分式方程教学思考与建议

人教版数学八年级上册第五单元同步教研

整体设计：从单元呈现到课时表达

——《15.3分式方程》教学思考与建议0306单元目标与解析单元知识结构01课标对比分析02教学内容分析目录Contents04地位与价值05学生学情分析07课时目标及解析08课时设计01单元知识结构新课标要求改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联.一方面数学核心素养的成分蕴含于知识体系和知识结构中，难以在单个知识点上体现，因此需要“单元呈现”;另一方面许多老师还担心这样做需要更多的教学时间，占用运算技能的训练时间，影响“课时表达”.目前多数教师认同单元整体教学理念，却难于真实的课堂实践操作.单元教学设计是一种介于课程规划与课时教案之间的中观层面的教学设计，“单元呈现”是关注核心素养落实到单元中，“课时表达”要考虑如何将核心素养的培育在课时教学中有效地达成.从单元整体教学理念形成与规划到实施与达成，是辩证思想“无为"到“有为”之间寻求的“智为”.01单元知识结构内容结构分析实际问题分式分式方程分式的基本性质分式的运算整式方程整式方程的解分式方程的解实际问题的解列式类比分数

的形式类比分数

的运算列方程去分母解整式

方程检验目标目标单元学习路径01单元知识结构分式方程在整体代数知识结构的位置01单元知识结构强化真实情境创设：本章从分式到分式方程的概念、性质，运算（解法）、应用都是以实际问题贯穿整个单元，每一节课都以问题解决为载体，基于现实问题开展活动，真正能在活动中让学习回归生活，提高解决真实问题的能力，发展模型观念。02课标对比研究《义务教育数学课程标准（2011年版）》课标要求（1）借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。（2）能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特定的问题查阅资料，找到所需的公式（3）会把具体数代入代数式进行计算（4）了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算。（4）能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程;理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。（5）掌握等式的基本性质；能解一元一次方程和可化为一元一次方程的分式方程。《义务教育数学课程标准（2022

年版）》课标要求（1）借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。（2）能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示（3）会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需的公式，并会代入具体的值进行计算。（4）了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算。（5）能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。（6）能解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程。03教学内容分析

这一章节不仅是对学生已有代数式和方程知识的深化和拓展，更是为学生后续学习更复杂的代数知识，如函数、不等式及更高级的方程等奠定了坚实的基础。通过本章的学习，学生将建立起分式的基本概念，掌握分式的基本性质及运算法则，并学会应用分式方程解决实际问题，从而全面提升其代数思维和问题解决能力。分式的概念与基本性质

本章开篇便引入了分式的概念，即分式是由两个整式相除得到的商式，其中除数（分母）不能为0。这一概念的引入，既巩固了学生对代数式与整式的理解，又为他们打开了探索更广泛数学领域的大门。通过类比分数的性质，学生将学习到分式的基本性质——分式的分子和分母同时乘以或除以同一个非零整式时，分式的值保持不变。这一性质的掌握，不仅有助于学生在后续的分式运算中灵活应对，更是培养了他们抽象思维和逻辑推理能力的重要一步。03教学内容分析分式的运算

在掌握了分式的基本概念和性质后，本章进一步深入讲解了分式的加减乘除以及乘方运算。这些运算规则的掌握，对于学生来说既是一次挑战，也是一次提升。通过大量的例题练习，学生将学会如何将复杂的分式运算逐步简化为更易于处理的形式，这一过程中，他们的运算能力和代数思维将得到显著提升。分式运算的灵活性也要求学生具备严谨的数学态度和细致的解题习惯，这对于他们未来的数学学习乃至日常生活都将产生深远的影响。分式方程及其应用

分式方程作为一类特殊的方程，其求解过程既涉及到了前面所学的分式运算知识，又融合了整式方程的求解技巧。学生在面对这类问题时，需要先通过“去分母”将分式方程转化为整式方程，再按照整式方程的求解步骤进行求解，最后还需要对解进行检验以确保其合理性。这一过程的复杂性和挑战性，无疑将极大地锻炼学生的代数思维和问题解决能力。04地位与价值

