【《共面波导电极数学基础及结构的研究》3500字】

共面波导电极数学基础及结构的研究目录TOC\o"1-3"\h\u14943共面波导电极数学基础及结构的研究 1149211.1保角变换相关理论 159931.2共面波导结构 415081.3计算方法 61.1保角变换相关理论1.1.1共面波导结构与保角变换常规形状的共面波导如图2-1所示。图2-1金属基底共面波导的几何模型Fig2-1Geometricmodelofcoplanarwaveguideonmetalsubstrate其中心导带宽度为LabVIEW，中心导带两侧狭缝宽度s，金制导体的厚度为t，电光晶体基底厚度为h，整个共面波导的长度为L。W.Heinrich曾提出共面波导等效电路[33]的基本模型如图2-2所示。图2-2CPW等效电路Fig2-2CPWequivalentcircuitR，L，C，G四个元素分别取决于以下规律：R，L取决于共面波导的尺寸，频率，导体的传导性和频带；C取决于共面波导的尺寸和基底介电常数；G取决于共面波导的尺寸，基底的有效介电常数和基底损耗角的正切值；共面波导的传播常数γp和特征阻抗ZC可以通过上述R，L，C和G的值计算。 式（2-1） 式（2-2）通过共面波导各结构参数全波分析结果求得的特征阻抗，还可进一步用于求解散射参数（Scatterparameters，简称S参数）。当输入口的特征阻抗等于50Ω时，反射系数Г和传输系数T可以通过以下计算得到 式（2-3） 式（2-4）进而可以得到S参数 式（2-5） 式（2-6）上述计算过程中，等效串联电阻R，串联电感L，分流电导G可以从相应的全波结果中提取，而并联电容C的等效分布电容不易得到，需将共面波导复杂的金制电极转换为平行板电容进行求解。由于共面波导加工尺寸在微米级，近似运算将影响结果的准确性。第一类基本保角变换适于求解变换关系，分析不规则边界的图形与易于求解的形状之间的变换关系。故可使用这种办法简易、多样地计算不同结构共面波导传输参量的闭合解析解。在共面波导的相关问题研究中，由于其截面形状复杂，没有相关经验方法指导，主要使用Schwarz-Christoffel公式和方程的近似求解办法，实现各个区域之间的转换，然后利用第一类完全椭圆积分进行积分，求解其有效介电常数以及特征阻抗。1.1.2许瓦兹-克里斯托弗Schwarz-Christoffel变换常见的保角变换有指数函数变换、幂函数变换、儒柯夫斯基变换等，但这些变换通常没有清晰明确的适用范围，实际中需要人为得通过经验决定采取何种变换，以求解相关问题[34]。涉及到复杂形状截面的求解问题仅仅依靠经验是很困难的，变换过程复杂，多次尝试费时费力且不一定可得正确解。通常，可以采取Schwarz-Christoffel变换，将位于某复平面、已知边界的nQUOTEn边多边形确定的区域，转换成为另一复平面上形状规则的、易于求解的上半平面场域。此种方法是提供了一个微分方程，由该微分方程，可以得到一个解析函数，来实现上述得变换。设有一映射，将复平面上Z上n边多边形的各个顶点，分别映射到一个多边形wQUOTEw的内部，使ZQUOTEz平面上任意点z1,z2,z3…，QUOTEz1，z2，…zn对应w平面多边形的各顶点w1,w2,w3…逆时针排列）；设各个顶点分别对应的角为QUOTEα1πα1Π，α2Π…αnΠQUOTEα2πQUOTEαnπ。取其中一个在有限远处的顶点QUOTEwiwi，由平面几何的相关原理可知0<αr<2；另外再取无限远处的顶点wi，可知-2<αr>0。为满足约束条件，即转动总角度之和为2Π，需要满足 式（2-7）解析函数将Z平面的上半平面区域ImZ>0单叶保形变换到n角Π，则有S-C变换公式如下①（即）时 式（2-8）②（即）时 式（2-9）对于非特殊形状的多边形，采用近似的方法通过求解Z平面上各点及方程中的常数c、。首先选定Z平面三个点Z1,Z2,Z3QUOTEz1，z2，z3，得到对应w平面的w1,w2,w3，接着求解剩下n-3个zk和常数c当时 式（2-10）线段wnw1与正实轴的夹角已知；取，；而，也已知。所以剩下的n-3个实参数z4,z5,…zn，QUOTEz4，z5，…zn用下面的映射求解 式（2-11）1.1.3椭圆积分椭圆函数是计算椭圆弧长时，首先会遇到的函数，故以此命名。椭圆积分与椭圆函数是相对应的一组反函数。椭圆积分有“第一类”、“第二类”、“第三类”三种，每种又有“完全”与“不完全”两类的分别，在表达式方面，有一般勒让德尔（Legendre）形式和引入变量（令）的雅可比（Jacobi）形式两种。雅可比椭圆函数常用于工程类的计算。在共面波导相关问题的求解中，多用第一类完全椭圆积分。 式（2-12）可以看出，由式（2-12）可以得到，z与K的取值无关，无论z如何取值，K都是实数。其中k为常数，被称为积分的模，被称为补模。与k的关系为 式（2-13）相应的雅可比形式为 式（2-14）当，。