第10讲：指数对数运算（6个题型）（教师版）

【第10讲：指数对数运算】总览总览题型梳理一．有理数指数幂与根式的互化（共5小题）二．有理数指数幂及根式化简运算求值（共9小题）三．对数的概念（共2小题）四．指数式与对数式的互化（共18小题）五．对数的运算性质（共5小题）六．对数运算求值（共6小题）【知识点清单】1．有理数指数幂及根式【知识点的认识】根式与分数指数幂规定：amn=nam（a＞0，m，na−mn=1amn=1na0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义有理数指数幂（1）幂的有关概念：①正分数指数幂：amn=nam（a＞0，m，n②负分数指数幂：a−mn=1amn=1na③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．（2）有理数指数幂的性质：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．2．对数的概念【知识点的认识】1．对数的定义如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．（2）几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a（a＞0且a≠1）logaN常用对数底数为10lgN自然对数底数为elnN3．指数式与对数式的互化【知识点的认识】ab＝N⇔logaN＝b；alogaN＝N；logaaN＝N指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）af（x）＝b⇔f（x）＝logab；logaf（x）＝b⇔f（x）＝ab（定义法）（2）af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）⇔f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）af（x）＝bg（x）⇔f（x）logma＝g（x）logmb；（两边取对数法）（4）logaf（x）＝logbg（x）⇔logaf（x）=1（5）\;Alog4{a}^{2}$x+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝logax或t＝ax）（换元法）4．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①alogaN=N；②logaaN＝Nloga（MN）＝logaM+logaN；logaMN=logaM﹣logalogaMn＝nlogaM；loganM=1n5．对数运算求值【知识点的认识】对数的性质：①alogaN=N；②logaaN＝Nloga（MN）＝logaM+logaN；logaMN=logaM﹣logalogaMn＝nlogaM；loganM=1n【解题方法点拨】﹣利用对数定义直接求值．﹣利用换底公式log﹣结合对数运算性质，如loga（mn）＝logam+logan、loga(题型题型分类知识讲解与常考题型一．有理数指数幂与根式的互化（共5小题）1．已知a＞0，则a1A．a712 B．a512 C．【考点】有理数指数幂与根式的互化．【分析】利用根式的运算性质即可得出．【解答】解：原式=a故选：B．【点评】本题考查了指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．3aA．a−23 B．a−32【考点】有理数指数幂与根式的互化．【分析】将根式化为有理数指数幂的形式，即可得答案．【解答】解：3a故选：A．【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算，属于基础题．（多选）3．下列各式中正确的是（）A．a4=|a| B．2﹣2C．(3a2【考点】有理数指数幂与根式的互化．【分析】根据指数幂的运算法则计算可得．【解答】解：根据根式的意义及指数幂的运算性质可得，对于A：a4=a2≠对于B：2−2=1对于C：(3a2对于D：10(2−1)故选：CD．【点评】本题主要考查了根式的意义及指数幂的运算性质，属于基础题．4．将a2a(其中a＞0)化为有理数指数幂的形式为【考点】有理数指数幂与根式的互化．【分析】利用根式与分数指数幂的互化求解．【解答】解：a2故答案为：a5【点评】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化，属于基础题．5．计算化简A，B：（1）已知a＞0，b＞0，化简：A=(3a（2）化简：B=3【考点】有理数指数幂与根式的互化．【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可；（2）根据指数幂的运算性质求解即可．【解答】解：（1）A=(3a（2）B=3【点评】本题主要考查指数幂的运算，属于基础题．二．有理数指数幂及根式化简运算求值（共9小题）6．设a＞0，下列计算中正确的是（）A．a32⋅aC．a﹣4•a4＝0 D．a【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．【分析】利用指数幂的运算法则，对各个选项逐一计算判断即可得解．【解答】解：对于A，a32⋅对于B，(a32对于C，a﹣4•a4＝a﹣4+4＝a0＝1，故C错误；对于D，a32÷故选：B．【点评】本题考查有理数指数幂及根式的化简运算，属于基础题．7．(3)2A．3 B．32 C．9 【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．【分析】利用有理数指数幂运算法则求解．【解答】解：(3)2故选：B．【点评】本题考查有理数指数幂运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．