2025年体育单招数学公式大全

高考数学常用公式及结论

1元素与集合的关系:A^=>CVA,xeCL.A<^>A.00A<=>A0

2集合｛q,%,…,4｝的子集个数共有2"个；真子集有2〃-1个；非空子集有2〃-1个；非空的真子集

有2"-2个.

3二次函数的解析式的三种形式：

（1）一般式/（x）=ad+公+。（。工0）;

（2）顶点式/*）=。*一万）2+&（。=0）;（当已知抛物线的顶点坐标（力次）时，设为此式）

（3）零点式/（x）=a（x-斗）（x-/）（。工0）；（当已知抛物线与工轴的交点坐标为（斗,（））、（马，°）时，

设为此式）

2

（4）切线式：/（%）=67（x-x0）+（kx+d）Aci0）<.（当已知抛物线与直线），="+。相切且切点的

横坐标为与时，设为此式）

4充要条件：（1）、p=q,则P是q的充足条件，反之，q是p的必要条件；

（2）、p=q,且qW>p,则P是q的充足不必要条件；

（3）、pq,且q=p,则P是q的必要不充足条件；

（4）、pK〉q,且q#>p,则P是q的既不充足又不必要条件。

5函数单调性：

增函数；（1）、文字描述是；y随x的增大而增大。

（2）、数学符号表述是：设f（x）在x£D上有定义，若对任意的且为<9，均有

/（*）</（%）成立，则就叫fJ）在xWD上是增函数。D则就是f（x）的递增区间。

减函数：（1）、文字描述是：y随x的增大而减小。

（2）、数学符号表述是：设f（X）在MD上有定义，若对任意的与"2£0，且耳<%2,均有

/（芯）>/*2）成立，则就叫f（x）在x£D上是减函数。D则就是f（x）的递减区间.

单调性性质：（1）、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数;

（3）、增函数-减函数=增函数；（4）、减函数-增函数=减函数；

注：上述成果中的函数的定义域一般状况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。

复合函数的单调性：

——--■Ma,单调性

内层函数1t\

外层函数it\t

复合函数t\\i

等价关系:

⑴设X,电式。,〃］,可工天那么

（%-々）［/（与）一/（电）］>°<=>>0。〃幻在［。力］上是增函数;

（X-毛）［/（5）-/（毛）］<0。巾）-仆2）<oo/（文）在上是减函数.

⑵设函数y=/（x）在某个区间内可导，假如广。）>0,则为增函数；假如/（x）<0,则/*）

为减函数.

6函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须有关原点对称）

奇函数：

定义：在前提条件下，若有/(一幻二一/(工)或〃一工)+/(1)=()，

则f(X)就是奇函数。

性质：(1)、奇函数的图象有关原点对称；

⑵、奇函数在x>0和x<0上具有相彳以的单调区间;

(3)、定义在R上的奇函数，有f(0)=0.

偶函数：

定义：在前提条件下，若有/(TV)=/(X),则f(X)就是偶函数。

性质：(1)、偶函数的图象有关y轴对称；

(2)、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间；

奇偶函数间的关系：

(1)、奇函数•偶函数=奇函数：(2)、奇函数-奇函数=偶函数；

(3)、偶奇函数•偶函数:偶函数；(4)、奇函数土奇函数=奇函数(也有例外得偶函数的)

(5)、偶函数土偶函数=偶函数；(6)、奇函数土偶函数=非奇非偶函数

奇函数的图象有关原点对称，偶函数的图象有关y轴对称;反过来，假如一种函数的图象有关原点对称,

那么这个函数是奇函数；假如一种函数的图象有关y轴对称，那么这个函数是偶函数.

7函数的周期性：

定义：对函数f(x),若存在T40,使得f(x+T)=f(x),则就叫f(x)是周期函数，其中，T是f(x)

的一种周期。

周期函数几种常见的表述形式：

(1)、f(x+T)=-f(x),此时周期为2T；

(2)、f(x+ni)=f(x+n),此时周期为2，〃一〃|；

⑶、f(x+m)=...-,此时周期为2m。

f(x)

8常见函数的图像:

h—a

数)，=f(x+a)与)，=f(b-x)的图象有关直线x=—对称.