将模为的第一类完全椭圆积分表示为，可得 式（2-15）K与通过它们的模，呈现相关关系。因此K与可以采取数值积分和集数展开的方式求解。1.2共面波导结构1.2.1常规共面波导结构常规共面波导一般由电光晶体介质构成的基底和附在基底表面的金属电极两部分构成。金属电极部分有中央信号线及其两端的接地板，这几部分由槽线狭缝分隔。信号线（即中心导带）的宽度、槽线宽度、电光晶体基底厚度、所采用的电光晶体介电常数等，共同决定此共面波导的有效介电常数，也即决定其特征阻抗及S参数。常规共面波导的横截面如图2-3所示，w为中心导带宽度，s为左右两侧狭缝宽度；t和h分别表示金属导体和基底的厚度；ξ0为电光晶体的电光系数[34]。设计时采用导电性能最优的金作为电极材料。实际应用中，接地板宽度有限，基底的厚度有限。共面波导的特性研究中，主要关注两个参数，一是介电常数，二是特性阻抗，对这两个参数进行分析主要采用第二章中的保角变换及椭圆积分。1.2.2电光晶体的选择电光晶体的Pockels效应的响应时间可以达到10-15s量级。电光晶体的电光系数和系统电压可以共同决定输出面光的相位差，大多晶体都存在电光效应，但当电光系数较小时，需要几千伏的半波电压才可保证不同方向的偏振光均具有足够的相位差。因为一般进行转换的电信号只有几伏，所以需选择电光系数较好的电光晶体，同时减小电光晶体的厚度。大幅减小晶体厚度，会导致光在其中传播时波导效应十分明显，且晶体基底厚度将影响共面波导的特征参数，所以选择适当的电光晶体也是共面波导设计过程中重要的部分。常用的电光晶体，如LiNbO3和LiTaO3的折射率较高。同时，有机材料中，电子运动速率可达飞秒级，其响应频率更高。钽酸锂具有较大电光系数，调制过程中所需的半波电压可随之降低；较小的介电常数意味着其吸收的采样光的比例也因此减小[35]。对温度变化不敏感,但其介电常数大，对被测电场的影响大。另外，钽酸锂化学性质稳定，可加工性能强，因此钽酸锂调制器工艺成熟、易于生产，适用范围更广。选好电光晶体介质材料是对共面波导研究的第一步。1.2.3共面波导特征参数1、特征阻抗高频域内，由于信号传输过程中，信号线和参考平面之间存在电场，所以传输线可以等效为一个电阻，这个电阻值是该传输线的特征阻抗。作为高速电光调制器的传输线，共面波导具有特征阻抗，其特征阻抗值由结构参数确定，可通过数学计算方法得到具体数值。长期实践的经验表明，射频传输线的阻抗标准应设定为50Ω[36]。将标准统一设置为50Ω，能够使得阻抗匹配，反射最小、耦合最大。共面波导信号线的特性阻抗应当与电路的输入阻抗相一致时，信号损失最小，否则通过阻抗突变处时信号会被反射回一部分。为使输入端可以得到的信号功率最大，使特征阻抗达到与射频传输线阻抗相近成为了共面波导的设计要求之一。当共面波导特征阻抗达到50Ω时，同轴线可以兼顾耐压、功率容量、衰减的要求。将共面波导等效成如图2-2所示的电路图，可得其特性阻抗相当于传输线的电压和电流之比，也即电感与电容之的平方根。不同共面波导的等效电路也不同，其R，L，C，G四个元素均与共面波导的结构有关。故一般根据系统对特征阻抗的要求来设计共面波导的结构。2、S参数S参数是微波传输中重要的参数之一，在频域范围内对传输特性进行表示，可以描述信号和传输通道的很多信息，表征信号的完整性。实际上，S参数表示的是电压波，可由此用入射、反射的电压表示输入输出关系。信号入射后，通过测量导体对其的“散射”，反映不同物理性质的传输材料对同一信号的散射程度，测量的内容包括上述入射反射电压和传输电压等等。因此，S参数可以描述传输介质的电气特性。由第2.1.1节可知，S参数可由共面波导的传播常数和特征阻抗进行求解。而传输系统的大部分特征参数都可根据S计算得出，故S参数是研究系统传输特性的重要工具之一。1.3计算方法常规金属基底的共面波导几何形状如图2-1所示，其在z平面中多边形的内部区域，如图2-3所示，基件上方空气介电常数为，基件相对介电常数为QUOTEξr，整体介电常数为；中心导带宽度为w，基件厚度为h，假设s1和s2是磁壁，分析过程中采用对称的共面波导结构，令s1=s2。图2-3共面波导在QUOTEzZ平面中多边形的内部区域示意Fig2-3SchematicdiagramoftheinnerZregionofcoplanarwaveguidepolygoninplane将该区域经由指数变换 式（2-16）转换成t的下半平面，如图2-4所示。图2-4共面波导在t的下半平面示意Fig2-4Schematicdiagramofcoplanarwaveguideinthelowerhalfplaneoft通过保角变换中的Schwartz-Christofell变换 式（2-17）将t的下半平面平面换为W平面的矩形域，如图2-5所示。图2-5共面波导在W平面的矩形域示意Fig2-5Rectangulardomainofco