2025年双曲线经典知识点总结双曲线知识点总结

双曲线知识点总结班级____________姓名—上我的横坐好满足xE-adxMa.（3>顶点：①双的线与它的着称轴的交戊你为双的废的顶点.

仞识由一：双曲线Y）定义在平面内.到两个定点骂、玛的即禹之母的绝对也等T常数2a不小于

0“2。<阳段）的动点尸的轨边叫作双曲段.这两个定巾耳鸟叫双曲两你点的距离叫②双曲畿。'<n>0,b>0>与坐";柏的两个交点即为双用我的两个顶点，坐。分别为

A.<-a.0>.A..,.0）.JQ卢世密的怠中距离近来的，'

作双州找的便距.③两个顶点间的线段AM叫作双曲线的实轴：设B,<0.-b>.B,（0.b）为y轴上的两个点.

注在：1.双业规的定义中,常数2。应当法足的妁束条件卜随「2“<1号为I,这可以借助则线&B,B.叫做双曲他的由触，女釉和&釉的长也分别为IAA-2a.l«.B.I-2b,。叫做女曲线的黄牛

柏长,b叫儆双曲痛的虔串做长.

于三角形中边的"关性城"两边之里不不小于第三边”来理的：

.1.'.：i.WWl纹乂到两个顶点,而椭国有四个风也.内交把双■我的虚轴与椭团的掠/福酒

2.若去并定义中的“泊对也”,常奴0满足的柬条件：阀,阀1=北<阳段9>0）.则动②双曲段的焦点通在实轴上.③实轴和虚MW长的双曲线称为等轴双曲戏.

2cc

点轨迹仪表达双曲找中猛煤点吊的一支；若庐为HP用=2。<|4段<。>0）,则动点轨迹仅々

（4）榭心率：①双曲线向熊却与实林长的比叫做双曲线的离心率.用。表达•记上2a

达双蒯规中搴焦点R的一支I

3.若常数0疏足的柬条件।|网■阿卜2“■品|则动点耻^以艮.由—（5亨■炉

.F,为羯点的两条射线（包②由于c>a>0.因北双曲城的离心率

括端.立）।bb

4.若需攻。满足约束条件:阀-网=2”监|"讯及不存於因此a决定双fll税的开口大小，。越大.。也过大，双曲统开”就推开阔.因此离心率可以用未我达

双曲线开c的大小机鹰.③警岫双曲段4=6.因此离心率6=应.

5,若盘软。=0.则动点轨过为线段FF的垂直平分线.

知识点二।女曲浅的原则方程（5）渐近规：通过点AoA作y轴的平行规x土C,通过点口、B,作x轴的平行姚广士b,四条H线

/J；

树成书柜形（如图）.S■形的柄条村用妓所在直线的方程达'a.我为把之为,。alfti

1.当假点在X油上时,双曲段的保则方程I/V~（。>00>0）,其中

双的饯的渐近蜿.

丁-Ll

注意：四曲线叮它的渐近或无瞅拿近,但永不相交•

2."i”.点在y轴上时,双曲线的原则方程，户户（。>°上>0）.M中W_y=1>'-X'=i

注意：L只行当双曲跳的中心为坐点,片林岫为坐E珈建立H角坐标系时，才能用我双曲跳的感知识点四：双胞线/V与//一（。>0/>0）的区别和联络

则方程；

2.在双由线的两种（O1方程中，均伍2=/+/；///X?

3.双曲城的例点胞在实轴上，即系数为11：的项所对应的坐标拙上,‘与刀2的东轨为d：时,炖点在X整上，W则方程丁丁%>0.»>0)/■/=%>03>0)

双曲理的他点坐标为（C°）,（Y・°）：当丁的东数为正时，,他点在尸物上,双曲戏的他点坐标.为（°工）.

（0.Y）.r

以“p

如识点三，双曲段的?KJ扑几何性质

Hi图形

双曲找/产（a>0.b>0）的简朴儿柯性所b

“）对称性।对于双曲线原则方用/户〜4（FQ）,玛（*O）*Q-c),&Q6

(a>0.b>0).把x换成一

印卜*3+/）用玛卜加（C=J『+b2）

性顺<5

x.或把y换成一y,或杷x、y刊步接或一X.-f.方杵都不变•因此双曲段a(8>0.b

>0）ffiWxtt.yfrt为居林轴的轴刻称图形.」1是以质点为描称中心的中心刻称图形，这个时稼中心

(由《-/»成Co).y^R帅一身2。）一"

称为以Cl战G中心.范明

（2）范於双曲或上所行的点都在两条平行直线炉一・和磨**|4侬I耽仲的.因此对

对称性力美X柏、y岫和里点刈林制自关线pj明、户段」6玛1和向结介心来.