10分数指数塞与根式的性质：

(1)a"=Na'"(NL且〃>1).

Qa>Q,m,nwN*,且〃>1).

(3)即)"=〃.

(4)当〃为奇数时，海=〃；当〃为偶数时，"=|。|=|"'"一.

-a,。<0

11指数式与对数式的互化式：log“N=/?=a"=N(〃>0,〃w1,N>0).

指数性质：

(1)1、ap=-^；(2)、a°=l(。*0)；(3)、

ap

⑷、"•"=优+’(〃>0,3€。)；(5)、，"二";

指数函数：

(1)、)，=ax(a>1)在定义域内是单调递增函数；

(2)、)，=优(0<。<:1)在定义域内是单调递减函数。注：一指数函数图象都恒过点(0,1)

对数性质:

logM+logN=log(A/7V)；(2)、log”M-log“N=log”《；

⑴、flafl

⑶、!oghm=w-logb:(4)、logbn=—•logb；(5)、log1=0

a6“mmaa

]oh

(6)、logaa=1；(7)、a^=b

对数函数:

(1)、y=logf/x(a>1)在定义域内是单调递增函数;

(2)、y=log“x(0<a<l)在定义域内是单调递减函数；注：对数函数图象都恒过点(1,0)

(3)、log”x>0<=>a,xG(0,1)或a,xe(1,+00)

(4)、108〃入<0=。£(0,1)贝卜£(1,+8)或。£(1,+30)贝卜£(0,1)

logN

12对数的换底公式：k)g〃N=」^(。>0,且awl,m〉0,且〃2。1,N>0).

log”,a

对数恒等式：4叫N=N(〃>0,且awl,N〉0).

推论log,.,b"=—log”〃(a>0,且awl,N>0).

"m

13对数的四则运算法贝U:若a>0,aWLM>0,N>0,贝U

M

⑴log.(MN)=log,M+log.N;⑵]08"二=108/0-108*;

N

n

(3)log”Mn=nlogM(neR);(4)logNn=—log”N(n,mGR)。

a“m

14平均增长率的问题(负增长时〃〈0)：

假如本来产值的基础数为N,平均增长率为〃，则对于时间x的总产值有)，=N(l+p)'.

15等差数列：

通项公式：(1)=4+(〃-1)〃，其中。］为首项，d为公差，n为项数，%为末项。

亚分期付款（按揭贷款”每次还款X二得含元（贷款〃元，〃次还清，每期利率为

17三角不等式：

(1)若工£(0,—),则sinx<x<tanx.

2

(2)若x£((),1)，贝！11<sinx+cosxW及.

(3)|sin;i|+|cosx|>1.

18同角三角函数的基本关系式：sin20+cos20=l,lan夕二嘤，

cos。

19正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变，符号看象限)

20和角与差角公式

sin(cr±/?)=sinacosp±cosasinft；cos(a±^)=cosacosq:sinasinft;

,,c、tan±tan/?

tan(cr±,)=-----------------—.

1孑tanatan0

asina+bcosa=yja2+加sin(a+0)

(辅助角。所在象限由点(4加的象限决定，tan0=2).

21二倍角公式及降舞公式

.3.2tana

sin2a=sinacosa=--------、-.

1+laira

_，.2c211c.21-tan~a

cos2a=cosa-siira=2cos~a-l=l-2sin"a=--------；—.

1+tan-a

2tanasin2a1-cos2a

tana=--------------=---------------

1-tan2a1+cos2asin2a

.21-cos2a21+cos2a

sin~a=--------------,cosa=---------------

22

22三角函数的周期公式

2乃

函数y=sin(6M+0),x£R及函数y=COS(0.E+0),X£R(A,3,0为常数，且AHO)的周期7=——；

1。1

7T7T

函数y=tan3>x+0）,x,匕r+—,攵£Z（A,3,°为常数，且AW0）的周期7=——.

2\co\

三角函数的图像：

尸讥X*____________尸COSX3

.干/］、3平丁、/“、二

幺-3乳R川\0S//1KX_2*-七限忑/n'。/泰~j吗

23正弦定理：，一二〃一二」一二2R(R为A4BC外接圆的半径).

sinAsinBsinC

oa=2/?sinA,b=2/?sinB,c=2/?sinC<=>a:/?:c=sinA:sin:sinC

24余弦定理：

a2=b2+c2-次cosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=/+b2-labcosC.

