2025-2026学年江苏省无锡市锡山区九年级（上）期中数学试卷

2025・2026学年江苏省无锡市锡山区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上相应的答案涂黑.）

1.（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.x-2=0B.—=1C.2x-3y=1D.x2=\

x-1

2.（3分）用配方法解一元二次方程*+4.什3=0,将它转化为（x+a）2=。的形式，则。的值为（）

A.-2B.2C.-4D.4

3.（3分）已知OO的半径是5,OP=6,则点。与00的位置关系是（）

A.点尸在圆上B.点尸在圆内C.点P在圆外D.不能确定

5.（3分）下列说法中，正确的是（）

A.长度相等的弧是等弧

B.任意三点确定一个圆

C.优弧一定比劣弧长

D.在等圆中，相等的圆心角所对的弦相等

6.（3分）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，如果不及时复习，那么学习

过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样的.设每天“遗忘”的百分比为工，根据题意

可列方程为（）

22

A.l-x=yB.（l+x）=y

C.2（1+x）2=1D-（1-X）2=y

7.（3分）生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优

美的样子.如图（AP>PB）,如果44长为&v〃，那么力夕的长约为（）

第1页（共24页）

A

k

p

I—

B

A.B.12-4雨c.4V5-4D.8V5-8

2

8.（3分）若关于x的一元二次方程。（x+〃?）2+〃=（）的两根分别为w=-2,也=1，则关于x的一元二次

方程。Cx+m-2025）2+/?=0MW0）的两根分别为（）

A.xi=-2,X2=1B.xi=2023,X2=2026

C.x]=-2023,X2=2026D.X\=-2027,X2=-2022

9.（3分）如图，在菱形48C。中，对角线力C=6,分别以点.4,B,C,。为圆心，工郑，与该菱形的

2

边相交，则图中阴影部分的面积为（）

A

c

A.18V3-9HB.9V3-3HC.24g•兀D.12g■冗

44

10.（3分）如图，已知正方形/ISCO中,连结/C,作△力。E的外接圆分别交48、CD于点F、G,连结

。/交/C于点M

下列结论：

①DE=EF；

@AM=CE,

③S困边形8CWF=S四边形,4。£;”；

@NEFB=NAFD.

其中正确的是（）

第2页（共24页）

A.①②B.①②④C.①③④D.①②③④

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答

题卡相应位置.）

11.（3分）己知一元二次方程f・2x+%=0有一个根为-1,则4的值为.

12.（3分）已知圆锥的底面圆半径为3cm,母线长为则该圆锥的侧面积为cm2

13.（3分）如图，与CO交于点。，连结力。和8a请添加一个条件：

14.（3分）两个相似三角形的面积比是4：9,其中较小三角形周长为65?，则较大三角形周长为

15.（3分）正五边形绕其中心至少旋转度后能与自身重合.

16.（3分）如图，Z8是半圆。的直径，点C,则N8O。的度数为°.

17.（3分）现定义区表示不超过实数x的最大整数，如［后］=1，［-1.2］=-2,［3］=3［乂］=3乂2的解

4

为尸•

18.（3分）如图，为RtA4取?的外接圆，4。4=90。，3c=4点，点。是上的动点，且点C、

D分别位于的两侧；连接力。，设4D的中点为M,在点。的运动过程

中•

第3页（共24页）

A

0

D\/

三、解答题（本大题共10小题，共计96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明

过程或演算步骤）

19.（8分）解下列方程:

（i）X2-4X-21=0；

（2）x（x+1）=2（.v+1）.

20.（8分）已知包=包=2产0.

234

（1）求的值：

a+b

（2）若a-b+c=9,求3a-2力+c的值.

21.（10分）关于x的一元二次方程》2+〃?.丫+3〃？・9=0.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根为非负数，求小的取值范围.

22.（10分）如图，在△ZBC中.过点B作N4BD=NC,使边8。交4C于点。.

（1）求证：AABDsdACB.

