矩形-2022年中考数学一轮复习

模块五四边形

第二讲矩形

知识梳理夯实基础

知识点1:矩形的性质

1.边：对边平行且相等；

2.角：四个角都是直角；

3.对角线：对角线相等且互相平分；

4.对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴.（对称轴为矩形对边中点所在

的直线）

知识点2:矩形的判定

1.定义法：有一个角是直角的平行四边形；

2.对角线相等的平行四边形是矩形；

3.有三个角都是90。的四边形是矩形.

知识点3:四边形、平行四边形、矩形之间的关系

说明：矩形面积:长x宽（如图）

B

直击中考胜券在握

AD

B--------------------

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】

【详解】

回四边形ABCD是矩形，对角线4C、8。相交于点。，

0AC=BD,JSLOA=OB=OC=OD,

故选：C.

【点睛】

此题考查矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分，由此可以将矩形的；面积四等分，由此可以解决

问题，熟记矩形的性质定理是解题的关键.

【答案】C

【分析】

连接08,由题意易得附。。=60。，然后根据圆周角定理可进行求解.

【详解】

解：连接。8,如图所示：

故选c

【点睛】

本题主要考查圆周角定理、矩形的性质及含30。的直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理、矩形的性质及

含30。的直角三角形的性质是解题的关键.

3.（2021•遂宁中考）如图，在矩形A8CD中，AB=5tAD=3t点£为8c上一点，把旧8£沿DE翻折，

点C恰好落在A8边上的F处，则CE的长是（）

.4FB

【答案】D

【分析】

设CE=x,则8£=3x由折叠性质可知，EF=CE=x,DF=CD=AB=S,所以AF=4,BF=ABAF=54=1,在Rt08£F中，由

勾股定理得（3x）2+12=x2,解得x的值即可.

【详解】

解：设CE=x,则8E=3x,

由折叠性质可知，

EF=CE=x,DF=CD=AB=5

在5中，AD~3,Df-5,

团BF=A8"=54=1,

在R的8EF中，BE2+BF2=EF2,

BP(3x)2+l2=x2,

解得x=|,

故选：D.

【点睛】

本题考查了与矩形有关的折登问题，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键.

4.如图，把一张矩形纸片488按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形8EF,若BC=1,则48的

长度为（）

【答案】A

【分析】

先判断出加。£=45。，进而判断出人E=AD,利用勾股定理即可得出结论.

【详解】

解：由折卷补全图形如图所示，

团四边形A8CD是矩形，

团幽OZT=（38=[3C=M=90°,AD=BC=1,CD=AB,

由第一次折叠得：回D八E=M=90。，MDE=^MDC=45。,

圆MED划DE=45°,

^AE=AD=1,

在Rt射中，根据勾股定理得，DE=^AD;亚,

故选:A.

E

【点睛】

本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解决此类题的关键.

AD

A.5B.6C.8D.9

【答案】C

【分^5】

由矩形的性质可证明SSPEB=SMFD，即可求解.

【详解】

作PM团AD于M,交BC于N.

则有四边形AEPM,四边形DFPM.四边形CFPN,四边形BEPN都是矩形,

HS(2iADC=StaABC»Si>AMP=SaAEP»&jjPBE=Sujp8N，SaPFD=SaPDM，SuiPFC=SaPCN，

0S0DFP=S3PBE=2X1x8=4,

回S同=4+4=8,

故选：C.

【点睛】

此题考查矩形的性质、三角形的面积，解题的关键是证明SmEB=SwD.

6.如图所示，在矩形48CD中，£为4D上一点，FF0CE交46于点F,若DE=2,矩形A8CD的周长为16,

且CE=EFf求AE的长（）

D

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【分析】

根据矩形的性质和全等三角形的判定证明西日函DCE,可得AE=CD,由矩形的周长为16,可得KAE+DE+CD)

=16,可求AE的长度.

【详解】

解：自四边形4BCD为矩形，

00^=00=90%

团£甩CE,

团团CEF=90°,

00CED+0AEF=90°,

团团CEO+团DCE=90°,

团团。C£=M£F,

乙4=Z.D

在MEF和EIOCE中，Z.AEF=乙DCE,

EF=CE

团班EF03OCECAAS),

ME=DC,

由题意可知：2(.AE+DE+CD)=16,DE=2,

02X£=6,

04£=3；

故选：B.