25面积定理：

(1)S=-ah(l=-bhb=-ch(/?a>%、儿分别表达a、b、c边上的高).

222

(2)5=—r/ZjsinC=—Z?csinA=—ctzsinB.

222

（3）SM“B=IJ（|E|.|赤|）2-（丽•丽）2.

r一2sA，+/LC符边

么内切倒一（/_〃.（，，出角△内切1~~

26三角形内角和定理：

在△ABC中，有A+3+C=/roC=%-（A+3）

C=£A+B^2C=2^_+

222

27实数与向量的积的运算律:设入、P为实数，那么：

（1）结合律：入（一1）=（入口）a;

（2）第一分派律：（入+p）a=>^a+iia;

（3）第二分派律：入（3+5）=入3+人行.

28d与3的数量积（或内积）：a-b=\a\\b\cosO.

29平面向量的坐标运算：

⑴设1=（$,y）,b=（x2,y2）f则一+万=（百+孙乂+%）・

⑵设2=（百,%）,b=（x2,y2）9则1-/”（百一］2，%一外）.

⑶设A区，yi）,B（々，为），则4*=。8-ON=-%-X）.

（4）设力=（x,y）,则42=（/U,4y）.

（5）设6=（斗，叩），、=（%2，为），则”石=（中2+乂必）・

30两向量的夹角公*

八dB

cos0=------/M=（西,y）,B々，为））・

团•闻Jx「+y「W巧+%

31平面两点间的距离公营__________________________

22

dAl）=||=\IABAB=y］（x2-x］）+（y2-yi）（A（x,,y,）,B（x2,y2））.

32向量的平行与垂直：设M=&，,），方="2，%），且方工。，贝1J：

a\\b<^b=Xa<=>xiy2-x2yi=0.（交叉相乘差为零）

alb(gwO)oa•5=0<=>x)x2+y1y2=0.(对应相乘和为零)

33线段的定比分公式：设片（斗,），2（々，%），P（x，），）是线段6丹的分点，丸是实数，且肝=之至，

丽+）龙

<=>OP=

oUP=i而+("t)砾(z=—!-7).

1+A

34三角形的重心坐标公式:△ABC三个顶点的坐标分别为A（X］,y，、B（X2,y2）^（XX3,、％）,则AABC

的重心的坐标是G（x+，+七，）1+）'2+）'3）.

33

35三角形五“心”向量形式的充要条件：

设。为AA8C所在平面上一点，角A8,C所对边长分别为凡〃,c,则

（1）。为AABC的夕卜心oO>（2=。42=012.

（2）。为AABC的重心=方+砺+云=0.

(3)。为AA3C的垂心oOX砺=加•反=

(4)。为AA8C的内心<=>〃8+/?砺+(灰=0.

(5)。为AA8C的乙4的旁心=。刀=〃砺+c诙.

36常用不等式：

(1)€/?=>。2+/?222"(当且仅当@=1)时取“二”号).

(2)a,〃£R+=>史22，石(当且仅当a=b时取“=”号).

2

(3)/4-+c3>3abc(a>0力>0,00).

(4)同一例《卜+44卜+瓦

(5)若《，石《等(当且仅当a=b时取"=”号)。

37极值定理：已知尤)，都是正数，则有

(1)若积是定值〃，则当x=y时和x+y有最小值2折；

(2)若和x+)，是定值$,则当x=y时积个，有最大值Is?.

4

(3)己知。，仇X,)，£/?',若OT+故=1则有

—+—={ax+by)(—+—)=di+Z?+—十—>«-lZ?+2Jab=(y/a+>fb)2«

xyxyxy

(4)已知a,Ax,ye*,若且+2二1则有

xy

x+y=(x+y)(—+—)=a-\-b+—+—>a-\-b+24cib=(4a+4b)2

xyxy

38一元二次不等式aY+笈+c>0(或v0)(ar(),△=〃-4ac>0),假如。与aP十乐+c同号，则

其解集在两根之外；假如〃与a^+bx+c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异

号两根之间.即：

A<x<x2O(X-x1)(x-X,)<0(〜<x2)；

X<X],或不>工2O(^-Xt)(x-x2)>O(X]<x2).

