2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷培优卷（沪教版）解析版

九年级数学上学期期中模拟卷•培优卷【沪教版】

全解全析

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

1.如图,已知A8IICDIIEF,那么下列结论正确的是（）

【答案】A

【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理判断即可.

【详解】解：-ABWCDWEF,

AD_BC_

：''DF='CEf

故选项B,C,D错误，

故选：A.

2.如图，已知在平行四边形4BCD中，£是边4。上一点，AE=2ED,射线8E交边CD的延长线于点F,设

AB=m,BC=n,那么向量而用向量而和正的线性组合表示为（）

A.2m4-nB.—2m4-nC.|沆+五D.—|m4-n

【答案】D

【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，向量的和差运算等知识点；由平行四

边形的性质、相似三角形判定与性质得DF=/B,则而=一；而，从而而=一|而=一手H,则丽=丽+

而即可求解.

【详解】解：•••在平行四边形A8CD中，ABWDC,CD=AB,

：.4DFEFABE,~CD=-~AB,

DFDE

'''AE=带

-AE=2ED,

DE__

""AE=2,

DF1

''~AE_2*

即。/二/乙

:.DF=—^AB=­g沅，

:^CF=~CD+~DF=-JB-^AB=-^AB=-jn

.••旃=说+而=元-折

故选：D.

3.（24-25九年级上•山西临汾•期中）如图，已知41=42,那么添加下列一个条件后，不能判定△/IBCs^AOE

的是（）

CABAC

B.ZB=Z.ADEc—=—D丝=里

ADAEADDE

【答案】D

【分析】本题考查了相似三角形的判定定理.先根据工1=42,求出乙。力£=48力。，再根据相似三角形的

判定定理，逐项分析，即可求解.

【详解】解：•.21=42,

：.Z.DAE=Z.BAC,

A、添力||乙C=4E,

•：Z-DAE=Z.BAC,Z.C=乙E,

•••△48C〜△4DE,故A选项不符合题意；

B、添力口28=Z.ADE,

,：Z.DAE=Z.BAC,乙B=Z-ADE,

：.LABC-AADE,故B选项不符合题意;

一加4r484c

C、添加1而=而,

AB_AC

,：Z.DAE=Z.BAC,~AD~~AEy

:qABC〜4ADE,故C选项不符合题意;

D、添加箔=蔡:，不能判定△ABC故D选项符合题意.

ADUCADJ

故选：D.

4.（2025•陕西西安•模拟预测）已知一个二次函数图象经过匕（一3,y。,匕（一1,及），。3（2,乃），。4（3,%），

其中yi＞及=丫4，则力，丫2，中最值情况是（）

A.yi最大，丫3最小B.及最小，yi最大

C.V3最小，丁2最大D.月最小，丫3最大

【答案】A

【分析】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运

用二次函数的性质是关键.依据题意，由图象过。2（—1,丫2）和。4（3》4），可得抛物线的对称轴是直线％=

=1，然后分抛物线开口向上与开口向下进行讨论分析可以判断得解.

【详解】解:由题意,图象过「2（—1"2）和24（3》4），

抛物线的对称轴是直线x=字=1，

若抛物线开n向上，则顶点为最低点，离对称轴越远的点函数值越大，

P式—3,yi）到对称轴的距离为|-3—11=4,P2（—1了2）和P4（324）到对称轴的距离均为2,

又由于开口向上，

二月最大，H.y2=、4，

对于23（2,为），其到对称轴的距离为|2—1|=I,是四个点中最近的，

二为最小，

­,•力＞=74＞即%最大，丫3最小，

若抛物线开口向下，则顶点为最高点，但此时yi应小于以，与条件矛盾，

综上，抛物线开口向上时结论成立，

二月最大，丫3最小.

故选：A.

5.（2023•陕西•中考真题）如图，在6x7的网格中，每个小正方形的边长均为1.若点、4,B,C都在格点

D.当

c.l4

【答案】A

【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助

线是解题的关键.连接4。，先利用勾股定理的逆定理证明△4EO是直角三角形，从而可得44）8=90。，

然后在田△48。中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.

【详解】解：如图:连接

由题意得：AD2=22+22=8,

BD1=32+32=18,

AB2=12+52=26,

.-.AD2+BD2=AB2,

.•.△A8D是直角三角形,

.'.LADB=90°,

在内△480中，AD=啊=2a,AB=V26,

„AD2V22V13

.•.sinB=—=-==——,

AB>/2613

故选:A.

