2025-2026学年吉林省长春市榆树市慧望中学八年级（上）期末数学试卷（含答案）

第=page22页，共=sectionpages22页2025-2026学年吉林省长春市榆树市慧望中学八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列各数中，是无理数的是（）A. B. C. D.3.141414…2.下列整式运算正确的是（）A.3a+2b=5ab B.a2•a3=a6 C.（-a3b）2=a6b2 D.a2b3÷a=a33.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A.3，4，5 B. C.32，42，52 D.4.下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（）A.a（x+y）=ax+ay B.x2-4+3x=（x+2）（x-2）+3x

C.5x2+10x=5x（x+2） D.x2-4x-4=（x-2）25.长春冰雪大世界的工匠雕刻一座等腰三角形冰雕时，为保证冰雕对称美观、重心稳定，雕刻时需先确定关键基准线.工匠在冰雕的顶角顶点处系了一根铅锤线（重力作用下铅锤线始终垂直于水平面），若铅锤线恰好经过底边的中点，则可判断该冰雕的两腰长度相等，且铅锤线为底边上的高.能解释这一现象的数学知识是（）A.等边对等角 B.垂线段最短

C.三角形具有稳定性 D.等腰三角形“三线合一”6.《九章算术》是我国古代重要的数学著作.书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC=20尺，BC=5尺，设AC为x尺，则下列方程正确的是（）A.x+（20-x）2=52 B.x2+20=（20-x）2

C.x2+2（20-x）=52 D.x2-52=（20-x）27.如图，若AB=4，AC=3，△ADC的周长为7，下列尺规作图方法中，不能确定BC的中点的是（）A.

B.

C.

D.8.中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法.如图，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为点F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG.已知DE=5，AF=3，则△ABC的面积为（）A.33

B.30

C.27

D.24二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。9.8的立方根是

.10.=

.11.长方形的面积是6a2-2ab,若一边长是2a,则另一边长是

.12.如图，在数轴上点A表示的实数是

.

13.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为______．

14.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DM⊥DN，交BM于点N.CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结论：①△BDE≌△CDA；②DM=NE；③∠AMD=45°；④EM：MC：NE=1：2：3.正确的是

（填序号）.三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题6分)

计算：

（1）；

（2）（x-3）（x+4）-x（x+6）.16.(本小题6分)

因式分解：

（1）3a3-12a2+12a；

（2）（2x+y）2-（x+2y）2.17.(本小题6分)

先化简，再求值：（a+3）2-（a+1）（a-1）-2（2a-4）-13，其中.18.(本小题7分)

如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E.

（1）求证：△ACD≌△CBE；

（2）延长EB至点F使得BF=DE，连接AF交CE于点G，若BF=8，BE=4，求AC的长.19.(本小题7分)

图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.点A、B、E、H均在格点上.只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹.

（1）在图①中，以AB为腰画一个等腰三角形ABC；

（2）在图②中，以AH为边画一个三角形AFH，使△ABH≌△HFA；

（3）在图③中，画△ABE的高线ED.20.(本小题7分)

2025年被定为“全国青少年冰雪运动推广年”.某校响应号召，计划开设冰壶、滑雪、滑冰、冰球四个冰雪运动社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项运动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行“我最喜爱的冰雪运动项目”问卷调查（每名学生选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，并根据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图.根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次抽取的学生总数为______人；

（2）请补全条形统计图；

（3）m的值为______；

（4）若该校共有2000名学生，估计该校最喜爱滑雪运动的学生有多少人？21.(本小题8分)

如图1是我国古代用于冷藏食物的青铜冰鉴，由放置食物的方尊缶（中间小正方形）和放置冰块的方鉴（外围大正方形）组成，从上方往下看的形状如图2所示.已知大正方形的边长为（2a+b）cm,小正方形的边长为（a-b）cm.

（1）放置冰块的区域为大正方形与小正方形的面积差，请用含a,b的式子表示放置冰块部分的面积并化简；

（2）当a=40，b=5时，求放置冰块区域的面积.22.(本小题9分)

【阅读】公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了直角三角形的三边之间的数量关系：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于______，这个结论在中国称为“勾股定理”.

【验证】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图①的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中四边形ABDE和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法给出了勾股定理的证明过程，请你将他下面的证明过程补充完整：

已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=b,BC=a,AB=c.

求证：a2+b2=c2.