39具有绝对值的不等式：当a>0时，有

1

国<a=X2<a<^-a<x<a.

凶>a。V>片0x>q或*v—a.

40斜率公式：

^=—~—(<区，,)、E(%，K)).

41直线的五种方程：

(1)点斜式y-yi=k(x-xi)(直线/过点R(X],y),且斜率为左).

(2)斜截式y=Ax+b(b为直线/在y轴上的截距).

(3)两点式上—~(乂工K)(5(%,)))、A(X,，K)(玉工乂，凹工力)).

%一弘

两点式的推广：(w-x)(y-y)-(%-y)*-X)=0(无任何限制条件!)

(4)截距式2+2=1(〃、〃分别为直线的横、纵截距，〃=0、〃00)

ah

(5)一般式Ar+8y+C=0(其中A、B不一样步为0).

直线AY+B)，+C=0的法向量：I'=(A,B),方向向量：I=(B,-A)

42夹角公式：

k-k

(1)tana=|2'|.(l:y=>+&,l\y=kx^b,kk工-1)

1IK、A]A222x2

(2)tana=|—:A-+4y+G=0,(：42+82y+。2=。，A4+8田2-O).

41Ao+g&

直线/1_L。时，直线/】与/2的夹角是2.

•2

434到4的角公式:

k—k

L

(l)tan«——.((:y=k]x+bt,l2:y=k、x+b、，kk/-1)

1+k2k]

(2)tana=~:4/+4)，+。1=0,/2:Ax+B2y+C2=0,A^A,+wO).

AiA2+B2

直线4_L，2时，直线k到"的角是巴TT.

-2

44点到直线的距离：d=l”:8），o+C|（点尸10，,0）,直线/：Ar+By+C=0）.

VA2+B2

45圆的四种方程：

（1）圆的原则方程（工一〃）2+（3，一〃）2二，

（2）圆的一般方程x2+/+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）.

⑶圆的参数方程P=：+rcosf.

y=o+rs\x\0

（4）圆的直径式方程（17］）（工-%）+（5-、）（）'-）'2）=°（圆的直径的端点是g/）、5（x2,）',））•

22

46点与圆的位置关系：点P（x（r儿）与圆（x-a）?+（y-b）=r的位置关系有三种：

若d=｛（a—x0y+（b—），o）2，则0点尸在圆外;

d=〃0点。在圆上;d<〃<=>点P在圆内,

47直线与圆的位置关系：直线Ar+B），+C=0与圆（1-。）2+（）,一与2=/的位置关系有三种

|4。+劭+C|)

("=

VA2+B2

d>厂=相离<=>A<0；f/=r<=>相切<^>A=0;J<r<=>相交<=>A>0.

48两圆位置关系的鉴定措施:设两圆圆心分别为6,6，半径分别为n,0，|。|。2|=〃，则:

d>A+G=外离<=>4条公切线；

〃=八+与=外切o3条公切线；

M-弓Ivd</+4u>相交=2条公切线:内含军相交夕日楠

d=k-4|=内切。1条公切线；e--------------9-------------e---------------8^

0cde弓|=内含u>无公切线.0-d—rM-dfd—*0

22

xvx=acosO

49椭圆靛哈=叱八。）的参数方程是.离心率《=c一

y=/?sin夕a

22

准线到中心的距离为Ja,焦点到对应准线的距离（焦准距）〃二b匚。

cc

过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为：

50椭圆二+与=1(。>8>0)焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:

c..,24F、PF

|Pf；|=e(x+—)=a+ex,|PF21=e(-——x)=a-ex；SM、PF=c\yp1=〃一tan—。

cc2

51椭圆的的内外部：

2222

(1)点P(%,y。)在椭圆二+与=1(。>人>0)的内部=与+当<1.

crbab

2222

(2)点P(%,%)在椭圆三+与=1(。>〃>0)的外部0W+磐>1.

alrab~

52椭圆的切线方程：

22

(1)椭圆二十二=1(。>〃>0)上一点P(X(),先)处的切线方程是号+如二=1.

alra~b~

22

(2)过椭圆二+2=1外一点。(％,儿)所引两条切线的切点弦方程是缚=1.

