案】竺竺

“u人'2023

【分析】利用根与系数的关系得到+01=3,a1/?i=1X2;42+02=3,。202=2X3;"2022+02022

=3,散。22角022=2022x2023：把原式变形，再代入，即可求出答案.

【详解】解：,-X2—3x+m2+m=0,m=1,2,3,•••,2022,

,・由根与系数的关系得：«1+/?1=3,«1/?!=1x2：例+02=3,12夕2=2X3：..=2022+02022=3,

戊202202022=2022X2023;

|臼-1'_a】+61a2+02.“2022+02022

,际八二all+a2/?2十--a2O22H2O22

333

-1X22x3”“2022x2023

/11111\

=3x(1-2+2-3+，-2022-2023；

=3x(—2023)

2022

=,>2023

6066

二2023

故答案为：嬲

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系:若％1，外是一元二次方程a/+以+c=0（ah0）的两

根时，/+力=-S，%逐2=

16.（2024•湖北•模拟预测）如图，△48C内接于。0,且48=AC,直径AD交BC于点E,F是OE的中点,

如果BDIICF,BC=2V5,则线段CD的长为.

【答案】V6

【详解】本题考查的知识点有圆的性质（直径所对圆周角为直角）、三角形全等的判定、等腰三角形三线合一

的性质以及勾股定理.通过连接辅助线。配利用圆的性质（直径所对圆周角为直角）、三角形全等判定（HL、

ASA）以及勾股定理，逐步推导得出线段CD的长度.

【解答】解：连接0C,

•••AD是。。的直径，

.-.ZABD=ZACD=90°,

在Rt△ABD与Rt△ACD中,

•.AB=AC,AD=AD,

.-.RtAABD=RtAACD,

.-.ZBAD=ZCAD,

•••AB=AC,

"BAD=ZCAD,

.•.ADIBC,BE=EC,

•.•RD||CF,

•0.Z.DBE=zFCE,

在4BED与ACEF中,

ZDBE=Z.FCE

BE=EC,

/BED=4CEF

ABED^ACEF,

.-.CF=BD,FE=ED,

vFE=ED,F是OE的中点，

.-.OF=FE=ED,

设OF=FE=ED=a(a>0),则OD=OC=3a,

•.ADIBC,CE=：BC=VL

.-.OC2-OE2=CE2,

.,.9a2-4a2=5,

.-.ED=1,

••.CD=VDE2+EC2=J12+（后2=访

故答案为：V6.

三、解答题（本大题共9小题，满分72分）

17.（6分）（2025・上海•模拟预测）如图，在△力BC中，AB=AC,圆。的圆心在△48C内部，与△力BC

的边顺时针分别交于点E、。、F、G、N、M（点E在线段AB上），射线4。交边MN于点P.如果DE=FG；

（1）求证：BM=NC.

（2）连接EM、NG,求证：LBEM=Z.NGC.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

【分析】本题考查了全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、垂径定理的实际应用等知识点，熟记相

关几何结论是解题关键.

（1）作。OH21AC,推出。，1=。，2，进而得。/平分484C,即可求证；

（2）^,AAOH^^AOH2^AHA=AH2,AE=AG,进而得BE=CG,再证△8EM三△CGN即可；

【详解】（1）证明：作0Hi_L4B,OH2LAC,

•••OHI=OH2,

.••OA平分NB/C,

-AB=AC

BP=CP,04IBC,

MP=NP

•••BM=CN

（2）证明：如图所示:

•••0H114B,OH21AC,

=Z,AH20=90°,

"AO=AO,OHi=OH2,

•••△力0“1三2\4。“2：

AH1=AH2,

•:DE=FG,HiD=HR,HZF=HzGt

HiD=H2F,

.•.AH1-H1D=AH2-H2F,

BPZD=AF,

AAE=AG,

vAB=AC,

:.BE=CG,乙B=乙C,

•••BM=CN

•••△BEM三△CGN,

:•乙BEM=“GN.

18.（6分）（24-25九年级上•福建宁德•期中）己知：实数m满足am2+bm+l=0（aH0）.

⑴求证：b2—4a>0：

⑵若Q,匕都是奇数，关于m的方程am2+bm+l=0是否有整数根？并说明理由；

（3）若a=7,b=13,n2+13n+7=0,求”血+丁+1的值.

【答案】（1）见解析

⑵无整数根，见解析

⑶-1

【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系.

（1）根据一元二次方程根的判别式可得b2—4xaxl岂0,即可得证；

（2）利用反证法求解即可；

（3）先证明出加、；是方程7d+13%+1=0的两根，再由一元二次方程根与系数的关系得出m+：二—

租3=提代入计算即可得解.

