人教A版高二上学期数学（选择性必修2）《4.2.1 等差数列的概念》同步练习题（含答案）

第第页人教A版高二上学期数学（选择性必修2）《4.2.1等差数列的概念》同步练习题（含答案）基础巩固1.等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的都等于同一个，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.2.等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.叫做a与b的等差中项.根据等差数列定义知道，.3.等差数列的通项公式：设一个等差数列的首项为，公差为d，则通项公式为.回归教材①练习1.判断下列数列是不是等差数列.如果是，写出它的公差.（1）95，82，69，56，43，30；（2）1，1.1，1.11，1.111，1.1111，1.11111；（3）1，-2，3，-4，5，-6；（4）1.2.求下列各组数的等差中项：（1）647和895；（2）和.3.已知是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数.d824.已知在等差数列中，.求.5.在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列.6.某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位.你能用表示第n排的座位数吗？第10排有多少个座位？7.画出数列的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率.8.在等差数列中，且，求.9.已知数列，都是等差数列，公差分别为，数列满足.（1）数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由.（2）若，的公差都等于2，求数列的通项公式.10.已知一个无穷等差数列的首项为，公差为d.（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（2）依次取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（3）依次取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？②习题1.已知为等差数列，.求.2.1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星的运行曲线和1531年、1607年的彗星惊人地相似.他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归.这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年.请你查找资料，列出哈雷彗星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的年份.3.已知等差数列的公差为d，求证.你能从直线的斜率角度来解释这个结果吗？4.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列.（1）写出数列的一个递推公式；

（2）根据(1)中的递推公式，写出数列的一个通项公式.提升训练提升训练31.下列数列中，不是等差数列的是()A.1，4，7，10 B.C. D.10，8，6，4，22.“”是“数列为等差数列”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.等差数列中，则()A. B. C. D.4.已知等差数列的前三项分别为，则该数列的通项公式为()A. B. C. D.5.在数列中，若，则数列的通项公式为()A. B. C. D.6.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则()A.17 B.37 C.107 D.1287.已知等差数列是递增数列，若，则()A.2024 B.2023 C.4048 D.40468.若不全相等的非零实数a，b，c成等差数列且公差为d，那么()A.可能是等差数列 B.一定不是等差数列C.一定是等差数列，且公差为 D.一定是等差数列，且公差为d9.等差数列中，公差为则公差d的值为()A.1 B.0 C. D.10.写出一个同时具有下列性质①②的等差数列的通项公式：__________.①（，）；②是递增数列.11.已知数列满足.（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式.12.已知正项数列满足且.（1）求数列的通项公式；（2）求满足不等式的正整数n的最小值.参考答案及解析一、基础巩固1.差常数d2.A3.二、回归教材①练习1.答案：（1）是等差数列，公差为（2）不是等差数列（3）不是等差数列（4）是等差数列，公差为解析：（1）由即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为；（2）通过观察可知…该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列；（3）通过观察可知…该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列；（4）由即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为.2.答案：（1）771（2）解析：（1）设647和895的等差中项为a，则故647和895的等差中项为771；（2）设和的等差中项为b，则故和的等差中项为.3.答案：见解析解析：对第一行：由题意得利用等差数列性质知，解得：；又，解得：对第二行：由题意得故可填写表格如下：d81524.答案：6解析：设等差数列的公差为d，则在等差数列中.5.答案：10.5，14，17.5解析：在7和21之间插入3个数，使这5个数成等差数列，解得插入的这3个数为10.5，14，17.5.6.答案：，第10排的座位数33个解析：由条件可知，每排的座位数，看成等差数列，首项则.综上可知，第10排的座位数个.7.答案：解析：由题知，数列是一个等差数列其首项为18，公差为，则，可得图象如下：因此，通过图象上所有点的直线的斜率为.8.答案：解析：设等差数列的公差为d则所以.9.答案：（1）数列是等差数列，证明见解析（2）解析：（1）数列是等差数列证明：因为数列，都是等差数列，公差分别为所以又因为故而，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.（2）由（1）知：数列是以为首项，为公差的等差数列而所以.10.答案：（1）这个新数列是等差数列，首项为，公差为d（2）这个新数列是等差数列，首项为，公差为2d（2）这个新数列是等差数列，猜想见解析解析：（1）由题意可知，将无穷等差数列的前m项去掉其余各项组成一个新的数列为：…这个新数列是等差数列首项为公差为d.（2）由题意可知取出无穷等差数列中的所有奇数项组成一个新的数列为：……这个新数列是等差数列首项为公差为2d.（3）由题意可知取出无穷等差数列中所有序号为7的倍数的项组成一个新的数列为：……这个新数列是等差数列首项为公差为.猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列.②习题1.答案：1解析：由题意，知.2.答案：列表略，本世纪回归的年份为2062年解析：根据历史记载，哈雷彗星在1607年以后的回归时间依次为1682年，1759年，1835年，1910年，1986年.列表略.预测它在本世纪回归的年份为2062年.3.答案：见解析解析：等差数列的通项公式.数列的图像是直线上的一系列孤立的点，且直线的斜率为d又直线的斜率公式.4.（1）答案：解析：由题意，知数列：1，3，6，….（2）答案：解析：…以上个式子相加.又也符合上式.三、提升训练1.答案：C解析：A是（常数），所以是等差数列.B是（常数），所以是等差数列.C不是，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列.D是（常数），所以是等差数列.2.答案：B解析：如果数列是等差数列根据等差中项的定义可得反之成立不一定得到数列是等差数列.故选B.3.答案：A解析：设等差数列的公差为d，依题意得解得所以.4.答案：C解析：设该等差数列的公差为d.因为等差数列的前三项分别为所以解得所以所以.故选C.5.答案：A解析：因为所以所以是首项为公差为的等差数列所以所以.故选A.6.答案：C解析：因为能被3除余2且被7除余2所以既是3的倍数又是7的倍数即是21的倍数且所以即所以.故选C.7.答案：C解析：设等差数列的公差为.方法一：因为所以所以所以.方法二：由，得，即，所以，所以.8.答案：B解析：若是等差数列，则，因为a，b，c成等差数列，所以，则，整理化简得，与非零实数a，b，c不全相等矛盾，所以一定不是等差数列.故选B.9.答案：A解析：又即，解得，由于，所以，故选A.10.答案：2n（答案不唯一）解析：设数列的公差为d，则由性质①可得，整理得，所以，再根据②可知，显然满足题意.取，则（【另解】