本单元《分式》的内容结构清晰，逻辑性强，循序渐进地引导学生深入理解分式的概念、掌握其运算方法，并最终学会将分式知识应用于解决实际问题。整个单元的设计旨在构建一个系统而全面的知识体系，促进学生数学素养的全面提升。分式的概念与基本性质是本单元学习的基石。学生需要明确分式的定义，理解其结构特点，并熟练掌握分式的基本性质，如分子分母同时扩大或缩小相同倍数不改变分式的值等。这些基础知识不仅是分式运算的前提，也是后续学习更深层次数学内容的重要支撑。通过理论讲解与实例分析相结合的方式，教师可以帮助学生巩固这些核心概念，为后续学习打下坚实基础。分式的运算是本单元的核心内容。学生将学习分式的加减乘除等基本运算规则，并通过大量练习掌握这些运算技巧。在这一过程中，教师需注重培养学生的运算能力和逻辑思维。通过设计多样化的练习题，让学生在实战中提高运算速度和准确性；通过引导学生分析解题过程，培养其逻辑思维和问题解决能力。教师还应强调简化分式表达式的重要性，让学生在运算过程中养成化简的习惯，提高解题效率。分式方程及其应用将分式知识与实际问题紧密结合起来。学生将学习如何建立分式方程来描述实际问题中的数量关系，并通过求解方程来找到问题的解决方案。这一过程不仅考验学生的数学运算能力，还考验其将数学知识应用于实际情境的能力。为了提高学生的应用意识和问题解决能力，教师可以设计贴近学生生活实际的题目，如购物折扣问题、工程问题等，让学生在实际操作中体会数学的实用价值。通过小组合作、案例分析等教学方法，激发学生的学习兴趣和探究欲望，促进其全面发展。

根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求，本单元的教学目标可分解为以下几个方面：符号意识：通过分式的表示，培养学生的符号意识，使其能够用数学符号准确表达实际问题中的数量关系。运算能力：通过分式的加减乘除运算和分式方程的求解，培养学生的运算能力，使其能够熟练进行分式的运算和方程求解。模型观念与应用意识：通过实际问题的引入，培养学生的模型意识和应用意识，使其能够将实际问题抽象为数学问题，并运用所学知识进行求解。推理能力：通过分式性质的推导和分式方程的求解过程，培养学生的推理能力，使其能够运用逻辑推理解决问题。04地位与价值05学情分析（一）已知内容分析

在进入分式学习之前，学生已经完成了有理数、无理数以及整式的加减乘除等基础知识的学习。这些内容为后续的分式学习奠定了坚实的基础。有理数的学习使学生掌握了数的基本性质和运算法则，而整式的加减乘除则进一步锻炼了学生的代数运算能力。这些知识点不仅提升了学生的数学素养，更为他们理解更为复杂的代数表达式——分式提供了必要的准备。有理数的学习帮助学生建立了数的分类概念，明确了正数、负数、零的关系及运算法则。学生理解了相反数、绝对值等概念，并能在实际情境中灵活运用。无理数的引入，则让学生认识到数系的广阔与多样性，理解了实数系的完备性。这些知识的学习，为学生处理分式中的复杂数值关系提供了有力的支持。

整式的加减乘除作为代数运算的基础，使学生掌握了代数表达式的简化、展开、合并同类项等基本技能。这些技能在分式运算中同样至关重要，因为分式的化简、运算等过程都需要运用到整式的运算规则。学生已经具备的整式运算能力，将直接促进他们在分式学习中的进步。05学情分析（二）新知内容分析

本单元的新知内容主要包括分式的概念与基本性质、分式的运算规则以及分式方程及其求解等。这些内容相对较为抽象和复杂，需要学生具备较强的逻辑思维能力和运算能力。

分式的概念与基本性质：学生首先需要明确分式的定义，即两个整式的商，其中分子和分母都是整式，且分母不能为零。学生还需要理解分式的基本性质，如分子分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变等。这些性质是后续分式化简和运算的基础。

分式的运算规则：学生将学习分式的加、减、乘、除等运算规则。这些规则与整式的运算规则有一定的相似性，但也存在显著的区别。例如，在分式运算中，通常需要先对分子分母进行因式分解，以简化运算过程。学生还需要掌握如何求分式的最简公分母，以便进行加减运算。

