离散型随机变量的数字特征（共课时）课件-高二下学期数学人教A版选择性

7.3离散型随机变量的数字特征第一课时7.3.1离散型随机变量的均值人教A版选择性必修第三册第七章第三单元课时目标1.通过实例，理解离散型随机变量的均值的意义和性质．2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值．3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．旧知回顾

……

1－0.课题引入

离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律；但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便.例如，要比较不同要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射击水平，一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性.

因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征.0.课题引入

【思考】“离散型随机变量的均值”如何求？【问题1】一组数据x1，x2，…，xn的均值是什么？有何意义?1.离散型随机变量的均值

F1：按照糖果的最高价格定价F2：按照这三种糖果的平均价格定价F3：按照这三种糖果的加权平均价格定价定价为：36元/千克

（1）加权平均数加权平均是指在计算若干个数量的平均数时，考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数．【探究2】甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示.如何比较他们射箭水平的高低呢？环数78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2

1.离散型随机变量的均值【问题2】不知道具体环数，如何由分布列计算射中的平均环数呢?①平均环数；②稳定性（即方差）.

【追问1】你能将上面问题中样本均值的稳定值用一般化的数学语言表示吗？1.离散型随机变量的均值

（1）（2）

1.离散型随机变量的均值【追问2】离散型随机变量的均值与样本平均值有何区别与联系?（3）随机变量的均值与样本均值的关系区别联系随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，它总是稳定的，不具有随机性.样本均值是随机的，它随着样本抽取的不同而不同.在大量的试验下，随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小.因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值.1.离散型随机变量的均值实际上，频率稳定到概率是样本均值稳定到随机变量均值的特殊情形.事件的频率事件的概率样本的均值随机变量的均值稳定到稳定到类比类比1.离散型随机变量的均值

1.离散型随机变量的均值步骤：①确定X取值②求P(X＝k)概率③写分布列④求均值E(X)【追问3】你能求出两点分布的期望吗？

011.离散型随机变量的均值

1.离散型随机变量的均值步骤：①确定X取值②求P(X＝k)概率③写分布列④求均值E(X)【练习】某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和均值，并求李明在一年内领到驾照的概率.1.离散型随机变量的均值解析：ξ的所有可能取值为1，2，3，4.则P(ξ＝1)＝0.6，P(ξ＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28，P(ξ＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.P(ξ＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.则ξ的分布列为所以E(ξ)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.李明在一年内领到驾照的概率为1－(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)×(1－0.9)＝0.997

6.ξ1234P0.60.280.0960.024步骤：①确定X取值②求P(X＝k)概率③写分布列④求均值E(X)(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值.(2)求出X取每个值的概率P(X＝k).(3)写出X的分布列.(4)利用均值的定义求E(X).

反思感悟求随机变量X的均值的方法和步骤步骤：①确定X取值②求P(X＝k)概率③写分布列④求均值E(X)2.数学期望的性质X12345P0.10.30.40.10.1

Y58111417P0.10.30.40.10.1【探究3】已知随机变量X的分布列如下表，求Y=3X+2的分布列及数学期望？【问题2】Y=3X+2，那E(X)与E(3X＋2)有何关系呢？E(3X＋2)=3E(X)+2.2.数学期望的性质

【例3】（1）已知随机变量X的分布列为若Y＝－2X，则E(Y)＝

.

X－2－1012P

m

2.数学期望的性质【例3】（2）已知随机变量X的分布列为若Y＝2X－3，求E(Y).X－2－1012P

m

2.数学期望的性质

2.数学期望的性质

X－2－1012P

m

(1)定义法：先列出η的分布列，再求均值.(2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可.

反思感悟求线性关系的随机变量η＝aξ＋b的均值的方法

歌曲猜对的概率获得的公益基金额/元1000200030003.数学期望的应用

0100030006000【问题3】如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？

3.数学期望的应用【例5】根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下3种方案：方案1运走设备，搬运费为3800元；方案2建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；方案3 不采取措施.工地的领导该如何决策呢？天气状况大洪水小洪水没有洪水概率0.010.250.74总损失/元方案1380038003800方案26200020002000方案3600001000003.数学期望的应用

值得注意的是，上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的.一般地，我们可以这样来理解“期望总损失”：如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2将会使总损失减到最小.不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的.3.数学期望的应用3.数学期望的应用【练习】某地盛产脐橙，该地销售脐橙按照等级分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱重量为5

kg)，某采购商打算在该地采购一批脐橙销往外地，并从采购的这批脐橙中随机抽取50箱，利用脐橙的等级分类标准得到的数据如表所示：(1)用比例分配的分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，ξ表示随机抽取的3箱中是特级的箱数，求ξ的分布列及均值E(ξ)；等级珍品特级优级一级箱数10151510

ξ0123P

3.数学期望的应用3.数学期望的应用【练习】某地盛产脐橙，该地销售脐橙按照等级分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱重量为5

kg)，某采购商打算在该地采购一批脐橙销往外地，并从采购的这批脐橙中随机抽取50箱，利用脐橙的等级分类标准得到的数据如表所示：(2)利用样本估计总体，该地提出两种购销方案供采购商参考：方案一：不分等级卖出，价格为20元/kg；方案二：分等级卖出，分等级的脐橙价格如表所示：从采购商节约资金的角度考虑，应该采用哪种方案？等级珍品特级优级一级箱数10151510等级珍品特级优级一级售价(元/kg)25201510

3.数学期望的应用

反思感悟解答实际问题时，(1)把实际问题概率模型化；(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，列出分布列；(3)利用公式求出相应均值.

