第01讲 集合 精讲+精练（解析版）

第01讲集合(精讲+精练基础）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：集合的基本概念高频考点二：用描述法表示集合高频考点三：集合的基本关系高频考点四：集合的运算高频考点五：图的应用高频考点六：集合新定义题第四部分：高考真题感悟第五部分：集合(精练基础）第一部分：知第一部分：知识点精准记忆1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：和.（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.（4）常见数集和数学符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号或说明：①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.集合应满足.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.④列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.2、集合间的基本关系（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．4、集合的运算性质（1），，．（2），，．（3），，．5、高频考点结论（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）．（4）,．第二部分：课前自我评估测试第二部分：课前自我评估测试1．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】D故选：D2．（2022·广东惠州·高一阶段练习）已知集合，，若满足，则的值为(

)A．或5 B．或5 C． D．5【答案】C【详解】∵，∴9∈A，或，解得或或，当时，，，此时，不符合题意；当时，，集合不满足元素的互异性，不符合题意；当时，，，此时，符合题意；综上，故选：C．3．（2022·海南·模拟预测）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D，B为正奇数集.故选：D4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知集合，，，则实数a的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为集合化简可得又，，所以或，故实数a的取值集合为，故选：C.5．（2022·贵州毕节·三模（理））已知全集，集合，若图中阴影部分表示的集合是，则集合（

）A． B． C． D．【答案】C将韦恩图分为4个区域，因为，且在阴影部分内，所以3和6在区域（1）内，4和5在区域（2）内，而7、8、9则在区域（3）内，故集合.故选：C第三部分：典型例题剖析第三部分：典型例题剖析高频考点一：集合的基本概念例题1．（2022·全国·高三专题练习）下面能构成集合的是（

）A．中国的小河流 B．大于5小于11的偶数C．高一年级的优秀学生 D．某班级跑得快的学生【答案】B【详解】由题意，对于A，我国的小河流不能构成集合，不符合集合中元素的确定性；对于B，大于5小于11的偶数为，可以构成集合；对于C，高一年级的优秀学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性；对于D，某班级跑得快的学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性.故选：B.例题2．（2022·江苏·高一）下列四个命题中，其中真命题的个数为（

）①与0非常接近的全体实数能构成集合；

②表示一个集合；③空集是任何一个集合的真子集；

④任何一个非空集合至少有两个子集．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【详解】①与0非常接近的全体实数不确定，所以不能构成集合，错误；②，正确；③空集是任何非空集合的真子集，错误；④对于非空集合，至少有一个元素，所以子集的个数为，正确.故选：C例题3．（2022·全国·高一）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（

）A．①③ B．②④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④【答案】D【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确；对②：因为集合，故正确，即②正确；对③：空集是一个集合，而集合是以为元素的一个集合，因此，故③不正确；对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确；对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确；对⑥：显然成立，因此⑥正确．综上，本题不正确的有③④，故选：D例题4．（2022·四川乐山·高一期末）已知集合，，有以下结论：①；②；③．其中错误的是（

）．A．①③ B．②③C．①② D．①②③【答案】C【详解】由可得所以，故①错；，②错；，③对，故选：C．例题5．（2022·宁夏·银川一中高二期中（文））已知集合.(1)若A是空集，求的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；(3)若A中至少有一个元素，求的取值范围.【答案】(1)(2)当时集合，当时集合；(3)(1)解：是空集，且，，解得，的取值范围为：；(2)解：①当时，集合，②当时，，，解得，此时集合，综上所求，当时集合，当时集合；(3)解：中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或；当中有2个元素时，则且，即，解得且；综上可得时中至少有一个元素，即题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）已知、，若，则的值为（

）A． B．0 C． D．或【答案】C【详解】由且，则，∴，于是，解得或,根据集合中元素的互异性可知应舍去，因此，,故．故选：C.2．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知集合，若，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，解得．故选：D．3．（2022·福建厦门·高一期末）若集合，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为集合是奇数集，所以，，，A，故选：C4．（2022·浙江·高三专题练习）已知集合，，则集合B中元素个数为（

）A．5 B．6 C．8 D．9【答案】A【详解】集合，，则当时，有，当时，或，当时，或，所以，集合B有中5个元素.故选：A5．（2022·全国·高三专题练习）若，则的可能取值有（

）A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3【答案】C【详解】，则，符合题设；时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；时，则，符合题设；∴或均可以.故选：C高频考点二：用描述法表示集合例题1．（2022·湖南衡阳·高一期中）集合＝（