某放射性物质在衰减过程中，其质量y与年数t满足关系式y=m0e−kt（m0为初始质量，m0＞0，k为常数，A．13 B．19 C．127【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．【分析】根据给定条件，利用指数运算法则列式计算得解．【解答】解：由已知当t＝4，y=13m0时，再经过8年，即t＝12时，y=m所以再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的127故选：C．【点评】本题考查指数运算，属于基础题．9．某食品的保鲜时间y（单位：天）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y＝ekx+m（e为自然对数的底数，k，m为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是14天，在10℃的保鲜时间是7天，则该食品在20℃的保鲜时间是（）A．48小时 B．60小时 C．72小时 D．84小时【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．【分析】由已知结合指数运算性质即可求解．【解答】解：因为y＝ekx+m，若该食品在0℃的保鲜时间是14天，在10℃的保鲜时间是7天，则em所以e10k=1所以该食品在20℃的保鲜时间是y＝e20k+m＝e20k•em=1故选：D．【点评】本题主要考查了指数运算性质应用，属于基础题．10．已知a2x＝3，则ax+a﹣x＝（）A．433 B．303 C．16【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．【分析】根据条件可求出a﹣2x的值，然后对ax+a﹣x求平方即可得解．【解答】解：∵a2x＝3，∴a−2x∴(a∴ax故选：A．【点评】本题考查了指数的运算法则，是基础题．11．某放射性物质在衰变过程中，其质量m（单位：克）与年数t满足关系式m=m0e−kt（m0为初始质量，A．13 B．14 C．16【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．【分析】依题意，t＝3时，e﹣3k=12，求出t＝9时，e【解答】解：经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，∴t＝3时，e﹣3k=1∴再经过6年，t＝9，m＝m0e﹣9k＝（12）3m0=18∴再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的18故选：D．【点评】本题考查完指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．若5m＝2，5n＝3，则53m−2nA．23 B．223 C．2【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．【分析】结合指数幂的运算性质即可求解．【解答】解：若5m＝2，5n＝3，则53m−2n故选：B．【点评】本题主要考查了指数幂的运算，属于基础题．13．计算0.02713【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．【分析】根据给定条件，利用指数运算计算得解．【解答】解：原式=3故答案为：8．【点评】本题主要考查了指数运算性质的应用，属于基础题．14．计算：(278)−2【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．【分析】应用根式与有理数指数幂的关系及指数幂运算化简求值．【解答】解：原式=(23)3×2故答案为：49【点评】本题考查有理数指数幂的化简，属于基础题．三．对数的概念（共2小题）15．在对数式b＝log（a﹣3）（5﹣a）中，实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，3）∪（5，+∞） B．（3，5） C．（3，4） D．（3，4）∪（4，5）【考点】对数的概念．【分析】根据对数的概念，底数大于0且不等于1，真数大于0，列不等式组即可求解．【解答】解：要使对数式b＝log（a﹣3）（5﹣a）有意义，需满足a−3＞0a−3≠1解得3＜a＜4或4＜a＜5，所以实数a的取值范围是（3，4）∪（4，5）．故选：D．【点评】本题主要考查对数的概念，属于基础题．16．对数式log（a﹣2）（5﹣a）中实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，5） B．（2，5） C．（2，3）∪（3，5） D．（2，+∞）【考点】对数的概念．【分析】对数式有意义的条件是：真数为正数，底为正数且不为1，联立得到不等式组，解出即可．【解答】解：要使对数式b＝log（a﹣2）（5﹣a）有意义，则a−2＞05−a＞0a−2≠1，解得a故选：C．【点评】本题主要考查了对数式有意义的条件，即真数为正数，底为正数且不为1，属于基础题．四．指数式与对数式的互化（共18小题）17．历史上数学计算方面的三大发明分别是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明大大缩短了计算时间，为人类进行科学研究和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势．已知lg2≈0.301，lg5≈0.699，则2.51051的估算值为（）A．10418 B．10419 C．10420 D．10421【考点】指数式与对数式的互化；对数运算求值．【分析】结合对数的运算性质即可求解．