a'h~a~b~

2

(3)椭圆r+'nim〉"〉。)与直线At+gy+C=()相切的条件是42〃2+3%2=。2.

a~b~

X2—,准线到中心的距离为且，焦点到对应

53双曲线%二9。…)的离心率，

,2»2

准线的距离(焦准距)〃=巴。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：2.—.

ca

22

焦半径公式归用=|e(x+幺)|=|。+0|,|PK|=|e(幺T)H”"I，

CC

/FPF

两焦半径与焦距构成三角形的面积S“.".=/rcot―!一。

51双曲线的方程与渐近线方程的关系：

2222

(1)若双曲线方程为二一二二1=渐近线方程：4-7T=0<»y=±-x.

a~b~a-b-a

22

(2)若渐近线方程为)，=±2x0'±F=0=双曲线可设为二一2二九.

aabcro

2222

(3)若双曲线与「一4二1有公共渐近线，可设为「一4二九

a-b-a-b-

(X>0,焦点在x轴上，X<0,焦点在y轴上).

(4)焦点到渐近线的距离总是。。

55双曲线的切线方程：

(1)双曲线二—盘二1(。〉0力〉0)上一点2(％,)，0)处的切线方程是警一浑二1.

ab~ab~

22

(2)过双曲线二-1=1外一点P(x°,)，o)所引两条切线的切点弦方程是芈-浑二

ab~a~b-

22

(3)双曲线二-二二1与直线Ar+8)，+C=0相切的条件是A2a2_B2b2=c2.

a“lr

56抛物线r=2Px的焦半径公式：

抛物线J/=2px[p>0)焦半径|C丹=x0+-|.

+K+片

过焦点弦长|cq=内+工2+P•

.--2

57二次函数），=加+bx+c=〃（X+_L）2+，£，m00）的图象是抛物线：

2a4。

（1）顶点坐标为（-=,4"："）；（2）焦点的坐标为（-，,4成'一"+1）；

2a4a2a4a

4fzc—Z?2—1

（3）准线方程是y=一.

4（7

58直线与圆锥曲线相交的弦长公式\AB\=7（^-^）2+（^-^）2

22

或|A8|="+-）［（%+（）2-=|七一占I4+tancc=\y{-y2\\/i+cota

Y—kx+b

（弦端点A（X1,y）,B*2,%），由方程1消去y得到ar?+/?x+c=。

F（x,y）=0

△>0,。为直线AB的倾斜角，女为直线的斜率，|%-5=A+N）2-4入洛・

59证明直线与平面的平行的思索途径：

（1）转化为直线与平面无公共点；

（2）转化为线线平行；

（3）转化为面面平行.

60证明直线与平面垂直的思索途径：

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；

（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；

（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；

（4）转化为该直线垂直于另一种平行平面。

61证明平面与平面的垂直的思索途径：

（1）转化为判断二面角是直二面角；

（2）转化为线面垂直；

（3）转化为两平面的法向量平行。

62向量的直角坐标运算：

设己=（4，〃2，。3），万=（4也也）则：

（1）M+b=（4+4,。2+%，。3+83）；

（2）讶一方=（4一々,。2-62，。3-4）；

⑶入3=（相,％%/%）（入£R）；

（4）G・B=%bi+a2b2；

63夹角公式：

设4=（4，〃2，。3），B=（"也也）,则COS<二石>=+,

Q+火y4十"2十”;

64异面直线间的距离：

是两异面直线,其公垂向量为石，a。是44上任一点，d为间的距离）•

I川

65点B到平面。的距离：

|万•向

（〃为平面a的法向量,Aea48是“的一条斜线段）.

向t

66球的半径是R,则其体积”9上其表面积S=40t

67球的组合体:

(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体

的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

(3)球与正四面体的组合体：棱长为〃的正四面体的内切球的半径为如。

12

(正四面体高自。的!)，外接球的半径为正四面体高四。的2).

34434

68分类计数原理(加法原理)：N=叫+牡+…+

分步计数原理(乘法原理)：N=m}x,n2x...xmll.

69排列数公式：A'1'=n(n-1)•••(//-/n+1)=-----------.(//,tnGN*,且加工〃)・规定0!=l.

(n-my.

70组合数公式：…(”"+D=—-—