6.（2025•江苏南京•三模）如图，在等边△48。中，点D,E分别是边48、上的动点，且BD=2CE.以

。后为边作等边△OEF，使点力与点F在直线1同侧，。产交力C于点C,EF交AC于点H.给出下面四个结论;

①乙BED=乙4HF；

②AD-DF=BEDG；

③若ED148,^\DFLAC；

④若“：BE=1:2,则四边形DBEF是菱形.

上述结论中.所有正确结论的序号是（）

C.①②③D.①②③④

【答案】D

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，综合运用相关

知识是解题的关键

①正确.利用等边三角形的性质以及三角形外角的性质证明即可：②正确.证明△£08〜ADGA,可

得结论；③正确.证明乙4G。=90。即可；④正确.证明四边形四边相等即可.

【详解】解：•••△48C,ADEF都是等边三角形，

zACB=ZDEF=60°,

vLBEF=乙BED+乙DEF=/-ACB+乙CHE,

LBED=乙CHE,

vLAHF=乙CHE,

：ZBED=LAHF,故①正确：

•SB=Z.BAC=乙EDF=60°,

乙BDE十2BED=120°,乙BDE+Z.ADG=120°,

:•乙BED=Z.ADG,

EDB〜△DGA,

笔=需^AD-DE=BE-DG,

bGAD

vDE-DF,

：.MDF=BEDG；故②正下角；

••・△/WC是等边三角形,

=Z-BAC=60°»

vED1AB,

ALADE=90°,

•・・△OEF是等边三角形，

ALEDF=60°,

ALADG=30°,

.••/AG。=90°,即OF1AC,故③正确；

•••CE:BE=1:2

BE=2CE,

•••BD=2CE,

•••BD=BE,

vzB=60°,

BDE是等边三角形,

:.BE=BD=DE=EF=DF,

••・四边形D8EF是菱形，故④正确.

故选：D.

二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分）

7.（24-25九年级上•上海静安•期中）计算:2（a+2）-3（a-b）-b=.

【答案】-a+4b

【分析】本题考查了平面向量的知识，根据平面向量的加减运算法则求解即可求得答案，熟悉相关性质是

解题的关键.

【详解】解：2（a+b）-3（a-b）-b=2a+2b-3a+3b-b=-a+4b

故答案为：一五+4%

8.（2025•江苏盐城•中考真题）已知二次函数y=%2—2%—3,当自变量%满足0WxW4时，y的取值范围

是一

【答案】-4WyW5

【分析】本题主要考杳了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.

先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解y的取值范围.

【详解】解：y=x2-2x-3=(x—l)2-4,

.•・函数图象的对称轴为直线x=1,开口向上,

•••0<%<4,

二当X=O时，y=-3;无=4时，y=5,当X=1时，Vmin=-4,

・•.y的取值范围是：一4工y工5,

故答案为：-4Wy&5.

9.如图，在中，P,。分别为力B,4c的中点.若S&4PQ=1,则S四边形PBCQ=

【答案】3

【分析】

本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中

考常考题型.

利用三角形中位线定理以及相似三角形的性质解决问题即可.

【详解】解：•:P,Q分别为48,4c的中点,

PQWBC,PQ=迦,

APQ〜AABC,

.SfPQ二口,二1

"一\27-4'

VSAAPQ=1,

S&ABC=4,

二S四边形P8CQ=S〉ABC-S&APQ=3，

故答案为：3.

10.(24-25九年级上•上海松江•期中)已知，在以。为坐标原点的直角坐标平面内有一点P(3，D，如果

与y轴正半轴的夹角为%那么4。的余切值为—.

【答案】\

【分析】本题主要考查了解直角三角形、坐标与图形等知识点，能根据题意画出示意图及熟知余切的定义

是解题的关键.

先根据题意画出图形，再结合余切的定义求解即可.

【详解】解：如图：过点P作y轴的垂线，垂足为

：.MP=3,MO=1.

在中，cot^-POM==77,即=

INjOJ

故答案为:g.