）A．{0，1，2} B．{－2，－1，0} C．（－3，1） D．（－1，3）【答案】A【详解】解不等式，得，又因，集合为故选：A例题2．（2022·全国·高一课时练习）方程组的解集可表示为___________（填序号）．①；②；③；④．【答案】①②④由，所以满足条件的有①②④故答案为：①②④题型归类练1．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，集合，或，结合集合的交集的概念及运算，可得.故选：B.2．（2022·广西玉林·高一期末）集合，用列举法可以表示为_________．【答案】##【详解】因为，所以，可得，因为，所以，集合．故答案为：高频考点三：集合的基本关系例题1．（2022·四川·高三阶段练习（理））集合的一个真子集可以为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由，即，解得，所以，所以的一个真子集可以为．故选：C例题2．（2022·全国·高三专题练习）设集合，则集合A的子集个数为（

）A．16 B．32 C．15 D．31【答案】B【详解】因为集合，所以集合A的子集个数为，故选：B例题3．（2022·四川攀枝花·三模（文））设集合，，若，则实数的取值范围是（

）．A． B．C． D．【答案】D【详解】或，因为，故可得，即实数的取值范围是.故选：D.例题4．（2022·全国·高一课时练习）下列四个集合中，是空集的是（

）A． B．，且C． D．【答案】B【详解】A中有元素0，B中集合没有任何元素，为空集，C中有元素1，D中集合，大于4的实数都是其中的元素．故选：B．例题5．（2022·浙江丽水·高一期末）已知集合，，若，则实数_______【答案】解：因为，所以方程有且只有一个实数根，所以，解得.所以故答案为：例题6．（2022·吉林·延边州教育学院一模（文））已知集合，，，则实数的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得，，∵，，∴实数a的取值集合为,故选:C.题型归类练1．（2022·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值组成的集合是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：集合，，当，即时，显然满足条件；当时，，因为，所以或，即或，解得或；综上，实数的取值组成的集合是.故选：D.2．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））已知集合，集合，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，，，且，解得：，即的取值范围为.故选：D.3．（2022·湖北·应城市第一高级中学高三阶段练习）若集合，，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】集合，，若则，即的取值范围是.故选：D.4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则或 D．若时，则或【答案】ABC【详解】，若，则，且，故A正确.时，，故D不正确.若，则且，解得，故B正确.当时，，解得或，故C正确.故选：ABC．5．（2022·安徽·高一期中）设集合，则集合的子集个数为________【答案】16【详解】解：，故A的子集个数为8，故答案为：166．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）满足{1，2，3}的所有集合A是___________．【答案】{1}或{1，2}或{1，3}【详解】因为{1，2，3}，所以集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，所以集合A是{1}或{1，2}或{1，3}，故答案为：{1}或{1，2}或{1，3}7．（2022·全国·高三专题练习）设集合，，且，则的值_________．【答案】2，，，或，解得或，．故答案为：2．高频考点四：集合的运算例题1．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，所以，故选：B.例题2．（2022·河南·模拟预测（文））若集合，，则中的元素个数为（

）A．2 B．4 C．7 D．8【答案】D【详解】，，共有8个元素.故选：D例题3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，，所以.故选：D.例题4．（2022·江苏南通·模拟预测）设集合，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解不等式，则，解得：或，即或，于是得，而，所以.故选：C例题5．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模（文））已知集合，，若，则（

）A．1 B．2 C．1或2 D．0或1或2【答案】C【详解】解：，因为，所以a=1或2，故选：C．题型归类练1．（2022·山东威海·三模）设集合，且，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【详解】解：由题意，集合，，因为，可得，解得.故选：D.2．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：由题可得集合，因为，所以或，解得或，所以实数的取值范围是，故选：C．3．（2022·河北张家口·三模）已知，，，若，则m的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】∵，故，∵奇数集，，其中奇数集，∴m的取值集合为.故选：C.4．（2022·安徽·高一期中）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由可得，由可得，，即或，所以，所以，故选：A5．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：因为集合，，所以，故选：D.6．（2022·辽宁·二模）已知全集，，则是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】，，.故选：C7．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题设，，所以，则或.故选：B8．（2022·天津·高三专题练习）全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，，故且，则.故选：A.高频考点五：图的应用例题1．（2022·安徽马鞍山·三模（文））已知全集U=R，集合，集合，则图中的阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．【答案】D由图可知阴影部分为，故选：D例题2．（2022·重庆市育才中学高三开学考试）设集合、均为的子集，如图，表示区域（