（2）若AB=6,力。=4,求线段C。的长.

23.（10分）如图，在△48C中，ZC=90°,。是48上一点，以04为半径的。0经过点0

（1）求证：8。是。。的切线；

（2）若BE=2,BD=4,求相长.

第4页（共24页）

24.（10分）前段时间，首届“苏超”联赛火爆出圈.某商家抓住商机，花费10800元采购120个入门款

足球和20个专业款足球

（1）求入门款足球和专业款足球的进价各是多少元？

（2）为庆祝首届“苏超”联赛无锡队位列第四，商家决定对入门款足球进行降价销售，经市场调研，

每天可卖出40个；售价每降低1元，每天销售入门款足球的利润为3000元？

25.（10分）如图，在RtZXXBC中，ZACB=90°.

（1）尺规作图：作。。使得0。经过点C,并且与边力4、力C都相切；（不写作法，保留痕迹）

（2）在（1）的条件下，若/C=3,则。。的半径为.

26.（10分）定义：两根都为整数的一元二次方程or2+bx+c=0称为“整根方程”，代数式械立式的值为

4a

该“整根方程”的“特征值”（m〃，c）表示.若另一个一元二次方程"+"+U=0也为“整根方程”,

其“特征值”记为。（p，q,『）.当满足。（。，b,c）（p,办厂）=。时，则称一元二次方程aF+以+c

=0是一元二次方程P/+和+/=0的"整根关联方程”.

（1）“整根方程"x2--4=0的“特征值”是；

（2）若（1）中的方程是一元二次方程/+"+4=0的"整根关联方程”，求q的值；

（3）若一元二次方程/+（1-m）x+rn-2=0是x2+（w-1）x-n=0（WJ>n均为正整数）的“整根关

联方程”

27.（10分）如图，将两张完全相同的菱形纸片48。。和EFGH叠放在一起，把菱形48CO固定，在运动

过程中边始终经过点儿对角线77/与边力。相交于点V.己知44=10,设运动时间为，秒（0V/

<12).

(1)求证：AABFs^FDM；

第5页（共24页）

（2）当△力根为等腰三角形时，求/的值;

（3）请直接写出4M的最小值.

28.（10分）如图1,在矩形48C。中（AB>AD）,对角线XC,点力关于8。的对称点为4,连接44交

BD于点E

（1）求证：AA'±CA'；

（2）以点。为圆心，OE为半径作圆.

①如图2,若。。与CD相切于点凡求NH4C的度数；

②若力Z）=2,。。与C4相切，则。。的面积为.

图1图2

第6页（共24页）

2025-2026学年江苏省无锡市锡山区九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案DBCBDDCBCB

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上相应的答案涂黑.）

1.（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.x-2=0B.-L-=lC.2A--3y=1D.?=I

【解答】解：A.未知数的次数是1,故此选项不符合题意；

B、不是整式方程；

。、含有两个未知数，故此选项不符合题意；

。、符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意：

故选：D.

2.（3分）用配方法解一元二次方程，+4.什3=0,将它转化为2=%的形式，则。的值为（）

A.-2B.2C.-4D.4

【解答】解：・・・/+4.什4=（）,

，/+5x=-3,

则/+4x+4=-3+4,即（x+2）2=3,

，。=2,

故选：B.

3.（3分）已知的半径是5,QP=6,则点尸与0。的位置关系是（）

A.点P在圆上B.点P在圆内C.点P在圆外D.不能确定

【解答】解：•・•半径是5,OP=6,

:・d>R,

・••点P与OO的位置关系是点尸在圆外，

故选：C.

4.（3分）如图，“〃/2〃/3，AB=2,DE=3,BC=4（）

第7页（共24页）

A.4B.6C.8D.10

【解答】解：・・力〃/2〃/8，

•AB_—DE即2—2

••而一而‘'［而‘

解得：EF=6,

故选：B.