【详解】（1）解：•.•实数〃?满足。62+力加+1=0,

二关于m的方程a/+bm+1=0有解，

，-4xax1>0,

:由2—4a>0

（2）解：无整数根，理由如下：

假设有整数根，

若m为奇数时，

•:a,b都是奇数,

-.am2+bm+1为奇数，与am?+bm+1=0相矛盾：

若加为偶数时，

,-a,b都是奇数，

.,.am2+bm+1为奇数，与am?+brn+1=0相矛盾；

.•・假设错误，

综上所述，方程a?/+bm+1=0无整数根；

（3）解：若a=7,b=13,贝|」782+i3m+1=0,

vn2+13n+7=0,

713

n2—n+1=0,

.•.〃?、；是方程7/+13x+1=0的两根，

,11311

,-.m+-=-y,7n--=7,

mn+6m+l,6m,113,6.

r—=m+k+xr+产t

19.(6分)(2025•江苏扬州•二模)定义：我们把一个整数Q平方后得到的数。2称为完全平方数.例如:

32=9,。2=0,(-5尸=25,我们就将9,0,25这些数都称为完全平方数.

⑴如果一个完全平方数次满足61工。24120,则满足条件Q的值为_(请写出所有满足条件的数)；

(2)〃是正整数，如果九-20和"+21都是完全平方数，求"的值;

⑶如果关于汇的一元二次方程Q/+2(2Q-l)x+4(Q-3)=0至少有一个整数解，请直接写出满足题意的正

整数a的值.

【答案］⑴±8；±9；±10

(2)420

(3)1：3；6；10

【分析】本题主要考查了平方根、平方差公式、一元二次方程等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关

键.

(1)直接运用平方根的知识估算即可解答；

(2)设九-20=々2,九+21=7九2,k、m为正整数，易得(771+A)(m—k)=41,由1只有因数1和41,可

列方程组求得｛夕1弁，最后代入即可求得n的值；

(3)关于4的一元二次方程a%2+2(2a—l)X+4(a—3)=0至少有一个整数解，根据根的判别式可得

则x=二师亘,山方程的解为正整数，声口为整数，设则8。+1二炉，

o3*a

解得：Q=—=出半工，设k=2m+l可得。=吗出，然后代入验证即可解答.

ooZ

【详解】(1)解：•••61<120,

.-.49<61<a2<120<121,

.•.49<a2<121,

•••7V|a|<11,

•••涉足条件a的值为±8、±9、±10.

(2)解：设n—20=/,n+21=巾2,八m为正整数,

.-.m2—k2=n+21—(n—20)=41,

•••(m4-k)(m-k)=41,

v41只有因数1和41,

••腰:屋〉解得：修:拈

vn-20=k2,

：.n=k2+20=202+20=420.

（3）解：•••关于》的一元二次方程。/+2（2。-1万+4（。-3）=0至少有一个整数解,

=[2(2a-l)]2-4a-4(a-3)=32a+4>0恒成立，即a

.v_-2(2a-l)±V32a+4_-(2a-l)±V8a+l=_2+巩

»•%--------.......--------------a

•••因为方程至少有一个整数解且a是正整数,

"+、/8a+l或

为整数,

aa

设酝二T=k%为非负整数），贝U8a+l=k2,解得：a

OO

・•・〃为正整数，

•次为正奇数，且kwl,

设A=2m+1（m为正整数），则。=”止限士12=曳铲=巴用，

ooL

当m=1时，Q=l,1±迤亘=4,符合题意；

a

当n=2时，a=3,1±迤亘=2,符合题意；

a

当m=3时,a=6,1-""1=—1,符合题意；

a

当m=4时，a=10,1±迺亘=1,符合题意；

a

当m=5时，a=15,】+'时=,V1,…际=_、＞_/不符合题意；

a15a15

•••，

当戊＞4时，Q＞10,此时0v土国亘vl,一1＜七幽亘＜0,都不是整数:

aa

••・满足题意的正整数a的值是：1;3；6：10.

20.（8分）（24-25九年级下•广东茂名•阶段练习）某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机

抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优、良好、及格、不及格四个等级，分别用心4,C,。表示，

并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

衿写能力等级测状条形统计图

4人数书写隆力等级泅试曲形统计图

根据统计图中的信息解答以下问题：

⑴本次抽取的学生共有人，扇形统计图中力所对应扇形的圆心角是,并把条形统计图补充

完整；

⑵若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有人；

（3M等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学

生司法比赛〃，请用列表或画树状型的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率.

【答案】⑴40,36。，图见解析

⑵280

（3耳

【分析】（1）由C等级人数除以其人数占比即可得出本次抽取的学生总人数，用360。乘以A等级人数占比即

可得出扇形统计图中4所对应扇形圆心角的度数，用本次抽取的学生总人数减去其他各等级人数即可得出8

等级人数，然后补全条形统计图艮］可；

（2）利用样本估计总体即可；

（3）先画出树状图，展示从这4人中随机抽取2人所有等可能的结果，再找出被抽取的2人恰好是1名男生1

名女生的结果数，然后根据概率公式计算概率即可.