顶点.也◎(O.±a)I-怎样研定双由我的爆则方程？当且仅当双痛戏的对钱中。在坐标限点，对称轴是会标地，x（曲找

的方程才是睨则方程形式.此时,双曲找的焦点在坐忸轴上.

灿实岫K=2a.匹珀匕=》2.以曲推班划方程中的三个量b.C的几何承义

双曲线原则方程中.mb、c三个量的大小与坐标系无关.是由双曲线自身所碉旋的.分刈衣达

离心率<»-(<>!)

a疝曲线的实半轴长.由半柏太和半强距长.均为正数,且三个I*的大小美星为।c＞a.c＞b.且c：=b%力

”也.a3.怎样由Mm畿电则方程“新战点位置

附近战方程…1X

aD业断线的体点总在实粕匕因此已知以财方程.别斯靠点位置的描施是：石x'y：的耒数，黄如

_Z_］x'JJI的聚数是正的.那么焦点在X轴.匕假如y'项的系数是iE的.都么体危在，,2I.注意：对于双

知识点五।双曲纹的渐近姚：（】＞已如双曲姚方程求於近线方程।若双曲线方程为a'b2~.期曲线.a不一定不小了b,因此不能像81n那样通过比较分母的人小来装定优点在.中条坐标物上.

I.方程Ax“By：=C（A、B.。均不为零）农送女曲城的条件

鼻-4=0=＞-±q=Oy-±-x/

3♦

只渐近线方丹为db2aba注意：＜l）已如72曲线方阳.旃双曲线方xc£

/一B

即

程中的“尊如换或"O",然后因大分杆即件渐近统方程.方程M+B/XOI化为cc.因此只布卜B#号.”程龙达双南线.

＜2）己如渐近统方程求以由线方程।若双曲线渐近姚方程为腐）土亚=0,Q］可设双曲纹力程为

当:rt“时，戏曲式的辗点瞑轴匕当7°丁0时,双曲税的焦点修钝上.

""一"寸=2.惬律（口知条件•求出义即可.＜3＞与双曲找了爰"一二公共新造纹的双曲线

5.求覆曲触凉期〃巴的小月加城：①拘走京攻法：山HII条“晒走，”总的住K.从mifWiE〃”：的哭

梨.设出原则力和,再由豺I的定方年中的&敏a.b、c的值.我或赘环节是”先至型,再定H-I

方程可改为J.＜入＞0,焦效在X轴上，入＜0.熊点在：轴上＞（4）等犍双副跳

Z定义法：由afl条件刘断出动点的粘边是什么图形.然后再根据定义跑定方程.

的用近烘等触*曲我的两条渐近筑?工相京！1,为了=土X.网此的林双曲技叩2为/-V=双N*0）注意：若定义中“筌的也对假”中的绝对tU.拉,点的象台成为“的戊的一支,先峭定方程类型.

再确定您改明b.即先定里.再定仪.并两种类里均布也许.则然分类讨论.

知识点六，双曲战图像中线段的几何特性，1］，］/

6.花样处理与便点三角即APF,F,（P为双曲线上的点）仃关的计算向咫？

双曲/4=%＞。"）,如叫

与需点三角形△哨尸明美的il算何IS叭常考虑到用以田战的定义及氽弦定理（或勾股定理）.

⑴加轴id华b勿，虎轴K2〃焦矩I"内卜次（2＞95.OT.I//\I卜，

三角形面枳公式'"遇V」飓忖n"”相结合的抵例行计g*临招有关境段闷L

，山=叫皿地,唐…飓I.喀L有关尔4%站含起笈本小咨卜1%1、网1俨段之间的先系.

I网1班114鼎I"/。V7,⑶瓯到保点哪调［4用.

l4»4l=c・。.〃段=|4»周="+c,⑷"4鸟中皓会定“附1卜产刚=〃匕金饯定理.

【殳式3]已如点P6.y*rM»；i^J（x-l）'+3-l）'・J（x+3）2+8+3y=4则动点p

7.纪样的定离心辛。的取值状况与双曲线彩状的关系？:离©率a,illfc-a^b:.用c、b表

的轨迹是（>

A.ttWB,双曲线中的一支C.桥条射找D.以上都K对杵窠IB

e，=Jl+32

达力aVa,当。加大Bt.axa±.即淅近线夹仍，含x他i嫉大.勉开门球止，反之.

类型二：双曲我的以划方程：2.求，作曲线正T-而公共住点，且过巾（头近⑵的双■蝶的

e越小.开口小小.惠心小反成了双曲投开口的大小,fie>l.

收则方程.