分式方程及其求解：在掌握分式运算的基础上，学生将进一步学习分式方程的概念、解法及应用。分式方程相比整式方程更为复杂，因为它涉及到分式的化简、去分母等步骤。学生需要灵活运用分式的性质和运算规则，将分式方程转化为整式方程进行求解。05学情分析（三）学生学习能力分析

八年级学生正处于逻辑思维和抽象思维发展的关键时期，他们具备了一定的观察、分析和解决问题的能力。由于分式内容相对抽象和复杂，部分学生在理解分式的性质和运算规则时可能会遇到一定的困难。具体来说，学生的学习能力可以从以下几个方面进行分析：

逻辑思维能力：八年级学生已经具备了一定的逻辑思维能力，能够理解和运用基本的逻辑推理方法。在处理分式这种较为复杂的代数表达式时，他们的逻辑思维能力仍需进一步提升。特别是在解决分式方程等综合性问题时，学生需要运用多种逻辑思维方法，将复杂问题逐步拆解为简单问题进行处理。

运算能力：学生的代数运算能力已经得到了一定的锻炼和提升，能够熟练进行整式的加减乘除运算。在分式运算中，学生需要掌握更多的运算技巧和方法，如因式分解、通分、约分等。这些技巧的运用将直接影响学生的运算效率和准确性。

问题解决能力：学生已经具备了一定的问题解决能力，能够运用所学知识解决一些简单的实际问题。在分式学习中，学生需要面对更多抽象和复杂的问题情境。这要求他们不仅要掌握分式的性质和运算规则，还要能够灵活运用这些规则解决实际问题。06单元目标及解析1.单元目标

（1）描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，了解分式的概念，认识分式是一类应用广泛的重要代数式，培养抽象能力和应用意识。

（2）类比分数的基本性质，了解分式的基本性质。能利用分式的基本性质进行约分和通分,了解最简分式的概念，渗透类比的数学思想。

（3）类比分数的四则运算法则,探究分式的四则运算法则,能进行简单的分式加减乘除运算，提高计算能力。

（4）结合分式的运算，将指数的范围从正整数扩大到全体整数，了解整数指数幂的运算性质,能用科学计数法表示小于1的正数。

（5）掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法,体会解分式方程过程中的化归思想。

（6）结合利用分式方程解决实际问题的实例，进一步体会分式方程是刻画实际数量关系的一种重要数学模型。2.单元目标解析

达成目标（1）的标志是学生从实际情景或数学问题中抽象出分式的概念。

达成目标（2）的标志是学生能够类比分数的基本性质得出分式的基本性质，并会用分式的基本性质进行约分和通分。

达成目标（3）的标志是学生能够类比分数的四则运算法则得出分式的四则运算法则，并会用分式的四则运算法则进行分式的计算。

达成目标（4）的标志是学生了解负整数指数幂，并会用科学计数法表示小于1的数。

达成目标（5）的标志是学生能将分式方程化为一元一次方程，进一步体会化归的数学思想。

达成目标（6）的标志是学生会利用分式方程解决实际问题，进一步体会分式方程是刻画实际数量关系的一种重要数学模型。4.单元教学难点分式基本性质的理解与应用：部分学生在理解分式的基本性质时可能存在困难需要通过直观演示和动手操作加深理解。复杂分式运算的简化：对于包含多个分式的复杂运算学生可能难以直接得出结果需要通过分步计算逐步简化表达式。分式方程求解的检验：在求解分式方程后学生需要检验解的合理性以确保解的准确性但部分学生可能忽视这一步骤导致错误答案。3.单元教学重点

分式的概念与基本性质：理解分式的定义和性质并能准确判断分式有意义的条件。

分式的运算：掌握分式的加减乘除运算法则并能熟练进行分式的运算。

分式方程及其求解：理解分式方程的概念并能通过去分母的方法求解分式方程。06单元目标及解析07课时分析1.内容

分式方程的概念和解法。2.内容解析

本节课是学生在七至九年级学段中第三次学习解方程，学生已经具有了一元一次方程和二元一次方程组解法的研究经验，基本形成了方程单元的一般观念，具备一定的将方程单元研究内容延续、研究方法迁移的能力。