11.（2025•山西临汾•二模）善，从言从羊，木义“吉祥〃.借助如图的正方形习字格书写的汉字“善〃端庄稳

重.舒展美观.已知一条分割线的端点48分别在习字格的边MP,NQ上，且力BIIMN,“善”字的笔画”

的位置在AB的黄金分割点。处，且能二等，若MN=4cm,则"的长为<

【答案】（2诉一2）

【分析】本题考查了黄金分割，正方形的性质，理解黄金分割知识是解题的关键,

根据矩形的性质求出A8的长度，再代入即可.

【洋解】解：••・四边形NMPQ为正方形,

"MN=Z.MNQ=90°,

又MBIIMN,

••.△PMN+4M4C=180°,

.'./.MAC=90°,

四边形MNB力是矩形,

•：MN=AB=4cm,

,BC_V5-1

"AB~2'

.封=与1x4=2V5-2（cm）.

故答案为：2V5-2.

12.（2025•青海玉树•模拟预测）在RtZSABC中，4c=90。，cosB=*若AB=14,那么BC=.

【答案】10

【分析】本题考查解直角三角形，根据题意得到相应变之比即可得到答案；

【详解】解：•••RS4BC中,ZC=9O°,cosB=/cosB=/1O

BC5

二方=于

"AB=14,

BC=10.

故答案为：10.

13.（2023•江苏泰州•中考真题）二次函数y=x2+3%+72的图像与x轴有一个交点在歹轴右侧，则〃的值

可以是（填一个值即可）

【答案】一3（答案不唯一）

【分析】根据根与系数的关系即可求解.

【详解】解：设二次函数、=/+3工+71的图象与乃轴交点的横坐标为勺、x2,

即二元一次方程%2+3x+n=0的根为底、x2»

由根与系数的关系得：％1+%2=-3,无1•工2=几，

•.•一次函数y=x2+3x+几的图象与％轴有一个交点在y轴右侧，

:・乂1，%2为异号，

n<0,

故答案为：一3（答案不唯一）.

【点睛】本题考查抛物线与％轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用.

14.（2025九年级上•上海・专题练习）如图梯形ABC。中，AB\\CD.AC交BD于点0,AB=2CD.已知而,

AD,如用而，而表示而，那么而=.

【答案】一胡-痴

【分析】本题考查向量的计算，熟练掌握二角形法则，是解题的关键，根据向量的二角形法则可知由二而

+而,根据平行线的性质和相似三角形的性质可知而二-;说，丽=3丽.根据向量的三角形法则可知

~DB=-AD+AB,代入即可求解.

【详解】解："AB||CD,AB=2CD.

...CD=-^ABt△DOC〜△BOA,

DOCD1

=7B=29

.•.DO=竺氏

.•.而=那.

CO=CD+DO=-^AB+初=-^AB+*-而+确=一^AB-痴.

故答案为：一;而一：而.

15.已知菱形A8CD的对角线交于点。，且48=2,4B4D=60°,现将菱形绕着点。顺时针旋转90°至&B£

。1，则两个菱形重合部分的面积为.

【答案】6-2V3/-2V3+6

【分析】根据已知可得重叠部分是各边长相等的八边形，求得其一边长，再求出E"口。8的长度，重叠部分

面积可以分成八等份，求得△尸8。的面积即可求出答案.

【详解】解：由旋转的性质可得：重叠部分为各边长相等的八边形,

•，.BF=FB\,

••・菱形48C0的•个内角是60°,将它绕对角线的交点。顺时针旋转90°后得到菱形4181cl01，

二0=48/10=30°,C\D\=AB=2t

=60°,

•••LCyFB=LABAy—Z.B|CiO=30\

3B=BF=FBI，

.oOBOB1

vs,n3O0n=^=T=?

OB=1=B]0=。。=0Z)i，

•••CiB=BF=FBi=y/3—It

•*'C\F—C$1—FBi—2—(V3—1)=3—V3♦

过点歹作。B的垂线交于£连接OF,

...FE=/=等，

.c—1乂3一61_3一代

1xvx

3"80-2------

.­•重叠部分的面积=8X3二夕=6—2班，

4

故答案为：6-2V3.

【点睛】本题主要考查菱形的性质、旋转的性质、解直角三角形以及三角形面积的计算方法，通过分析菱

形旋转后与原菱形重合部分的形状和面积，利用三角形全等和面积公式求解是解题的关键.