）A．Ⅰ B．IIC．III D．IV【答案】B由题意可知，表示区域II.故选：B.例题3．（2022·甘肃·二模（文））建党百年之际，影片《》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止年月底，《长津湖》票房收人已超亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了人进行调查，得知其中观看了《》的有人，观看了《长津湖》的有人，观看了《革命者》的有人，数据如图，则图中___________；___________；___________.【答案】

由题意得：，解得：.故答案为：；；.题型归类练1．（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）正确表示图中阴影部分的是（

）A．M∪N B．M∩NC．（M∪N） D．（M∩N）【答案】B图中阴影部分为M的补集与集合N相交的部分，即，故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合中，所包含元素的个数为（

）A． B． C． D．【答案】B因为或，则，由题意可知，阴影部分所表示的集合为.故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）已知全集，集合和的关系的韦恩（Wenn）如图所示，则阴影部分所示的集合是（

）A． B． C． D．【答案】C阴影部分所示的集合故选：C3．（2022·福建漳州·高一期末）正确表示图中阴影部分的是（

）A． B． C． D．【答案】C解：由题意图中阴影部分：故选：C4．（2022·湖南·高一课时练习）为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有几人三项工作都参加了．试问这支测绘队至少有多少人？【答案】44记集合是参加测量的学生，是参加计算的学生，是参加绘图的学生，则由已知可得如下韦恩图.所以已知，故这支测绘队至少有44人.高频考点六：集合新定义题例题1．（2022·云南省玉溪第一中学高二期中）定义集合的一种运算：，若，则的元素个数为（

）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】C由题可知，，故中的元素个数为4.故选：C.例题2．（2022·山东聊城·二模）已知集合，，则集合中元素个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C解：因为，，所以或或或，故，即集合中含有个元素；故选：C例题3．（2022·浙江·高三专题练习）设集合，，定义集合，则中所有元素之和为（

）A． B． C． D．【答案】B因为集合，，定义集合，因为，，，，所以，所以中所有元素之和为，故选：B.题型归类练1．（2022·湖北·荆州中学高三期末）已知，是任意两个非空集合，定义集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B由题意.故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素个数为（

）A． B． C．4 D．【答案】B当时，；当时，；当时，；当时，.所以集合的共有3个元素.故选：3．（2022·全国·高一）设定义A与B的差集为且，=_______．【答案】由题意，有、，故，∴有、，则.故答案为：第五部分：高考真题感悟第五部分：高考真题感悟1．（2021·湖南·高考真题）已知集合，，且（

）A． B．C． D．【答案】A因为集合，所以，故选：A.2．（2021·江苏·高考真题）已知集合，，若，则的值是（

）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】B因为，若，经验证不满足题意；若，经验证满足题意.所以.故选：B.3．（2021·天津·高考真题）设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，.故选：C.4．（2021·全国·高考真题）设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B由题设可得，故，故选：B.5．（2021·全国·高考真题（文））已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A由题意可得：，则.故选：A.第六部分：第第六部分：第01讲集合（精练基础）一、单选题1．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））已知集合，集合，则集合（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为集合，集合，所以，故选：C2．（2022·湖南·模拟预测）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】D解：由题意得：集合，或，故故选：D．3．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））设全集，集合，，则集合（

）A． B．C． D．【答案】C由己知可得或，因此，．故选:C4．（2022·全国·模拟预测）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】.因为，，，图中阴影部分表示的集合为中的元素去掉中的元素，即.故选：D．5．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（理））若是集合的真子集，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由“是集合的真子集”得，即方程有实数解，，解得或．故选：D．6．（2022·全国·模拟预测）已知全集，集合，，，则图中阴影部分所表示的集合是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由图知：阴影部分在集合中且在集合中，但不在集合中，阴影部分表示的集合为.故选：C．7．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】∵，∴，∴集合.∵，则，解得或，∴集合，∴.故选：D.8．（2022·山西·二模（理））已知集合，，若有2个元素，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D解：因为，，若有2个元素，则或，解得或，所以，实数的取值范围是.故选：D．二、填空题9．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）若全集，集合，，则___________.【答案】##【详解】因为，，所以或，，所以.故答案为：.10．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）满足{1，2，3}的所有集合A是___________．【答案】{1}或{1，2}或{1，3}【详解】因为{1，2，3}，所以集合A中至少有一个元素1，