【点睛】

本题考查矩形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的

判定与性质是解答的关键.

D

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】

①，先说明（30BD是等腰三角形，再由矩形的性质可得DE=BE,最后根据等腰三角形的性质即可判断；②

证明（30FA加OBD即可判断；③过F作FH13AD,垂足为H,然后根据角平分线定理可得FH=FA,再求得0HDF=45。，

最后用三角函数即可判定；④连接AG,然后证明（aOGAiataADE,最后根据全等三角形的性质和角的和差即可判

断.

【详解】

00OBD是等腰三角形

0DE=BE=yBD,DA0OB

00OE0BD,DABOB,UP0DAO=0DAB

（3团EDF+mDFE=90°,团AOF+团AFO=9CT

00EDF=0AOF

0OA=AD

在gOFA和团OBD中

0EDF=0AOF,OA=AD,0DAO=（?]DAB

陇OFA瓯DAB

团。F=BD,即②正确；

③过F作FH[3OD,垂足为H,

0FH=AF

酿HDF=45°

④由②得团EDF=13AOF，

(3G为OF中点

国OG—OF

0DE=BE=^-BD,OF=BD

0OG=DE

在反OGA和0AED中

OG=DE,0EDF=0AOF,AD=OA

00OGAS0AED

0OG=EF,[3GAO=0DAE

豳GAE是等腰三角形

0DA0OB

0l?]OAG+raDAG=9O0

00DAE+0DAG=9O°,g|J0GAE=9O°

能1GAE是等腰直角三角形，故④正确.

故答案为A.

D

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质以及解直

角三角形等知识点，考查知识点较多故灵活应用所学知识成为解答本题的关键.

A.①②B.①②③C.①②④D.③④

【答案】C

【分析】

【详解】

解：如图，延长8M交4E于N,连接AM,

(3E甩48,

(30XFE=E)EF8=9O°,

团团。4E=22.5°,

00£4F=9O0-0D4E=67.5°,

团将MEF绕着点F顺时针旋转得回"B,

（3MF=AF,FB=FE,0F8M=MEF=（3DAE=22.5°,

回⑶&F+E1F8M=90°,

团贴N8=90°,

回8MME,故①正确；

回四边形2BC0是矩形，

团班8C=团C=90°,

00EFB=9O°,

团四边形EFBC是矩形，

又修£F=8F,

团矩形EFBC是正方形，故②正确；

团团£8F=45°,

故③错误；

幽AFM=90°,AF=FM,

又叵四边形8CEF是正方形，

0S四边形BCEF=2S3EFB,

故④正确，

团正确的是：①②④，

故选：C.

【点睛】

本想考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理和正方形的判定与性质，掌握常用辅助线的添加方法，灵

活运用相关知识是解题的关键.

9.（2021•黑龙江省中考）如图,在凶8c中,D,E,F分别是A8,8C和AC边的中点,请添加一个条件,

使四边形8EFD为矩形.（填一个即可）

D

BEC

【答案】A函BC

【分析】

证DF、EF都是M8c的中位线，得。用8C,EF^AB,则四边形8EF0为平行四边形，当48如C时，回8=90。,

即可得出结论.

【详解】

解：（3D,E,F分别是48,8c和AC边的中点，

团DF、EF都是凶8c的中位线，

回。电8C,E用A8,

团四边形8EF。为平行四边形，

当A80BC时，团8=90°,

国平行四边形BEFD为矩形，

故答案为：AB^BC.

【点睛】

本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识；熟练掌握三角形中位线

定理，证明四边形BEFD为平行四边形是解题的关键.

【分^5】

根据矩形的性质和勾股定理求出BD,证明团8。阳388,根据相似三角形的性质得到比例式，求出EF即可.

【详解】

解：如图:

故答案为：—.

【点睛】

本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边

相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键.

11.如图，矩形A8CD的对角线4C、8。相交于点O,平分MAD交8c于点&连接。&若。£I3BC,0E

=1,则AC的长为.

【答案】2石

【分析】

由矩形的性质得出08=0C,由等腰三角形的性质得出8E=CE,证出0E是M8c的中位线，得出48=2OE

=2,证出是等腰直角三角形，得出8E=A8=2,BC=2BE=4,再由勾股定理即可得出答案.