16.（2026•江西•模拟预测）已知在RtZXABC中，AB=6,^BAC=30°,。为直线力B上一点，且BP=BC,

则CP的长为—.

【答案】2后，36或3

【分析】本题主要考查了直角一角形的性质、勾股定理以及分类讨论思想的应用，关键在于正确分析点P的

位置，并利用几何关系求解.

分乙40=90。和Z4C8=90。两种情况讨论，同时要分点尸在线段48上和线段4B的延长线上两种情况，结合

图形逐一求解.

【详解】解：根据题意，RtZkABC的直角顶点不确定,

，需分乙ABC=90。和〃=90。两种情况讨论.

①当乙48c=90。时，如图⑴，满足题意的点P有两个，

在直线A8上点8的两侧，分别记为点Pi，P2.

AB=6,ABAC=30°,

BC=ABxtan30°=2V3,

BPi=BP2=BC=2V3,

：•CPi=CP2=2V6.

图⑴

②当44cB=90。时，如图(2),满足题意的点。有两个，在直线4B上点8的两侧，分别记为点P3,「4.

.•.8C=Z18xsin300=3,

4c=48xcos30。=3百，418c=60。.

•••BP3=BC,

•••ZP3=；£ABC=30°=/-BAC,

CP3=AC=373.

v8P4=BC,/.ABC=60°,

・••△BCP4是等边三角形，

:.CP4=3.

综上，CP的长为2e、36或3.

故答案为：2瓜3百或3.

17.（2025•江苏苏州•二模）在等提中，AB=AC,4。是边BC上的高，将线段/。绕着点。逆时针旋

转，点A旋转到点E,ED与边AB交于点尸,且落=：，如果△4FE与△DF3相似，那么等的值为_________.

UI*乙/115

【答案】李

4

【分析】过点。作DG1AE于点G,交AB于点H,先判断出乙EAF＜得△AEF凡由相似三角形的

性质得，二络结合等腰三角形的性质，由相似三角形的判定方法得△。»/〜△/皿由相似三角形的性

质喷=*=黑，设EF=3a,DF=2a,则4D=DE=5a,*普=翳，如?整理得

AF-FH=4a2,AF-BF=6a2,化简得£=誓=2设FH=2b,BF=3b,可得7b•2b=4a2,即可求

or6a43

解.

【详解】解：过点。作。G_LAE于点G,交AB于点H,

乙DGE=90°,

AD1BC,AB=AC,

•••LB+乙BAD=90°,

/.BAD=Z.CAD,

LEAF<乙B,

•:乙BFD=N力/E,△力FE与△DFB相彳以,

:AAEFFDBF,

二zE=Z.B,

空—竺

~BF~'DF'

.BF_DF

A~EF=~AF"

由旋转得：OE=AO,

:.LE=Z.DAG,

乙FDH=Z.ADG,

•••LDAG+/-BAD=90°,

AWAG+/-CAD=90°,

••./CAE=90。，

LCAE=乙DGE=90°,

DG\\AC,

A/.BAD=Z.CAD=Z.ADG,

Z.BDH=4

:.LB=Z.BDH,

乙FDH=乙BAD,

••.BH=DH,

：.AH=DH=BH=^AB,

■:LDFH=NA尸D,

：4DFHMAFD,

OFFHDH

"'~AF~'FD~而’

••FE—3—

•DF~2f

•••设EF=3a,DF=2a,

则4。=DE=5a,

2aFHDH

:.—=---=-----,

AF2a5a

B£_2a

"3a~AF'

2

AF-FH=4at

AF-BF=6a2

FH_4a2_2

於一商一

:.设F"=2b,BF=3b,

:.BH=FH+BF=5b,

.'.AB=2BH=10b,

DH=AH=5bf

.-.AF=AH+FH=7b,

7b-2b=4a2,

解得：a=^-b（负值已舍），

,"_Sa__5x—b_VN

..布一前一意~

故答案为：平.

4

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三箱形的判定及性质，能熟练利用相似三角形

的性质进行求解是解题的关键.

18.（2025,江苏镇江•中考真题）如图，在等腰直角三角形力3C中，LC=90°,AC=BC=S,。是4?的中

点，M是边4C上的动点，作DNJ.OM,交BC于点N,延长MO到点P,使得OP=2M。.当△PNB面枳最大

时，的长等于.