【详解】（1）解：本次抽取的学生人数共有：

16・40%=40（人），

扇形统计图中4所对应扇形圆心角的度数是：

4

360oX7X=36°,

40

8等级人数为：

40-（4+16+14）=6（人），

故答案为；40,36%

补全条形统计图如下：

能力等级测试条形统计图

（2）解：书写能力等级达到优秀的学生大约有:

4

2800X—40=280（人），

故答案为:280：

（3）解：根据题意画树状图如下：

开始

女2女3男女I女3男女1女2男女1女2女3

由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的结果有6种，

被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率=2=今

【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，由扇形统计图求总量，求扇形统计图的圆心

角，求条形统计图的相关数据，画条形统计图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，根据概率公

式计算概率等知识点，熟练掌握条形统计图和扇形统计图信息关联及列表法或树状图法求概率是解题的关

键.

21.（8分）根据以下素材，完成下列任务.

背景素材

随着“绿色出行，低碳生活"理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通

工具.新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二

背景

氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能

源汽车的市场需求逐年上升.

素材1某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新

能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆.

某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价

为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/

素材2

辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计

划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元.

问题解决

任务1根据素材1，求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率.

根据素材2,为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽

任务2

车的售价.

【答案】任务1：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%；任务2：下调后每辆

汽车的售价为21万元

【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准

等最关系，正确列出一元二次方程.

任务1：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x,根据某品牌新能源汽车1月份销

售量为3万辆，3月份的销售量达到5.07万辆，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；

(2)设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为(y—15)万元，平均每周可售出(58-2y)

辆，根据使平均每周的销售利润为96万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可.

【详解】任务1：解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为为

根据题意得：3(1+x)2=5.07,

解得：刈=0.3=30%,x2=-23(舍去)，

答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%：

任务2：设下调后每辆汽车的售价为y万元.则每辆汽车的销售利润为(y-15)万元，平均每周可售出8+舒

X1=(58-2y)辆,

根据题意得:(y-15)(58-2y)=96,

解得：力=21,y2=23,

・•・此次销售尽量让利于顾客，

•••y=21,

答：卜调后每辆汽车的售价为21万元.

22.(9分)(2025・吉林•模拟预测)如图所示，AB=AC,48为。。的直径，AC.BC分别交。。于E、

D,连结ED、BE.

⑴试判断OE与3。是否相等，并说明理由；

(2)过点。作DF1AC,垂足为凡求证：OF是。0的切线.

【答案】(1)相等，见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定，等腰三角形的性质，垂径定理等知识点，正确添加辅

助线是解题的关键.

(1)连接力0,则力O_LBC,根据等腰三角形的性质得到乙&40=484。，进而得出得到丽二55,即可得

解；

(2)连接。0,先由圆周角定理证明BE||。凡由垂径定理的推论得到OD_LBE,则。0_LDE故"是。。

的切线.

【详解】(1)解：DE=BD,理由如下：

证明：连接4D，

“8为。。的直径,

“D1BC,

•；AB=AC,

AACAD=乙BAD,

=BD

:.DE=BD；

(2)证明：连接。D,

-DFLAC,

:.4FA=90°,

“B是直径，

：.LAEB=90°,

：.LAEB=Z.DFA,

:.BEIIDF,

由（1）得丽=丽,

:。。为半径，

.••OD1BE,

.••OD1DF,

・•.DF是。。的切线.

23.(9分)(2025•湖南长沙♦二模)我们知道：关于％的一元二次方程a%2+b%+c=0(aHO,a,b,c均

为整数)，如果b2-4QCN0时，这个方程的实数根就可以表示为％=上*三还，其中从一4函就叫做一元

二次方程根的判别式，我们用A表示，即△=/一4砒，通过观察公式，我们可以发现，如果A的值是一个完

全平方数(若〃=m2(m为整数)，则n是一个完全平方数)时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是

如果一元二次方程的根都为整数，△的值一定是一个完全平方数.

2

例：方程2%2一%一1=。，A=/,2_4ac=(_1)2-4x2x(-1)=9=3,A的值是一个完全平方数，但

是该方程的根为勺=1,x2=-1,不都为整数；方程/-6%+8=0的两根勺=2,X2=4,都为整数，此

时A=b2-4ac=(-6)2-4x1x8=4=22,△的值是一个完全平方数.