【解答】解：因为lg2≈0.301，lg5≈0.699，所以lg2.51051＝1051lg2.5＝1051（lg5﹣lg2）≈1051×（0.699﹣0.301）≈418，所以2.51051≈10418．故选：A．【点评】本题主要考查了对数运算性质的应用，属于基础题．18．已知2a＝3b＝t，且2a+1A．3 B．23 C．±23【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质．【分析】根据指对互化，结合换底公式，即可求解．【解答】解：由2a＝t可得a＝log2t，所以1a=log由3b＝t可得b＝log3t，所以1b=log故2a+1b=2logt2+logt3＝logt故t2＝12，由于t＞0，故t=23故选：B．【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于基础题．19．当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用ID=I0e−KD表示其总衰减规律，其中K是消光系数，D（单位：米）是海水深度，ID（单位：坎德拉）和I（参考数据：ln2≈0.7，ln5≈1.6）A．0.2 B．0.18 C．0.15 D．0.14【考点】指数式与对数式的互化．【分析】理解题意，代值后，将指数式化成对数式，取近似值计算即得．【解答】解：某海域6米深处的光强是海面光强的40%，依题意得，ID化成对数式，−6K=ln2则该海域消光系数K的值约为K≈0.15．故选：C．【点评】本题考查指数式、对数式互化等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20．已知2x＝3y＝5z（x，y，z≠0），且1x+1A．log23 B．log25 C．log35 D．log56【考点】指数式与对数式的互化；对数运算求值．【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解．【解答】解：2x＝3y＝5z＝k，则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，故1x+1y=logk3+logk2＝logk故a=logk故选：D．【点评】本题主要考查对数的运算，属于基础题．21．已知实数a，b满足a﹣1＝ln（4﹣a），beb＝e3，其中e是自然对数的底数，则a+b＝（）A．2 B．e C．3 D．4【考点】指数式与对数式的互化；函数的单调性．【分析】通过对已知等式进行变形，构造出相同形式的函数，再利用函数的单调性来建立等式关系，从而求出a+b的值．【解答】解：由a﹣1＝ln（4﹣a），可得ea﹣1＝4﹣a，即ea﹣1+（a﹣1）﹣3＝0，由beb＝e3，可得b＝e3﹣b，所以lnb＝3﹣b＝3﹣elnb，即elnb+lnb﹣3＝0．令f（x）＝ex+x﹣3，所以函数f（x）＝ex+x﹣3为增函数，由f（a﹣1）＝f（lnb）＝0，得a﹣1＝lnb，又因为lnb＝3﹣b，得a﹣1＝3﹣b，所以a+b＝4．故选：D．【点评】本题主要考查了函数单调性的应用，属于中档题．22．历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势．已知lg2≈0.301，则2.51000的估算值为（）A．10365 B．10379 C．10389 D．10398【考点】指数式与对数式的互化；对数运算求值．【分析】首先计算lg2.51000，再根据指对运算公式即可求解．【解答】解：lg2.51000＝1000lg2.5＝1000（1﹣2lg2）≈1000×（1﹣0.602）＝398，所以2.51000≈10398．故选：D．【点评】本题考查了对数的运算性质，是基础题．23．关于x的方程x+lgx＝3，x+10x＝3的两根分别是α，β，则α+β＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】指数式与对数式的互化．【分析】对方程进行变形，再结合对数的运算性质，即可求解．【解答】解：关于x的方程x+lgx＝3，x+10x＝3的两根分别是α，β，则α+lgα＝3，β+10β＝3，故lgα＝3﹣α，lg（3﹣β）＝β，y＝lgx在（0，+∞）上单调递增，故α=3−β3−α=β，即α+β故选：A．【点评】本题主要考查指数式与对数式的互化，属于基础题．24．已知ax＝2，loga6＝y，a＞0，且a≠1，则ax+y＝（）A．5 B．6 C．7 D．12【考点】指数式与对数式的互化；对数运算求值．【分析】将对数式转化为指数式，结合指数运算，求解即可．【解答】解：由loga6＝y，可得ay＝6，又ax＝2，则ax+y＝x•ay＝12．故选：D．【点评】本题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题．25．把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是θ′℃，空气的温度是θ0℃，则tmin后该物体的温度θ℃满足θ=θ0+(θ′−θ0)e−t4．若θ0，θ′不变，在t1min，t2min后该物体的温度分别为θ1A．t1＞t2 B．t1＜t2 C．若θ′＞θ0，则t1＞t2；若θ′＜θ0，则t1＜t2 D．若θ′＞θ0，则t1＜t2；若θ′＜θ0，则t1＞t2【考点】指数式与对数式的互化．【分析】根据指对数互化，结合复合函数的单调性即可求解．【解答】解：因为θ=θ0+(θ′−θ0)e所以t=−4lnθ−若θ′＞θ0，则f(θ)=−4lnθ−θ0θ′−θ0是减函数，所以若θ′＜θ0，则f(θ)=−4lnθ−θ0θ′−θ0是增函数，所以故选：D．【点评】本题主要考查对数函数的单调性，属于基础题．26．设a＞0，a≠1，已知m＝ax，n＝ay，mynxA．0 B．1 C．