解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程，关键步骤是去分母。去分母时可能出现增根，因此检验是解分式方程中必不可少的一步。

通过解分式方程体会类比和转化的数学思想。07课时目标及解析1.课时目标

（1）理解分式方程与整式方程的区别，并掌握解分式方程的一般步骤。

（2）经历解分式方程的探究过程，进一步理解化归思想，培养学生的创新意识和合作探究能力。

（3）会列分式方程解决实际问题，体会分式方程是刻画实际数量关系的一种重要数学模型。2.课时目标解析

达成目标（1）的标志是学生能写出分式方程，会将分式方程化为一元一次方程，并能解出方程，总结解分式方程的一般步骤。

达成目标（2）的标志是学生能合作探究出多种分式方程的解法，体会化归思想。

达成目标（3）的标志是学生会列分式方程解决实际问题，体会分式方程是刻画实际数量关系的一种重要数学模型。

分式方程是整式方程的延伸和发展，是对方程认识的一次提升。但学生第一次接触分式方程，在对整式方程认识还不够深入的情况下，又遇到更复杂的求解过程和可能产生增根的新情境，学生接受起来困难很大，尤其是分式方程产生增根的原因，学生没有认知准备，理解起来比较困难。

基于以上分析本节课的重点是分式方程的概念及其解法，难点是解分式方程为什么要进行检验。15.3分式方程(1)08课时设计一创设情境

感知问题问题1：学校计划组织20名学生从嘉兴前往西安研学，一部分学生乘飞机前往，每张机票690元，个别学生因身体原因需乘高铁前往，每张票710元，共花费14000元，乘飞机前往的有多少名学生？

问题2：飞机在无风中的航速为800km/h，已知顺风航行820km所用时间，与逆风航行780km所用时间相等，求风速为多少km/h？

师生活动：学生运用方程思想，通过设未知数，根据相等关系列出一元一次方程方程、二元一次方程组、分式方程建立方程模型解决问题。

设计意图：从生活实际情境出发，既能增强学生学习兴趣，同时也为建立方程模型提供了现实背景，使学生感受到（分式）方程的产生源于现实生活，体会研究分式方程的必要性。二探究关系

感悟新知1.概括分式方程的定义这些方程有什么共同的特征？

学生概括得出分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。像一元一次方程、二元一次方程等这类分母中不含有未知数的方程叫整式方程.

问题5.根据定义，你能写出几个分式方程吗？

师生活动：通过识别不同种类方程，观察方程的不同点和共同点，尝试概括分式方程的定义。并让学生写出一些分式方程。

设计意图：通过观察、概括、尝试写出分式方程系列活动，体会分式方程的特点，加深概念的认识和理解。问题6.同学们还记得一元一次方程的解题步骤吗？二元一次方程组的解题思路是什么？

师生活动：进行第一次框架图归纳总结。

设计意图：揭示根据等量关系可以建立方程模型解决问题，复习一元一次方程、二元一次方程组的解法思路，为分式方程的解法思路埋下伏笔。二探究关系

感悟新知2.探索分式方程的解法问题7：这些解法有什么共同特点？问题8：哪种解法更具有一般性？

问题9：为什么方程两边要乘最简公分母？问题10：这样做的依据是什么？问题11：x=9是原分式方程的解吗？怎样验证呢？

师生活动：教师出示活动要求。学生代表展示不同的解法。对五个问题进行交流回答。

设计意图：经历探索分式方程的解法过程，发展学生思维的灵活性，使学生享受探究乐趣、获得成就感；通过多种解法的对比分析，培养学生的探究能力和创新意识，帮助学生条理化思维，透过现象看到本质，明白解法思路是将分式方程转换为整式方程，清楚解题依据是等式的性质。学生通过检验，发现这个整式方程的解是原分式方程的解，说明这种解分式方程的方法是正确的。二探究关系

感悟新知3.分析分式方程无解的原因例2：解分式方程问题12为什么转化后整式方程的解有时候是原分式方程