【答案】2

【分析】连接取8。的中点Q,连接PQ并延长交8C于点R证明三得到AM=CN,证

明A/IOM〜△QOP,得到PQIIAM,AM=2PQ,进而得到PE_L8C,推出△8EQ为等腰直角三角形，求出

BE=EQ=争（2=qBD=2,设PQ=x,则：CN=AM=2x,PE=x+2,根据△PNB面积=g

BNPE,转化为二次函数求最值即可.

【详解】解：连接CD,取BD的中点Q,连接PQ并延长交BC于点E,

c

vzC=90°,AC=BC=8,。是48的中点，

.'.AB=V2AC=8乃,/4=Z.CBA=45°,CO=[AB=AD=BD=49，^.ACD=乙BCD=0,CD工AB,

.'.LADM+乙CDM=90°,

•:DM1.DN,

.•.乙CDN+乙CDM=90°,

WDN=^,ADM,

△40M三△CON,

.-.AM=CN,

•••Q为8。的中点.

,-.DQ=^BD=^AD,

..•DP=|MD,

MDADr

•••/=丽=2,

•：Z.ADM=乙PDQ,

•••△ADMQDP,

AM

=£PQD,­=2,

.•・PQII/1M,AM=2PQ,

.kPEB=Z.ACB=90。，即：PELBC,

•:乙CBA=45°,

••.△BEQ为等腰直角三角形，

:.BE=EQ=当BQ=牛80=2,

设PQ=%,则：CN=AM=2x,PE=x+2,

:.BN=BC-CN=8-2xt

:.△PNB面积=\BNPE=1(R-2r)(r4-2)=-x24-2x+8=-(x-l)2+9,

...当X=I时，△PN8面积的面积最大；

此时AM=2：

故答案为：2.

【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，相似

三角形的判定性质，二次函数求最值，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，确定动点的位置，将三角

形的面积转化为二次函数求最值，是解题的关键.

三、解答题(本大题共7小题，满分78分)

19.(2025•四川内江•一模)如图，四边形为8co为菱形，点E在AC的延长线上，^ACD=Z.ABE.

⑴求证：

(2)当48=6,4。=4时,求SMCE

【答案】⑴见解析

(2)1072

【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理.

(1)证明4=可得乙4BE=2BC4,即可求证；

(2)连接3D交AC于点O,根据菱形的性质以及勾股定理可得。8=4近，再由△ABC〜△4EB,可得

AE=9,从而得到CE=4E-4c=5,即可求解.

【详解】(1)证明：••・四边形ABC0为菱形，

:.BC=CD=AD=AB,AB\\CD,

...△ABC^△CDA,Z.ACD=Z.BAC,

：.LACD=Z-ACB,

：.Z.ACD=Z.BCA,

•：Z.ACD=Z-ABE,

：.Z.ABE=Z.BCA,

•"BAC=Z.BAE,

：.HABC

（2）解：如图，连接8。交AC于点O,

•••四边形械。为菱形，AC=4,

：.AC1BD.OA=^AC=2,

-AB=6,

...OB=7AB2-0型=上-22=4VL

ABAC64

二族=布，即Hn布

ME=9,

:.CE=AE-AC=5,

:.SABCE~；CEx°8=；x5x4V?=10V2.

20.（24-25九年级上•上海•阶段练习）如图，在梯形4BC0中，4811c。，点E是CD的中点，且AC

（1）若48=a,AD=h.则C£>=,FC=:

⑵请在图中作出而在五、3方向上的分向量.

【答案】⑴-苦、（+货;

（2）见解析.

【分析】本题考查作图复杂作图，平面向量，三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是掌握三

角形法则，平行四边形法则.

（1）利用平行向量的性质，以及三角形法则求解即可;

(2)利用平行四边形法则画出图形即可.

【详解】⑴解:-AB||CD,EC=lAB,

'.EC=

•・•点£是。。的中点，

:.DC=2EC=弱，

.'.CD.=-2EC.=-^4aT,

-ABIICD,

••.△ABF〜ACEF,

竺—竺_丝_2

***C£='CF=~CE=51

:.FC=

■‘1

'：AC=AD+DC,

，•TA

••.AC=b+-a

••.FC='\+"5)/=%J。+孤/

故答案为：一晶9五+/；

奇、就分别是标在乙方方向上的分向量.