2 D．4【考点】指数式与对数式的互化．【分析】根据指数的运算性质化简运算得解．【解答】解：由m＝ax，得my＝（ax）y＝axy，又∵n＝ay，∴nx＝（ay）x＝axy，∴mynx＝axyaxy＝a2xy，又mynx=a4z故选：C．【点评】本题考查指数式与对数式的互化，是基础题．27．已知正数x，y，z，满足3x＝4y＝6z，则下列说法不正确的是（）A．1x+12y=1z B．x＞y＞z C．1【考点】指数式与对数式的互化；函数的单调性与函数图象的特征．【分析】令3x＝4y＝6z＝t＞1，则x＝log3t，y＝log4t，z＝log6t，对于A，直接代入利用对数的运算性质计算判断，对于B，结合对数函数的单调性分析判断，对于C，利用作差法分析判断，对于D，对3x，4y，6z化简变形，结合幂的运算性质及不等式的性质分析判断．【解答】解：令3x＝4y＝6z＝t＞1，则x＝log3t，y＝log4t，z＝log6t，对于A，1x+1对于B，因为y＝logtx（t＞1）在（0，+∞）上递增，且1＜3＜4＜6，所以logt1＜logt3＜logt4＜logt6，即0＜1即0＜1x＜1y＜1z，所以对于C，因为1＝logt3+logt6﹣2logt4=log＞logt1＝0（t＞1），所以1x+1对于D，3x=3log因为(313所以ln313因为t＞1，所以lnt＞0，所以lntln所以log313t＜log414故选：C．【点评】本题考查对数式、指数式互化公式、对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．28．如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD做匀速运动，CQ＝x；点P沿线段AB（长度为107单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PB＝y）．令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义x为y的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系就是y=107(1e)xA．ln2 B．ln3 C．ln32 【考点】指数式与对数式的互化．【分析】易知，它们的初速度相等，故Q点的速度为107，然后可以根据y=107(1e)x107【解答】解：由题意，P点初始速度107即为Q点的速度．当P在靠近A点的三等分点时：23×107当P在二等分点时：12×107=10所以经过的时间为：[10故选：D．【点评】本题考查对数的计算和指数式和对数式的互化，要注意对题意的准确理解．属于基础题．29．嫦娥六号是中国计划进行的一次月球采样返回任务．假设嫦娥六号在接近月球表面时，需要进行一系列的减速操作，其减速过程可以近似地看作是一个指数衰减过程，其速度v（t）（单位：米/秒）随时间t（单位：秒）的变化关系可以表示为：v(t)=v0⋅e−λt，其中v0是初始速度，λ是一个减速过程相关的常数．已知嫦娥六号在t＝0时的初始速度为v0＝1000m/s，经过t＝10s后，速度变为v（10）＝500m/s．若嫦娥六号需要在t＝Ts时将速度减至月球表面的安全着陆速度v（T）＝1m（精确到小数点后一位，参考数值：lg2≈0.301）A．99.7 B．99.8 C．99.3 D．96.3【考点】指数式与对数式的互化．【分析】由题意可得e−10λ=12，可求得λ=ln2【解答】解：由v(t)=v0⋅e−λt，根据题意可得v又v（10）＝500，所以e−10λ两边取以e为底的对数，可得−10λ=ln1所以λ=ln210，由v（T）＝1m/s，所以1＝1000•e﹣λT，所以所以两边取以e为底的对数，得ln1所以T=ln1000故选：A．【点评】本题考查了指数与对数函数模型应用问题，是基础题．（多选）30．若实数a，b满足2a＝3b＝6，则（）A．1a+1b=1 B．logaC．a＞b D．aa＞ab＞bb【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质．【分析】利用指数式与对数式的互化结合对数运算的性质，指数函数的单调性、幂函数数的单调性进行求解即可．【解答】解：对于A，因为2a＝3b＝6，所以b＝log36，a＝log26，1a+1对于B，C，由已知得，a＝log26＞b＝log36＞1，所以logba＞1＞logab，B错误，C正确；对于D，因为a＞b＞1，f（x）＝ax单调递增，所以f（a）＝aa＞f（b）＝ab，又g（x）＝xb在（0，+∞）上单调递增，所以g（a）＝ab＞g（b）＝bb，故aa＞ab＞bb，D正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查对数运算的性质、指数式与对数式互化，属于中档题．（多选）31．若6a＝2，6b＝3，则下列判断正确的是（）A．a+b＝1 B．a2C．ab＜14 【考点】指数式与对数式的互化．【分析】结合指数幂的运算法则，基本不等式的公式，配方法，对数函数的单调性，即可求解．【解答】解：6a＝2，6b＝3，则6a•6b＝6a+b＝6，即a+b＝1，故A正确；a2+b2＝a2+（1﹣a）2=2(a−12)2+1ab＜(a+b)26a＝2，则a＝log62，又2＞6故a=log62＞lo故选：ACD．【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．32．若正实数m，n，t满足5m＝7n＝t，且1m+1n=2，则t【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质．【分析】先把指数式化为对数式，求出m，n，再结合对数的运算性质求解．