我们定义：两根都为整数的一元二次方程a/+bx+c=O(awO,a,b,c均为整数)称为“幸运方程〃，两

整数根称为“幸运根”，代数式与产的值为该"幸运方程''的“幸运数〃，用尸(a,4c)表示，即/(Q力,c)=

4嚷2.若有另一个“幸运方程〃p%2+qx+r=o(pHO,p,q,r均为整数)的"幸运数"为尸(p,q,r),若丁•

手(a,b,c)=c•尸(p,q,r),则称F(a£c)与F(p,q,r)互为“开心数〃.

⑴关于工的一元二次方程/-(mIl)xtm=0是一个"幸运方程

①当巾=2时，该幸运方程的“幸运数〃是：

②若该幸运方程的“幸运数〃是一1,则m的值为.

出若关于"的一元二次方程必一(2m-1)无+血2-2血一3=0(m为整数，且4<m<15)是"幸运方程"，

求血的值及该方程的“幸运数〃；

⑶若关于X的一元二次方程%2—mx++1=0与/一(九+2)x+2几=0(7几、几均为整数)都是“幸运方

程"，且其“幸运数〃互为“开心数”，求九的值.

【答案】(1)①一余②一1或3；

(2)m=9,该方程的“幸运数"为一券

(3)n=3或九=0

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“幸运方程”的定义，解一元二次方程，一元二次方程根与

系数的关系；

(1)①把m=2代入方程x2-(m+l)无+m=o得到方程x2-3无+2=o,根据“幸运数〃的定义即可求解；

②艰据“幸运数”的定义可得方程m2—2血一3=0,解方程可求得m的值；

(2)通过m的取值范围确定根的判别式F—4ac的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最

后结合m为整数确定血取值，按照“幸运数”定义求解即可；

(3)根据必一m“+瓶+1=0是"幸运方程〃得出/一7„%+机+1=0的两个根为整数，设方程/

一mx+m+l=0的两个分别为pq,根据根与系数的关系得出(p—l)(q—1)=2,进而根据pq为整数，得

出m的值为5或-1,求得F(l,—m,m+1)=-4,根据尸(1,—m,m+1)与F(l,一九一2,2")互为"开心数”得出

方程2几=0+1)5—2)2,进而分m=5或m=-l,分别代入，解一元二次方程，即可求解.

【详解】(1)解：①当血=2时,代入/-(加+l)x+m=0得，x2—3x+2=0,

4ac-/4x1x2-(-3)21日”.、1

••.FT=—而-=一中即尸(。力］)=一不，

故答案为；一右

②，衣题意，尸缶力,)=誓=g兴产皿=一1,

整理得，m2-2m-3=0,

解得mi=-1,m2=3,

故答案为：-1或3：

(2)解：vx2—(2m—l)x+m2-2m—3=0,

.'.b2—4ac=[—(2m—I)]2—4x1x(m2—2m-3)=4m+13,

v4<m<15,

.••29<4m+13<73,

vx2-(2m-l)x+m2-2m-3=0是"幸运方程"，

.•力2-4ac是完全平方数，

即4m+13是完全平方数，

.,Am4-13=36或49或64,

解得m=吊或9或厚

44

・•,m为整数，

.-.m=9,

当执=9时，方程必-(2m-l)x+m2-2m-3=0化为炉-17r+60=0,

,、4ac-b24xlx60-(-17)249

ri=—=一彳；

49

二方程/-(2m-l)x+m2-2m-3=0的“幸运数”为――；

(3)解：•・•/-mx+TH+1=0是"幸运方程”

.'.x2—mx+TH+1=0的两个根为整数，

设方程/一mx+机+1=0的两个根分别为p,q,

•••p+q=m,pq=m+1

•••pq=(p+q)+1

：.pq-p-q=1,

•••(p-1)(Q-1)=2

¥，7为整数，2=1x2=2x1=(-1)x(-2)=(-2)x(-l；i

当p—1=l,q—1=2时,则p=2,q=3,此时m=2+3=5,

当p—1=2,q—1=1时，则p=3,q=2,此时TH=2+3=5,

当p—1=—l,q—1=—2时，则p=0,q=-1,此时m=0—1=—1,

当p—1=—2,q—1=—1时，则p=-l,q=0,此时m=-1+0=—1,

综上所述，m的值为5或一1；

方程/一血工+m+1=0的“幸运数〃为F(l,-m,m+1)=二.喘-(*=

当执=5时，F(l,—m,m+1)=F(l,—5,6)=4'6]-5)__1

当m=-1时，F(l,—m,m4-1)=F(1,1,O)==—^

-m,m+1)=-[

方程%2-(+2)x+2n=0的“幸运数”为F(l,-n-2,2n)=4xl>：2n-(-n-2)z_-M+4n-4(?T)2

n4x1一~4

•••?-(1,-m,m+1)与F(l,一九_2,2n)互为