5.（3分）下列说法中，正确的是（）

A.长度相等的弧是等弧

B.任意三点确定一个圆

C.优弧一定比劣弧长

D.在等圆中，相等的圆心角所对的弦相等

【解答】解：A.能够完全重合的弧是等弧，所以力选项不符合题意；

B.不在同一直线上的三点确定一个圆；

C.在同圆或等圆中，所以C选项不符合题意；

D.在等圆中，所以。选项符合题意.

故选：D.

6.（3分）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，如果不及时复习，那么学习

过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是〜样的.设每天“遗忘”的百分比为1,根据题意

可列方程为（）

22

A.1-X=yB.（1+X）=i

c22

-y（1+x）=1D.（1-X）=y

【解答】解：根据题意可得（l-x）2&，

2

故选：D.

7.（3分）生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优

美的样子.如图（AP>PB）,如果力4长为那么力尸的长约为（）

第8页（共24页）

A

A.B.12-4V5C.4V5-4D.8V5-8

2

【解答】解：由题知,

因为点。是的黄金分割点（AP>PB）,

所啥事

又因为力4=&〃7,

所以.4。=吗因X8=（675一4）cm

乙

故选：C.

8.（3分）若关于x的一元二次方程。（x+w）2+〃=o的两根分别为加=-2,、2=1，则关于x的一元二次

方程“（x+m-2025）2+/7=0:aXO）的两根分别为（）

A.xi=-2,X2=1B.xi=2023,X2=2026

C.xi=-2023,X2=2026D.XI=-2027,x2=-2022

【解答】解：令y=x・2025,

由。(x+w-2025)2+〃=0可得。(八〃?)4+〃=o,

a(x+〃?)2+〃=7的两根分别为xi=・2,xi=\,

'-a(y+m)2+〃=5的两根分别为巾=-2,g=1，

,-2=x-2025或3=x-2025,

解得xi=2023,X2=2026：

故选：B.

9.（3分）如图，在菱形48co中，对角线4C=6,分别以点.4,B,C,。为圆心，上杷，与该菱形的

2

边相交，则图中阴影部分的面枳为（）

第9页（共24页）

A.I8V3-9HB.9V3-3KC.24-KD.12互冗

44

【解答】解：如图，菱形48co中，8。=8,

：.OA=OC=3,08=00=6,

:，AB=Z7OA2OB2=8，

,s阴影部分=5菱形-Smi

=Xx2X8-nX（豆）2

28

=24-迎

4

故选：C.

10.（3分）如图，已知正方形力BCO中，连结AC,作△力。£的外接圆分别交48、C。于点F、G,连结

DF交AC于点M

下列结论：

®DE=EFx

②4M=CE；

③s四边形8CA/r=5四边形片。七尸；

④/EFB=/AFD.

其中正确的是（）

第10页（共24页）

A.①②B.①②④C.①③④D.①②③④

【解答】解：•・•四边形/也CO是正方形，

：,AD=CD,NBAD=ZADC=90°,

；・NDFE=ND/iM=45°,

•・•四边形/。石尸圆内接四边形，

：.ZBAD+ZDEF=\80°,

・•・"£尸=90°,

：.NEDF=45°,

；・DE=E卜,则结论①正确；

'：AD=AE,ZDAM=45Q,

•••ZADE=ZAED=y(180°-ZDAM)=67.6"，

工NCDE=4DC-4DE=22.5°,

若由圆周角定理得：NEDF=NB4c=45°,

・•・NADM=ZADE-NEDF=225°,

・•・ZADM=ZCDE,

在△4DW和中，

rZDAM=ZDCE

«AD=CD，

ZADM=ZCDE

：.RADM迫ACDE(ASA\

・•・/〃=EC,则结论②正确；

由圆内接四边形的性质得：/EFB=NADE,

•・•ZADE=ZAED,

:・/EFB=/AED,

由圆周角定理得：NAED=NAFD,

:・NEFB=/AFD,则结论④正确：

由圆周角定理得：NAEF=NADM,

第11页（共24页）

•・•AADM=/CDE,

/.ZAEF=ZCDE,

*：AD=CD,AD=AE,

:.AE=CD,

在和△CQE中，

rZAEF=ZCDE

'AE=CD，

ZEAF=ZDCE=45"