【解答】解：因为正实数m，n，t满足5m＝7n＝t，所以m＝log5t，n＝log7t，所以1m+1n=1lo所以t2＝35，又因为t＞0，所以t=35故答案为：35．【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于基础题．33．已知a＞0且a≠1，若loga2＝m，loga3＝n，则am+n＝6．【考点】指数式与对数式的互化；有理数指数幂及根式化简运算求值．【分析】先把对数式化为指数式，再指数幂的运算性质求解．【解答】解：因为loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an＝3，所以am+n＝aman＝2×3＝6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了指数幂的运算性质，属于基础题．34．放射性物质原子核数的衰变规律是：N=N0⋅(12)tT，其中N0指初始时刻的原子核数，t为衰变时间，T为半衰期，N为衰变后剩余的原子核数．已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为T1、【考点】指数式与对数式的互化．【分析】由题意得M0×(12)512【解答】解：由题意得M0×(12)512∴512T∴1T故答案为：1256【点评】本题考查指数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．五．对数的运算性质（共5小题）35．已知a＞1，且loga8×loga2＝1﹣loga4，则a＝（）A．2或8 B．12或8 C．8 【考点】对数的运算性质．【分析】根据对数的运算性质化简计算即可求解．【解答】解：因为loga8×loga2＝1﹣loga4，又log1−log令t＝loga2＞0，所以3t2＝1﹣2t，解得t=13或所以loga2=故选：C．【点评】本题主要考查了对数运算性质的应用，属于基础题．36．已知a＝lg2，b＝lg3，则lg12可以表示为（）A．a2b B．2ab C．a+2b D．2a+b【考点】对数的运算性质．【分析】结合对数运算性质即可得解．【解答】解：因为a＝lg2，b＝lg3，所以lg12＝lg（3×4）＝lg3+lg4＝lg3+lg22＝lg3+2lg2＝2a+b．故选：D．【点评】本题主要考查对数运算，属于基础题．37．在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述．视星等m是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响．绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度．视星等m和绝对星等M满足m−M=5lg(d10)，其中d是与地球的距离，单位为秒差距．若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足mB﹣A．MB＝MA+4 B．MB＝MA+6 C．MA＝MB+1 D．MA＝MB+6【考点】对数的运算性质．【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解．【解答】解：由题意可知，mA−MA=5lg(32.610则4﹣（MB﹣MA）＝5，解得MA＝MB+1．故选：C．【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．38．若2lg（x﹣2y）＝lgx+lgy，则x，y的关系是（）A．x＝y B．x＝2y C．x＝4y D．x＝y或x＝4y【考点】对数的运算性质．【分析】由已知结合对数的运算性质可得x，y的关系式，然后结合对数真数大于0的条件可求．【解答】解：因为2lg（x﹣2y）＝lgx+lgy，所以lg（x﹣2y）2＝lgx+lgy＝lgxy，x＞0，y＞0，x﹣2y＞0，所以（x﹣2y）2＝xy，整理得，x2﹣5xy+4y2＝0，解得，x＝4y或x＝y（舍），故选：C．【点评】本题主要考查了对数的运算性质的应用，解题中不要漏掉对数真数大于0的条件，属于基础题．39．（1）(3−π)2（2）(log【考点】对数的运算性质；有理数指数幂及根式．【分析】（1）结合指数幂的运算性质即可求解；（2）结合对数的运算性质即可求解．【解答】解：（1）(3−π)2（2）原式=[(1【点评】本题主要考查了指数幂及对数的运算性质，属于基础题．六．对数运算求值（共6小题）40．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长50%．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（）（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg5≈0.699）A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年【考点】对数运算求值．【分析】利用归纳可知，从2025年起，到第n（n∈N*）年，DeepSeek的算力提升至2250×1.5nPetaFLOPS，解不等式2250×(【解答】解：根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长50%，截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率，由题意可知，截止至2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PetaFLOPS，到2026年，其算力提升至2250×1.5PetaFLOPS，到2027年，其算力提升至2250×1.52PetaFLOPS，⋯，以此类推可知，从2025年起，到第n（n∈N*）年，DeepSeek的算力提升至2250×1.5nPetaFLOPS，由2250×(32∴n＞log∴DeepSeek的算力预计在2028年首次突破7500PetaFLOPS．