证明：由图可知S正方形ABDE=4S△ABC+S正方形FCHG

∵S△ABC=______，正方形FCHG边长=______；

∴S正方形ABDE=c2=4×，即c2=a2+b2.

【迁移】如图②，将等腰直角三角板ABD顶点A放在直线l上，过点B作BC⊥l,过点D作DE⊥l,垂足分别为C、E.

（1）求证：△ABC≌△DAE；

（2）聪聪认真观察图②后发现：如果设AC=b,BC=a,AB=c,此图也可以利用面积法证明勾股定理.请你帮聪聪完成证明过程.

【应用】如图③，某景区内有一块三角形ABC草坪，∠C=90°，∠A=60°，AC=50m,BC=50m,点D为边AB的中点，小明从A点出发，先到边BC上某一点E，再到D点，最后回到A点，如何确定BC上点E的位置，才能使所走的路径（AE+ED+DA）最短？并求直接写出最短路径的长为______.

23.(本小题10分)

【猜想论证】林林同学在探究三角形中线的相关知识时发现：在三角形中，若一条边的中线长等于这条边长的一半，那么这条边所对的角就是直角.于是，他尝试做出如下证明：如图①，CD是△ABC的中线，且，求证：∠ACB=90°.

证明：∵CD是△ABC的中线，∴，

∵，∴AD=CD=BD，

∴∠DCB=∠B，∠ACD=∠A.（______）（填依据）

在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，

【证明过程缺失】

∴，即∠ACB=90°.

（1）请补全林林缺失的推理依据和证明过程；

【思维迁移】

（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的一点，且CD=BD.求证：AD=CD；

【拓展运用】

（3）通过推理不难发现，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，当D是AB的中点时，AD=CD=BD；请利用上述结论，解决下面的问题.

如图③，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，将△DBE沿直线DE翻折，得到△DME，若BE=2，AE=5，连接AD，当∠ADM=60°时，DE的长为______.

24.(本小题12分)

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=8，动点P从点A出发，沿A-C-A以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点C出发，沿C-B-C以每秒1个单位长度的速度做往返运动（到达B后立即沿BC返回C），连结PQ.当点P到达点A时，P、Q同时停止运动.设点P的运动时间为t秒（t＞0）.

（1）在点P从A运动到C的过程中，线段CP的长为______；（用含t的代数式表示）

（2）当点P与点C重合时，求线段BQ的长；

（3）当△CPQ为等腰直角三角形时，求t值；

（4）分别过点P、Q作PD⊥AB于点D，QE⊥AB于点E.当△APD≌△QBE时，直接写出t的值.

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】2

10.【答案】-4

11.【答案】3a-b

12.【答案】

13.【答案】cm

14.【答案】①③④

15.【答案】

-5x-12

16.【答案】3a（a-2）2

3（x+y）（x-y）

17.【答案】解：（a+3）2-（a+1）（a-1）-2（2a-4）-13

=（a2+6a+9）-（a2-1）-（4a-8）-13

=a2+6a+9-a2+1-4a+8-13

=2a+5，

当时，原式=．

18.【答案】∵AD⊥CE，BE⊥CE，

∴∠BEC=∠ADC=∠ACB=90°（垂直的定义），

即∠CBE+∠ECB=∠ACD+∠ECB，

∴∠CBE=∠ACD，

在△ACD和△CBE中，

，

∴△ACD≌△CBE（AAS）

19.【答案】如图所示，△ABC即为所求

如图所示，△AFH即为所求

如图所示，ED即为所求

20.【答案】50

补全条形统计图如下：

24

720人

21.【答案】（3a2+6ab）cm2

6000cm2

22.【答案】∵∠ACB=∠DEA=90°，∠BAD=90°，

∴∠CAB+∠CBA=∠CAB+∠EAD=90°，

∴∠CBA=∠EAD，

又∵AB=DA，

∴△ABC≌△DAE（AAS）；

∵AE=BC=a，DE=AC=b，

∴CE=AC+AE=a+b，

∵S梯形BCED=S△ABC+S△ABD+S△ADE，

∴，

∴a2+2ab+b2=ab+c2+ab，

∴a2+b2=c2；

作点A关于直线BC的对称点F，连接DF交BC于E，此时AE+ED+AD有最小值，最小值为

23.【答案】等边对等角；∵CD是△ABC的中线，

∴，

∵，

∴