21.(2025・北京•模拟预测)如图，在菱形A8CD中，对角线力C与BD交于点0,过点。作。EIL4C,交8c的延

长线于点E,C/平分NDCE交DE于点凡

8CE

⑴求证：四边形。C/D是矩形；

4

(2)若力8=10,tanE=求。尸的长.

【答案】⑴证明见解析；

[2}CF=8.

【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形和矩形的判定，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等

知识，掌握知识点的应用是解题的关键.

(1)由四边形力BCD是菱形,则48IICD,ACLBD,80平分〃BC,所以UBC=5?E,Z.COD=90°,

^DBC=^ABC,从而可证"CE,所以80ICF,证明四边形0"0是平行四边形，又

^COD=90°,故有四边形OCFD是矩形：

(2)由(1)知四边形。CFO是矩形，则4DFC=zCFE=90。，由tan£=M=1设CF=4k,则斯=3匕

CtO

证明△OCne^EC"(ASA),所以=C。=八。=10,然后通过勾股定理即可求解.

【详解】⑴证明：•.・四边形力BC。是菱形，

.\A8WCD,ACLBD,80平分々48C,

.•.乙ABC=LDCE,Z.COD=90°,LDBC=^ABC,

•••CF平分iDCE,

:.乙FCE=3乙DCE,

"DBC=乙FCE,

.'.BDWCF,

•:DE\\AC,

•••四边形。。尸D是平行四边形，

“COD=90°,

•••四边形OC"。是矩形；

(2)解：由(1)知四边形。C"D是矩形，

"DFC=乙CFE=90°,

在RSCFE中，tanF=

设C?=4匕则EF=3匕

•••CF平分匕OCE交OE于点F,CF1DE,

“DCF=乙ECF,乙DFC=乙EFC,

•:CF=CF,

:.△DCF三△ECF(ASA),

:.CE=CD=AB=10,

在RSCEF中,由勾股定理,^CF2+EF2=CE2,

••.(4幻2+(3k)2=102,

解得k=2(负值已舍去)，

.'.CF=8.

22.（2024•江苏宿迁•三模）某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚（如图1）,其侧面的示意图如图

2所示，测得主立柱的一段48=1.2m,支柱DE的底端。到4的距离4。=0.6m,顶棚尸处到支柱底端。的水

平距离D"=1.4m,在8处分别测得E处的仰角为50。，尸处的仰角为26.5。.

图1图2

⑴求支柱DE的高；

(2)求顶棚F处离地面的高度F”.(参考数据:sin50°«0.77,cos50°«0.64,tan50°«1.19,sin

26.5。*0.45,cos26.5°«0.89,tan26.5°*0,50,结果精确到0.1m)

【答案】（1）1.9m

（2）2.2m

【分析】本题考查解直角三角形的应川-仰角俯角问题，根据题H的已知条件并结合图形添加适当的辅助线

构造直角三角形是解题的关键.

（1）过点8作BMLDE,垂足为M,在RtAEBM中，求出EM即可解决问题；

（2）延长8M交尸”与点N,可得6N1FH,在RtA/BN中，求出HV即可解决问题.

【详解】（1）解：过点B作BMJLDE,垂足为M,

图2

出题意可知，四边形/18M〃是矩形，

•••BM=AD=0.6,DM=AB=1.2,

在心△8EM中，

MF

tai叱M8E=―,

MD

:.ME==0.6xtan50°x0.7,

:.DE=DM+ME=1.2+0.71x1.9,

二支柱OE的高为1.9m.

(2)延长BM交F”与点N,可得SN_LFH,

图2

由题意可知，四边形DMN”是矩形，

:.NH=MD=AB=1.2,

MN=DH=1.4.

:.BN=BM+MN=0.6+1.4=2,

在RtABN/中，

taMNBF=篇，

FN=BNlanzJVBF=2xtan26.5°«1,

:.FH=FN+NH=1+L2=2.2,

二顶棚尸处离地面的高度"/约为2.2m.

23.（2025•廿肃酒泉二模）如图，已知二次函数丫=X21/7£十＜:的图象经过两点。（一2,5）与。（2,—3）,且与

X轴相交于A、B两点，其顶点为M.