:.XAEF9XCDECASA）,

SyEF=SdCDE，

*,•S四边形ADEF=S^AD^-S^AEF=S^ADE+S^CDE=S^ACD»

•••四边形/IBC。是正方形，

••SPAC'DS4ARC，

••S四边形/DE尸=S/\48C，

又,：S四边形BCMF=Sa4BC-S&AMF〈SAABC，

**S四边形8cMz<S叫边形dDEF，则结论叵）错误；

综.匕结论正确的是①②④，

故选：B.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答

题卡相应位置.）

11.（3分）已知一元二次方程x2-2x+%=0有一个根为-1,则』的值为-3.

【解答】解：把x=-l代入A2-3x+A;=（）得：1+6+4=0,

解得攵=7.

故答案为：-8.

12,（3分）已如圆锥的底面圆半径为3c/〃，母线长为4tv〃，则该圆锥的侧面积为12ncnr.

【解答】解：•・•底面圆半径为3c7〃，母线长为4c•〃?，

圆锥的侧面积为=7T”=n・2・4=12n（cm2）,

故答案为：12m

13,（3分）如图，4B与CD交于点O,连结4。和8C,请添加一个条件：/B=/A（答案不唯一）.

第12页（共24页）

AC

【解答】解：添加N3=N4

〈NB=NA,NAOD=NBOC,

:•△AODsgoc,

故答案为：NB=NA（答案不唯一）.

14.（3分）两个相似三角形的面枳比是4：9,其中较小三角形局长为60〃，则较大三角形周长为2。加

【解答】解：设较大的三角形的周长为X,

•・•两个相似三角形的面积的比是4：9,

，这两个相似三角形的相似比为8：3,

・•・这两个三角形的周长比为2：5,

•较小的三角形的周长为6cm,

•・•6—■=7—,

X3

・3=9,

故答案为：7.

15.（3分）正五边形绕其中心至少旋转72度后能与自身重合.

【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，所以五形绕其中心至少旋转72度后能与自

身重合.

故答案为：72.

16.（3分）如图，力8是半圆O的直径，点C,则NBDC的度数为128

C

【解答】解：是半圆。的直径,

/.Z/1CT=9O0,

VZABC=38°,

第13页（共24页）

AZJ=90°-38°=52°,

•・•四边形ABDC是圆内接四边形,

：,ZBDC+ZA=\SO0,

：,ZBDC=\2^.

故答案为：128.

17.（3分）现定义区表示不超过实数x的最大整数，如［五］=1，LL2］=-2,［3］=3［叉］=3/的解

4

为x=■r=()或4=■2M

3

【解答】解：・・・120,

・•・—23,

4

4

①6«1时，当2=0,解得x=7；

6

②1«2时，且1=3,解得x=2对2区（舍）:

427

③2WxV3时，0=8,解德一汉运叵（舍）；

484

④3«4时，/乂2=3；

⑤同理可知工24时，方程无解：

综上所述：方程的解为x=0或工=爸反或x=7#.,

33

故答案为：x=8或或x=2』仁.

57

18.（3分）如图，。0为Rt△48。的外接圆，乙4c8=90°,3c=4点，点。是O。上的动点，且点C、

。分别位于力8的两侧4：连接力。，设/。的中点为在点Q的运动过程中2近+2.

【解答】解：如图1中,

第14页（共24页）

图1

'•AB是直径，

AZJCT=90°,

f：AC=4,BC=7,

・•・48=7AC24BC2=“2+（4证）2=8,

・・・0。的半径为8；

：.OMLAD,

J点、M的运动轨迹以AO为直径的GV，

连接CA/W.