8.椭Ph双曲线的区别和联络:_________________________________________________________

x3y3

椭网双曲一

耨法•.依依菰设咫曲我方FY为1一E丁=】；由己如褥J+b'=c'=20,又改由茂过点

根蛆MlMMF：|=2amiRlMFil-tf：|=±2a

f=20rJ=]2

a>c>0.0<a<c.3

（3。？/=1（3^2）_4_]=>L_?

R-)c-h>0)W⑵.a7；.*.a1b2：故所乘双曲线的方程为

沁。//-1

//.

7V=l

解法二।依法窟设双曲线力&为16-土4+**,招点（女尼.2）代入16-上4+方..解却上=4

（8>b>0）<a>0.b>0.H不一定不小于b)

"=1因此双曲线方程为128.【变式】求中心在隙力..可林轴为坐标柏.“攻八九,.，他来距为0

颇姗方独统一为，mn

,=2LW.i

类型一।以角践的定义1.已知。0”（x，5>・y：-3©fti（x-5）;*y;-9一力的双曲统的期地方程【存窠】正7°

<D若动BIP与。”。，均内切.求动词网心P点的轨边：（2）苦动阿Q4；0,.。，均外切.求“，阳

已知双曲我的两个焦点之间的跑离为送上一点到两点的的鹰之龙的结对值为

用心Q戏的轨迹.3.L.F,26.MittSi24.

求双曲线的则方程.

解析：（1》设G5P半径为R.二。。占00；相寓.AhiR-2.|P0>|=«-3.,.|P（X|-|PQ,I=1.Ki

解析I由题就科2«吆*2c-26..,.n-12.c-13.b*-l3:-12-25.

又I0QIT0

二由双曲蛭的定义.P点的轨谖是以Q.缶为性点.2a=1.2c=10的双曲褪的力2.X3_/_j

<2）设。Q卡径为r,则1m-r»2.IQO.-r，3A|l».-Q0,-1.幻0曲|・1。

l当双曲线的焦点在x柏上N.双前我的方程为14425：当四曲线的俅点在“他上时.以曲我

二山双曲线的定义.Q点的软迹是以n“Ok为焦点.2a=1.2c=10的双曲她的左支.

塔-反:【变式】】已知定,也付（一2.0）.FK2.0）.平加内满足下列条件的动点I1的轨动为四曲线的

ft<）A.IPFJTPF,=±3B.IPF.|-|PF.I=±4C.lPFi|-|PFr|=±5D.F.--花「=±4[««]

的方程为M425.

A

的结升，“求双曲线的原通方程谟是求a',上的值.同步还变确定便点所在的坐标物.双曲我所

（45X2]已加点F,«>,13）.FJ0.13）.动点P到F,与F：的跑出之差的艳对值为26.■动点P

的挑选方程为（）在的生标粕.不ASK阳班科希x\/的分@的大小.而是看/、y'的系数的正负.

A.y-0B.厂：><x<一]3成”>13）C.K-0<lyl>13）P.Cl上切不对1件案】CM/

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【类型三।双曲线的几何性质4.方抬mT\m\-2表达双曲线.求实数”的取值范例，

加-5>0fw-5<0（w>5fw<5扇-（6扬：

__________l«|-2>0l|«|-2<0O[w<-2st«>2l-2<ffi<2

（j4sft程为49.•.•点儿&&扬在双曲线上..'.49.制都4=4，所求立

=m>5或-2<附<2....玄敝1,的取值公国为你|m>5或-2（尚<?.±上=】

曲线力科为1636―

。结XI华I方程友达网曲岐时,A、R舁号.

士+―总结升华：求双尚饯使方程,美城是求。、b.在解壮过程中应熟悉各元点（a、b.e.e及

【变式1】k>9林方程9-2k-4及通双曲线的（）

戊投）之间的关系.并注尊方丹思杷的应川.若上知双曲线的渐近埃方祝°万士方=Q.可设立由我方

A.充足必要条件B.充足不必要条件C.仍要不充足条件D.既不充足又不必要条忤【符*】B

/_丁=1用//-/炉="'0八

【变式2】式双曲段阳？+[24-rn的盘距.【答案】8

彳一g=1x=±-yy=±-x

总结升华।双曲茂Ib2的港近线方程为aWb।若惠曲戏的方程为

根据F列条件,来刈&世方程.（D与“曲底§16"行共同的渐近战，H过点（-3.2、历：（2）

渐近我方程为为+2y=0,u双曲线过点M（8,6j力.第析：（,）解法当他.点在x轴上时.~m~n（根«>0.4>0.优点在XMil：.X<0,您点在y轴匕）.则H；渐近线方程为

—b=—4