⑴求点M的坐标；

⑵求△4BM的面积；

⑶在二次函数图象上是否存在点P,使若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由;

(4)把二次函数图象在工轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变.得到一个新的图象，请你结合

这个新的图象回答：当直线、=%+加(6<1)与此图象有两个公共点时，m的取值范围是什么？

【答案】(l)M(l,-4)

(2)8

(3)存在,P(4,5)或(一2,5)

(4)-3<m<1

【分析】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，抛物线顶点坐标的求

法，三角形面枳公式的运用，抛物线与直线的交点情况的关系.

(1)利用待定系数法将点C、点D的坐标代入解析式就可以求出抛物线的解析式，再化为顶点式就可以求出

其顶点坐标M.

(2)当y=0时，求出抛物线与工轴的交点坐标就可以求出48的值，△4BM的高就是M的纵坐标的高的绝

对值.利用三角形的面积公式就可以求出其面积.

(3)设出点尸的坐标为(a,Q2-2a-3),根据条件S".=建立等量关系就可以求出P点的坐标.

(4)当宜线y=x+<1)经过点4(一1,0)时，可以求出m的值，当直线y=x+m(mV1)经过点B(3,0)

时可以求出m的值，再根据图象就可以求出m的取值范围.

【详解】⑴解:二•点C(一2,5)与。(2,—3)在二次函数y=%2+bx+c的图象上,

(5=4—2b+c

,•(-3=4+2b+c'

解得:e:二.

•••抛物线的解析式为：、=必一2%—3,

••・y=(x—1)2-4

-4)；

(2)解：当y=0时，则y=/一2%一3=0,

解得％1=3,x2=-1,

-1,0),B(3,0),

：•AB=4,

_4x4_

•'•'△ABM=—3

（3）解：设点P的坐标为®Q2-2Q-3）,当点P在x轴的上方时,

•••4(.2—2a—3)x^=1-xfi,

解得：=4,a2=-2

••/(4,5)或(-2,5),

当点P在“轴的下方时的点不存在.

•••P(4,5)或(一2,5)；

+m(m<1)经过点4(一1,0)时,

n=1

当直线y=x+m(m<1)经过点8(3,0)时,

.-.0=3+m,

m=-3

n<1,

由图象得：-3<mvl.

24.(2025•湖南长沙•模拟预测)句题：将直线y=2%—1关于X轴对称所得的直线记为力，求力的函数解析

式.

解决办法：

①设点Pc(%o，y。)是直线上的点；

②点PoQo，yo)关于无轴的对称点为P'Qo,—%)；

③点P'在直线y=2%—1上，把点PG。,-%)代入y=2无一1,得一%=则y°=—24+1,.•.直线

力的函数解析式为yi=-2x+1.

⑴结合上述解决方法，若y=/+4x+3的函数图象与函数丫2的图象关于y轴对称，求函数丫2的解析式；

⑵在⑴的条件下，当aGWa+1时，丫2的最小值为1，求a的值；

⑶在(1)的条件下，当时，直线y=2x+n与丫2的函数图象有2个交点，求n的取值范围.

【答案】⑴丫2=%2—4%+3

(2)a的值为2+加或1一鱼

(3)当1<x<5时，满足以与图象有2个交点的"的取值范围是一6Vn工一2

【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，灵活运用数形结合思想是解答本题的关键.

(1)依照轴对称的性质进行解答即可；

(2)求出函数及图象的对称轴为直线％=2,根据题意分a>2和Q+1V2两种情况讨论求解即可；

(3)画出函数图象，结合图象解答即可.

【详解】(1)解：设M(%,y)在y?的函数图象上，则点M关于y轴对称的点N(r,y)在丫=工2+欠+3的图象

上，

把点N(—%,y)代入y=/+4%+3中，得y=(—x)2+4x(—工)+3,则y=%2__轨+3,

・•・函数y2的解析式为及=x2-4x+3；

22

(2)解：vy2=x—4%+3=(x—2)—1,

・•・函数图象的对称轴为直线％=2,的最小值为一1，

•.•当aWxWa+1时，及的最小值为1，

.,.a>2或Q+1<2,

①当Q>2时，丫2在％=a处取得最小值1，

•••a2—4a+3=1,解得a=2+也或a=2—y/2,

va>2,

J.Q=2+企；

②当Q+1<