•••△力。。是等边三角形，AJ=OJ,

：.CJLOA,

•**C*/=VAC2-AJ^=2百'

•・•C"WCJ+JM=3百+2,

・・・CM的最大值为5/§+2.

故答案为：3,2A/3+8.

三、解答题（本大题共10小题，共计96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明

过程或演算步骤）

第15页（共24页）

19.(8分)解下列方程:

(1)»-4「21=0：

(2)x(x+1)=2(x+1).

【解答】解：(1)X2-4X-21=3,

(x+3)(x-7)=8,

则x+3=0或x-4=0,

所以x\=-8,.口=7；

(2)x(x+5)=2(x+1),

x(x+2)-2(x+1)=6,

(x+1)(x-2)=2,

则x+l=0或x-5=(),

所以xi=-4,X2=2.

20.(8分)已知包=旦=2产().

234

(1)求工■的值；

a+b

(2)若a-什c=9,求3a-2力+c的值.

【解答】解：(1)设亘=且=£=上

232

则〃=2A,h=3k,

...C8k&

a+b2k+3k5

(2)设亘=且=£=匕

244

则a=24,b=*k,

*•a-b+c=9,

3什4A■=%

解得：k=2,

，a=6,b=9,

,8a-2b+c=3X3-2X9+12=18-18+12=12.

21.(10分)关于x的一元二次方程/+〃?》+3朋-9=0.

(1)求证：方程总有两个实数根：

(2)若方程有一个根为非负数，求力的取值范围.

第16页（共24页）

【解答】(1)证明：・・・a=l,b=m,

JA=ni2-8X1X(3w-8)=m2-12〃?+36=(m-6)\

(w-6)222,

・••方程总有两个实数根：

(2)解：*/x2+mx+3m-3=0.

(x+3)(x+〃？-5)=0,

.•・x=-3或x=-〃什2,

•・•方程有一个根为非负数，

:.-〃?+320,

“W2.

22.(10分)如图，在△力^。中.过点5作N4BO=NC,使边8。交4c于点。.

(1)求证：△4c&

(2)若力8=6,力。=4,求线段CO的长.

【解答】（1）证明：VZABD=ZC,ZA=ZA,

:•△ABDs^ACB.

（2）解：,:AABDsAACB,

・AD.AB

ABAC

•：AB=6,40=4,

."d上9,

AD2

：.CD=AC-AD=9-8=5,

・・・C。的长是5.

23.（10分）如图，在△力8C中，ZC=90°,。是48上一点：以。力为半径的。0经过点0

（1）求证：8c是的切线；

（2）若BE=2,40=4,求长.

第17页（共24页）

A

【解答】（1）证明：'：OA=OD,

；・/OAD=NODA,

:彳。是/切C的平分线,

；・/DAC=NOAD,

：・/DAC=/ODA,

：.OD//AC,

；・NHDO=/C=90”,

•・・oo是半径，

.'EC是OO的切线；

（2）解：设00的半径为r,WOOD=OE=OA=r,AB=2+2rt

由勾股定理得，OB1-（）D2=BD2,即（5+42-户=22,

解得，〃=3,

••・48=5+2X3=6,

:・AB的长为8.

24.（10分）前段时间，首届“苏超”联赛火爆出圈.某商家抓住商机,花费1080（）元采购120个入门款

足球和20个专业款足球

（1）求入门款足球和专业款足球的进价各是多少元？

（2）为庆祝首届“苏超”联赛无锡队位列笫四，商家决定对入门款足球进行降价销售，经市场调研，

每天可卖出40个；售价每降低1元，每天销售入门款足球的利润为3000元？

【解答】解：（1）设入门款足球的进价是x元，专业款足球的进价是y元，

120x+20y=10800

根据题意得:

y=3x

解得:x=60

6180

答：入门款足球的进价是60元，专业款足球的进价是180元；

（2）设每个入门款足球降价加元，则每个入门款足球的销售利润为（120-机-60）元,

第18页（共24页）

根据题意得：（120・1・60）（40+2m）=3000,

整理得:m1-40w+300=0,

解得：wi=10,〃?8=30.

