人教A版必修第二册高一（下）数学6.2.1 向量的加法运算6.2.2向量的减法运算【课件】

6.2.1向量的加法运算

6.2.2向量的减法运算6.2平面向量的运算1|向量的加法及其几何意义知识点必备知识清单破1.向量加法的运算法则图示几何意义前提条件向量加法的运算法则三角形法则

已知非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作

=a,

=b,则向量

叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=

+

=

一个向量的终点为另一个向量的起点(首尾相连)平行四边形法则

以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为邻边作▱OACB,则

就是向量a与b的和两向量不共线且起点相同知识拓展

向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则,多个向量首尾相

连,则由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量就是这些向量的和向量.如:

+

+

+…+

=

.特别地,起点、终点顺次相接围成一周的所有向量的和为0,如:

+

+

+

+

=0.2.向量加法的有关性质(1)|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b方向相同时等号成立.(2)向量加法的运算律:①交换律:a+b=b+a,对于零向量与任意向量a,我们规定a+0=0+a=a.②结合律:a+(b+c)=(a+b)+c.2|向量的减法及其几何意义知识点1.相反向量定义与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,记作-a性质①-(-a)=a,a+(-a)=(-a)+a=0;②如果a与b互为相反向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0;③零向量的相反向量仍是零向量2.向量的减法向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差,即a-b=a+(-b).求两个向量差的运算叫做向量的减

法.3.向量减法的三角形法则如图,已知向量a,b,在平面内任取一点O,作

=a,

=b,则

=a-b.

几何意义:a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.1.任意两个向量相加都能用平行四边形法则吗?知识辨析2.互为相反向量的两个向量一定是共线向量吗?3.向量方向相反和互为相反向量表达的意思相同吗?1.不是.向量加法的平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量.一语破的2.一定是.3.不相同.前者只考虑方向相反,不考虑向量的模,后者不仅方向相反,而且模也要相等.1|向量的加、减法及其应用定点关键能力定点破1.向量的加法(1)当两个不共线的向量求和时,三角形法则和平行四边形法则都可以用.(2)利用向量的三角形法则求a+b时,务必使它们的“首尾顺次连接”;利用平行四边形法则求

a+b时,务必使它们的起点重合.2.向量的减法(1)可以通过相反向量,将向量的减法转化为向量的加法.(2)向量减法的三角形法则强调两个向量共起点,连终点,指向被减向量.3.用已知向量表示其他向量(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的向量之间的关系,明

确已知向量与被表示向量的转化方式.(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问

题.(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则.典例如图,在△ABC中,D,E分别为边AC,BC上的任意一点,O为AE,BD的交点,已知

=a,

=b,

=c,

=e,用a,b,c,e表示向量

,

,

,

.

解析

在△OBE中,

=

+

=e-c,在△ABO中,

=

+

=e-c-a,在△ABD中,

=

+

=a+b,在△OAD中,

=

+

=e-c-a+a+b=e-c+b.作

=a,

=b.(1)当向量a,b不共线时,a+b=

,如图1所示.根据“三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”,有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.(2)当a与b同向共线或a,b中至少有一个为零向量时,如图2所示,此时|a+b|=|a|+|b|.(3)当a与b反向共线或a,b中至少有一个为零向量时,不妨设|a|≥|b|,如图3所示,此时|a+b|=|a|-|b|.故对于任意向量a,b,总有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|①.由于|a-b|=|a+(-b)|,所以||a|-|-b||≤|a-b|≤|a|+|-b|,即||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|②.将①②两式结合,可得||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,我们称之为向量的三角不等式.2|向量的三角不等式定点典例设|

|=2,|

-

|=1,求|

|的最大值和最小值.解析

|

|=|

+(

-

)|≤|

|+|

-

|=3,当