【详解】

解：。四边形48CD是矩形，

00^86=0840=90°,OA=OC,0B=0D,AC=BD,

团0B=0C,

回。也BC,

08E=CE,

团0E是M8c的中位线,

M8=2OE=2,

ME平分（38A。，

00ME=45°,

回蜘8£是等腰直角三角形,

团8£=48=2,

138c=28£=4,

故答案为：2石.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定

理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键.

【详解】

解：，•四边形488是矩形,

【点睛】

本题考杳的是矩形的性质以及直角三角形30。的性质，熟练掌握直角三角形30。的性质是解决本题的关键.

【答案】3

【分析】

【详解】

故答案为：3.

【点睛】

本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

4

【答案】4

【分析】

【详解】

解：过点E作EHOAD,交点BF于点G,交CD于点H,

由题意可知:EH0BC,

00BEG00BAF,

0AD=4,BC=G,点匚为AB中点，F为AD中点，

0BE=2,AF=3,

3

团EG=一，

2

0EH0BC,

回回EGN函DFN,回EGM国CBM,

团E为AB中点，EH0BC,

团G为BF中点，

4

0MN=NG+MG=-,

3

4

故答案为：p

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是添加辅助线EH,得到相似三角形.

15.（2020•贵州黔东南中考）如图，矩形488中，AB=2,BC=近,F为8的中点，连接AE、8。交于

点P,过点P作PQMC于点Q,则PQ=

4

【答案】y

【分析】

根据矩形的性质得到阳SC。，AB=CD,AD=BC,田弘。=90。，根据线段中点的定义得到。£=g8=/A8,

根据相似三角形的判定证明物非DP,再利用相识三角形的性质和判定即可得到结论.

【详解】

解：用四边形48CD是矩形，

04B0CD,AB=CD,AD=BC,^BAD=90°,

团E为C。的中点，

^DE=^CD=^AB,

眄18PB0EDP,

cABPB

DEPD

0PQE1BC,

团PQ团CD,

00BPQ00D8C,

PQBP2

0

CD~BD3

0CO=2,

4

团PQ=一,

3

4

故答案为：—

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质的应用，运用矩形的性质和相似三角形判定和性质

)PR

证明M8他比DP得到彳=皆是解题的关键•

【答案】4

【分析】

先求出矩形的对角线的长，得到48的取值，再利用等腰三角形的概念直接得到AC的值.

【详解】

解：回矩形ADBE的对角线AB与DE交于点0,

04B=DE,OE=OD,

朋B=OE=2OO=4,

因线段BC为等腰M8c的底边，

团g48=4,

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了矩形的性质和对等腰三角形概念的理解，解决本题的关键是理解相关概念与性质，能灵活运用

题干信息，将它们用数学符号进行表示，本题较基础，考查了学生的几何语言表述的能力以及基本功.

【答案】18

【分析】

连接MD,设团£MF=x,利用折叠与等腰三角形的性质，用x的代数式表示出MDC=90。，列出方程解方程即可.

【详解】

连接MD,设（3DAF=x

根据矩形的基本性质可知AD^DC,0GCD=aADC=9O°

^\MDA=BDAF=x,^ACB=WAC=x

WMF=2x

00DC£折叠得到回DFE

WF=CD=AB,D由FC,SFDE=f2CDE

又MF=AB

国MF=DF

WMDF=2x

mCD=^ACB+^ACD=90°,团EOC+团FCD=90°

WCDE=^lACD=x

WFDE=SlCDE=x

a0ZDC=EADA4+0MDF+0FDE+0CDf=x+2x+x+x=5x=9Oo

取=18°

故住DAF=18°

故答案为18.

【点睛】

本题考查了矩形的折叠问题，能够做出合适的辅助线用团表示出MDC是解题关键.

【分析】

【详解】

【点睛】

本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用,

分式方程的解法，掌握以上知识是解题的关键.

【分析】

取A。的中点，，连接C〃，0H,由勾股定理可求C”的长，由直角三角形的性质可求0”的长，由

三角形的三边可求解.

【详解】

如图，取4。的中点〃，连接CH,OH,

•••点〃是AO的中点，

【点睛】

本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形的三边形关系，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构

造三角形是解题的关犍.