01

权数加权平均数课堂小结

课堂小结

人教A版选择性必修第三册第七章第三单元7.3离散型随机变量的数字特征第二课时7.3.2

离散型随机变量的方差1.通过实例,理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义.2.会求离散型随机变量的方差、标准差.(重点)3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法.(重点)4.会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.(难点)课时目标

Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn2.离散型随机变量的均值的性质：若X,Y是两个随机变量,且Y=aX+b,则有E(Y)=aE(X)+b.

01回顾旧知【引导语】

均值是离散型随机变量的一个数字特征，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机试验中取值的平均值.

本节我们将对反映随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度的数字特征——方差进行研究.0.创设背景

引入新知0.创设背景

引入新知【探究1】从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03【问题1】可以通过均值判断两名同学的射击水平吗？由于E(X)=8，E(Y)=8；所以用均值不能区分这两名同学的射击水平.【探究1】从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03【追问1】还可以从哪个角度来评价射击水平呢？0.创设背景

引入新知X和Y的概率分布图如下图，分析甲乙环数的离散程度：样本方差可以度量一组样本数据的离散程度.能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量随机变量的离散程度.

Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn1.离散型随机变量的方差【探究1】从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03【追问2】对探究1，如何定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？1.离散型随机变量的方差

【追问3】一般地，两点分布的方差是什么？(2)两点分布或0－1分布的方差：若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)

.(其中p为成功概率).1－1.离散型随机变量的方差1.离散型随机变量的方差【追问4】离散型随机变量的方差的本质及意义是什么？

【意义】随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.【追问5】随机变量的方差与样本的方差有何区别与联系呢？1.离散型随机变量的方差区别联系随机变量的方差即总体的方差，它是一个常数，不随样本容量的变化而变化，是客观存在的.样本的方差则是随机变量，它是随着样本容量的不同而变化的.对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近总体的方差，即越来越接近随机变量的方差.

1.离散型随机变量的方差【练习】有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，若从中随机抽出3张，记这3张卡片上的数字和为X，则D(X)＝

.

1.离散型随机变量的方差(1)理解随机变量X的意义，写出X的取值.(2)求出X取每个值的概率.(3)写出X的分布列.(4)计算E(X).(5)计算D(X).

反思感悟求离散型随机变量方差的步骤

2.离散型随机变量方差的性质【问题2】可以看到方差的公式与均值密切联系，从运算角度探讨一下，能用E(X)表示D(X)吗？

2.离散型随机变量方差的性质Yax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn【追问1】离散型随机变量Y=aX+b，D(aX＋b)(其中a，b为常数)与D(X)有何联系？D(aX+b)=(ax1+b－E(aX+b))2p1＋(ax2+b－E(aX+b))2p2＋…＋(axi+b－E(aX+b))2·pi

＋…＋(axn+b－E(aX+b))2pn=(ax1－aE(X))2p1＋(ax2－aE(X))2p2＋…＋(axi－aE(X))2·pi

＋…＋(axn－aE(X))2pn=a2[(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xi－E(X))2·pi

＋…＋

(xn－E(X))2pn]=a2D(X).

【例2】已知X的分布列如表所示：(1)求X2的分布列；X－101P

a

X201P

2.离散型随机变量方差的性质【例2】已知X的分布列如表所示：(2)计算X的方差；X－101P

a

2.离散型随机变量方差的性质【例2】已知X的分布列如表所示：(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差.X－101P

a解析：(3)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.2.离散型随机变量方差的性质2.离散型随机变量方差的性质【练习】已知η的分布列为(1)求η的方差；η010205060P

2.离散型随机变量方差的性质【练习】已知η的分布列为(2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y).η010205060P

解析：（2）∵Y＝2η－E(η)，即Y＝2η－16，∴D(Y)＝D(2η－16)＝22D(η)＝4×384＝1

536.(1)公式：D(aX＋b)＝a2D(X).(2)优势：既避免了求随机变量Y＝aX＋b的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程.

反思感悟方差性质应用的关注点【例3】投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示.股票A收益的分布列股票B收益的分布列收益X/元－102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3(1)投资哪种股票的期望收益大?(2)投资哪种股票的风险较高?分析股票投资收益是随机变量,期望收益就是随机变量的均值.投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下,可以用收益的方差来度量它们的投资风险高低,方差越大风险越高,方差越小风险越低.3.离散型随机变量方差的应用在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，使期望收益最大或风险最小．

3.离散型随机变量方差的应用【练习】有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如表所示：

其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好).ξA110120125130135P0.10.20.40.10.2ξB100115125130145P0.10.20.40.10.23.离散型随机变量方差的应用解析：E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.D(ξA)＝0.1×(110－125)2