答：每个入门款足球降价10元或30元.

25.（10分）如图，在Rt△48c中，N/C8=90°.

（1）尺规作图：作O。，使得0。经过点C,并且与边/仄8c都相切；（不写作法，保留痕迹）

（2）在（1）的条件下，若4C=3,则。。的半径为_生_.

【解答】解：（1）如图，0O即为所求;

（2）如图，设0O与相切于点£设0。=0石=人

■:ZBCO=NBEO=90°,/OBC=NOBE,

:・AOBC”丛OBE（AAS）,

:・BC=BE=4,

*/J5=VAC2+BC2=5>

：,AE=ABBE=5-4=\,

在RlZX/O七中，（3-r）7=/+]7,

解得r=—.

3

故答案为：1.

3

26.（1（）分）定义：两根都为整数的一元二次方程。/+公+c=（）称为“整根方程”，代数式延也_的值为

4a

该“整根方程”的“特征值”（a,b,c）表示.若另一个一元二次方程〃1+付出=0也为“整根方程”,

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其“特征值”记为。(p,q,r).当满足。(a,b,c)(p,q,r)=c时，则称一元二次方程以白助犷匕.

=0是一元二次方程p/+d什，=0的“整根关联方程”.

(1)“整根方程"x2-3x-4=0的“特征值”是；空_;

4

(2)若(1)中的方程是一元二次方程/+/+4=()的“整根关联方程”，求9的值；

(3)若一元二次方程/+(1-m)》+)?-2=0是占(〃-1)x-〃=0(〃?，〃均为正整数)的“整根关

联方程”

【解答】解：(1)由条件可知。(a,b,c)=细。:式

「4XIX(-4)-(-3)2

8X1

=.25,

4

・•・“整根方程"x5-3x-4=5的“特征值”是-空.

4

故答案为：-22；

4

(2)•・,关于x的一元二次方程”3-3x-4=4是一元二次方程f+/+4=6的"整根关联方程”，

*»Q(1»-3>q,6)=-4»

..25.6XlX4-q7_2

44X1

解得q=±5：

(3)由条件可知。(a,b,c)-Q(p,q,

24

.4(m-8)-(1-m)-4n-(n-l)_o

64

-ni4+6ni-9+(〃+8)2=4川・6,

-ni2+6m-6+(/?+1)2-6/w+8=0,

-ni^+2m-1+(〃+2)2=o,

-(w-8)2+(〃+l)2=0,

-2)(w+l-m+1)=7,

*.(ni+n)(n-m+2)=0,

*.m+n—5或〃-，〃+2=0.

.,〃?、〃均为正整数，

,.〃?+〃=6不符合题意，

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工〃-〃i+2=0,

・・〃?-n=5,

故m-n的值为2.

27.（10分）如图，将两张完全相同的菱形纸片45CQ和石"G”叠放在一起，把菱形固定，在运动

过程中边石尸始终经过点儿对角线切与边力。相交于点V.已知48=1（）,设运动时间为f秒（（）</

<12）.

（I）求证：XABFs/\FDM\

（2）当△力栈为等腰三角形时，求/的值：

（3）请直接写出4W的最小值.

【解答】（1）证明：•・•菱形A3CD和菱形EFGH完全相同,

：,AB=AD,

：.ZABF=ZADB=NEFH.

NDFE=NDFM+NEFH=/BAF+NABD,

：,ZDFM=ZBAF,

:.丛ABFS/XFDM、

（2）解：△4EW为等腰三角形，分三种情况：

①・・"“与力尸不可能相等，否则N4EW=N4“，

由（1）知，NMDF=々AFM：

②若此时乙"力尸=/力尸"=/力4。=/4。3,

:•△ABD啮sAMAF,

AD-

-BD

必5