20.如图，有一张矩形纸条48C。，AB=5cmtBC=2cmt点机N分别在边，8,8上，CN=lcm.现将

四边形8CMV7沿折叠，使点8,C分别落在点B',。上.当点夕恰好落在边CD上时，线段BM的长为

cm；在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB，与边8交于点&则点£相应运动的路径长为cm.

【分析】

第一个问题证明8M=MB，=N6,求出NB即可解决问题.第二个问题，探究点E的运动轨迹，寻找特殊位

置解决问题即可.

【详解】

如图1中，

图1

团四边形ABC。是矩形，

MB国CD,

001=03,

由翻折的性质可知:01=02,

002=03,

团MB'=A/8',

团BM=NB，=布Cem).

如图2中，当点M与4重合时，AE=EN,设4E=£N=xcm,

在RtaADE中，则有X2=2?+(4-x)2,解得x=，,

53

0D£=4-----=—(cm),

22

如图3中，当点M运动到MB'MB时，DF的值最大，。£=5-1-2=2(cm),

如图4中，当点M运动到点&落在CO时，D&(即DE")=5-1-6=(4-石)(cm),

图2

图4

【点睛】

本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决

问题，属「中考填空题中的压轴题.

【分析】

酗iB曲AHE(AAS),

【点睛】

本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，然后结合

勾股定理计算即可.

（2）求A。的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）40.

【分析】

【详解】

【点睛】

本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的判定与

性质是解题关键.

（1）求矩形对角线的长.

【答案】（1）4；（2）B

2

【分析】

（1）根据矩形对角线的性质，得出幽8。是等腰三角形，目JMOC=120。，即财。8=60。，则m80为等边三角

形，即可求得对角线的长；

【详解】

故答案为：4.

故答案为：立.

2

【点睛】

本题考查了矩形的对角线性质，等边三角形的判定，等腰三角形的三线合一以及在直角三角形中求锐角正

切的知识点，灵活应用矩形对角线的性质是解题的关键.

BC

(2)连接。E,若48=2,tanMCD=2,求。E的长.

【分析】

(1)先证明四边形8CE。是平行四边形，得到8D=CE=4C,再利用等腰三角形的性质即可证明:

【详解】

MC=8。，0ADC=9O°,BC//DE,

©CE〃BD,

040=4,

由(1)知四边形8CED是平行四边形,

MD=BC=DE=4,

008=00,OF^AD,

【点睛】

本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，锐知三角函数的应川，熟记各性质并求出四边形8CE。

是平行四边形是解题的关键.

DAB'

D'

B

B'

D

［探究3］在探究2的条件下，射线DB分别交AZT,AC于点N（如图3）,MN,PN存在一定的数量

关系，并加以证明.

【分析】

【详解】

［探究1］如图1,

回点A,B,ZT在同一直线上.

又巴点。'在OB延长线卜.，

Dr

B

D4

证明：如图3,连结AM.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次

方程等，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题.

26.如图，四边形ABCD为矩形，AB=4cm,AD=3cm,动点M、N分别从D、B同时出发，都以1cm/秒

的速度运动，点M沿DA向点终点A运动，点N沿BC向终点C运动.过点N作NP0BC,交AC于点P,连

接MP,已知运动的时间为t秒(0VtV3).

备用图

(1)当t=l秒时，求出PN的长；

(2)若四边形CDMP的面积为s,试求s与t的函数关系式；

(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t使四边形CDMP的面积与四边形ABCD的面积比为3：8,若存在,

请求出t的值；若不存在，请说明理由.

(4)在点M、N运动过程中，13MPA能否成为一个等腰三角形？若能，试求出所有t的可能值；若不能,

试说明理由.

【分析】

⑶求出矩形ABCD的面积，然后由题意可得关于t的方程，解方程即可求得答案：

⑷本题要分三种情况：①MP=PA,那么AQ=BN=^AM,可用x分别表示出BN和AM的长，然后根据上

述等量关系可求得x的值.②MA=MP,在直角三角形MQP中，MQ=MA-BN,PQ=AB-PN根据勾股定

理即可求出x的值.③MA=PA,不难得出AP=gBN,然后用x表示出AM的长，即可求出x的值.

【详解】

⑴当t=l时，BN=1、CN=BC-BN=2,

0