故选：C．【点评】本题考查对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．41．已知a＞b＞1，若logab+logba=103，A．6 B．7 C．8 D．9【考点】对数运算求值．【分析】设t＝logba并由条件求出t的范围，代入logab+logba=103化简后求出t的值，得到a与b的关系式代入ab【解答】解：设t＝logba，由a＞b＞1得t＞1，已知等式转化为：t+1即3t2﹣10t+3＝0，解得：t＝3或t=1所以logba＝3，即a＝b3，又因为ab＝ba，所以b3b＝ba，则a＝3b＝b3，解得：b=3，a=33，所以故选：D．【点评】本题考查对数运算，属于基础题．42．化简（log62）2+log62•log63+2log63−6A．﹣log62 B．﹣log63 C．log63 D．﹣1【考点】对数运算求值．【分析】由已知结合对数运算性质进行化简即可求解．【解答】解：（log62）2+log62•log63+2log63−＝（log62）2+log62•（1﹣log62）+2（1﹣log62）﹣2＝（log62）2+log62﹣（log62）2+2﹣2log62﹣2＝﹣log62．故选：A．【点评】本题主要考查了对数的运算性质的应用，属于基础题．43．若logam＝2，b3＝m，则logm（ab）＝（）A．16 B．15 C．56【考点】对数运算求值；指数式与对数式的互化．【分析】先根据指数式和对数式互换得出logbm＝3；再根据对数的运算法则及换底公式可求解．【解答】解：由b3＝m可得：logbm＝3，则logm（ab）＝logma+logmb=1故选：C．【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于基础题．44．已知a=log52，A．1a+b B．1b+a C．【考点】对数运算求值．【分析】先利用对数的换底公式得1a=log25【解答】解：a=log∴a＝log52=lo∴1a=log25∴log故选：A．【点评】本题考查对数的运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．45．若a＞1，b＞1，且log3a•log3b＝4，则ab的最小值为81．【考点】对数运算求值．【分析】利用基本不等式及对数的运算法则，最后借助对数函数的单调性即可求解．【解答】解：∵a＞1，b＞1，∴log3a＞0，log3b＞0，且log3a•log3b＝4，∴log当且仅当log3a＝log3b即a＝b时等号成立，又log3a+log3b＝log3ab，∴log∴ab≥34＝81，则ab的最小值为81．故答案为：81．【点评】本题考查了对数的运算性质，基本不等式求最值的方法，是基础题．课后针对训练课后针对训练一、单选题1．已知，若，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．已知，且，，，若，，则（

）A． B． C． D．3．若，，则（

）A． B．C． D．4．若对数式有意义，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．已知，则（

）A． B． C． D．186．在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中k为常数，在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（单位：小时）（

）A．2 B．4 C．6 D．87．已知，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（

）A． B． C． D．8．已知，且，则（

）A． B． C． D．9．某地大气压强p（单位：kPa）与海拔h（单位：m）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，k为常数．已知某季节该地海拔为5000m，8000m两处的大气压强分别为54kPa，36kPa．下表为该地不同季节平均标准大气压强的范围，则此时该地为（

）季节春季夏季秋季冬季（参考数据：，）A．春季 B．夏季 C．秋季 D．冬季10．按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内二氧化碳最高容许浓度不高于．经测定，刚下课时，教室内含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间的最小整数值为（

）参考数据：．A．1 B．3 C．7 D．8二、多选题11．下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．12．已知，，则（

）A． B． C． D．13．设，则下列运算正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题14．.15．．16．，则用和表示的结果为四、解答题17．（1）已知，试用表示；（2）已知，求的值．18．求解下列问题：(1)在①，②中任选一个求值；(2)已知，，试用a，b表示．19．计算：(1)；(2)；(3)．20．（1）计算：；（2）已知，，求的值；（3）已知，求的值参考答案题号12345678910答案DACBBCBCDD题号111213答案ACDBCDAD1．D【分析】利用对数运算，结合因式分解，通过分析可得，然后再利用基本不等式可求得最小值.【详解】由题意得：，所以或，即或，因为，所以，即，取等号条件为，此时，故选:D2．A【分析】先根据指数