2025年阿氏圆例题文档(带答案)

2025年阿氏圆例题文档(带答案)已知圆C的方程为(x-2)²+y²=9，圆心C(2,0)，半径r=3。点A(5,0)，点B(0,0)，点P为圆C上的动点。求PA+(2/3)PB的最小值。分析：点B(0,0)到圆心C(2,0)的距离CB=2，小于圆的半径3，故B在圆内。根据阿氏圆性质，构造点B'使CB·CB'=r²（即2·CB'=9），解得CB'=4.5，因此B'位于C右侧，坐标为(2+4.5,0)=(6.5,0)。由相似三角形△CPB∽△B'PC，可得PB/PB'=CB/CP=2/3，即PB=(2/3)PB'。目标式PA+(2/3)PB转化为PA+PB'，其最小值为点A到B'的距离与圆半径的关系。解答：A(5,0)到B'(6.5,0)的距离为1.5。圆C在x轴上的右端点为(5,0)（即点A），当P与A重合时，PA=0，PB=√[(5-0)²+0²]=5，(2/3)PB=10/3，此时PA+(2/3)PB=10/3。但更优解为P在A、B'连线上且位于圆上时，因圆右端点恰为A，故最小值为1.5（验证：P=A时PA=0，PB'=6.5-5=1.5，和为1.5）。最终最小值为3/2。已知圆C的方程为(x-3)²+(y-4)²=25，圆心C(3,4)，半径r=5。点A(0,0)，点B(6,8)，点P为圆C上的动点。求PA+(1/2)PB的最小值。分析：点B(6,8)到圆心C(3,4)的距离CB=5，等于圆半径，故B在圆上。PB的取值范围为0到10。目标式PA+(1/2)PB中，当P与A重合时，PA=0，PB=√[(0-6)²+(0-8)²]=10，(1/2)PB=5，和为5。验证A是否在圆上：(0-3)²+(0-4)²=9+16=25，符合圆方程，故P=A时成立。解答：当P=A(0,0)时，PA=0，PB=10，(1/2)PB=5，和为5，此为最小值。已知圆C：x²+(y-2)²=4，圆心C(0,2)，半径r=2。点A(2,2)，点B(-2,2)，点P为圆C上的动点，求PA+√2PB的最小值。分析：A、B均在圆上（CA=CB=2=r）。当P=B(-2,2)时，PA=√[(-2-2)²+0]=4，PB=0，目标式=4+0=4。验证P=B在圆上，符合条件。解答：当P=B(-2,2)时，PA=4，PB=0，和为4，此为最小值。已知圆C：(x-1)²+(y-1)²=2，圆心C(1,1)，半径r=√2。点A(0,0)，点B(2,2)，点P为圆C上的动点，求△PAB面积的最大值。分析：△PAB面积=1/2×|AB|×h，其中h为P到直线AB的距离。直线AB方程为y=x，h=|x-y|/√2。圆C参数方程为x=1+√2cosθ，y=1+√2sinθ，代入得h=|cosθ-sinθ|=√2|cos(θ+45°)|，最大值为√2。|AB|=2√2，故面积最大值=1/2×2√2×√2=2。解答：面积最大值为2。已知圆C：x²+y²=4，点A(1,0)，点B(3,0)，是否存在点P在圆C上，使得PA²+2PB²=20？分析：设P(x,y)，满足x²+y²=4。PA²=(x-1)²+y²=5-2x，PB²=(x-3)²+y²=13-6x。代入得PA²+2PB²=31-14x=20，解得x=11/14。代入圆方程得y²=663/196，存在实数解。解答：存在点P(11/14,√663/14)和(11/14,-√663/14)。已知圆C：(x+1)²+(y-3)²=9，圆心C(-1,3)，半径r=3。点M(2,3)，点N(-4,3)，点Q为圆C上的动点，求2MQ+NQ的最小值。分析：点M(2,3)到圆心C(-1,3)的距离CM=3，等于半径，故M在圆上。构造点M'使CM·CM'=r²（即3·CM'=9），得CM'=3，M'位于C左侧，坐标为(-1-3,3)=(-4,3)，即N点。由相似关系，MQ/M'Q=CM/CP=3/3=1，故MQ=M'Q=NQ，目标式2MQ+NQ=3NQ。NQ的最小值为CN-r=√[(-4+1)²+(3-3)²]-3=3-3=0（当Q=N时），但N(-4,3)在圆上吗？代入圆方程：(-4+1)²+(3-3)²=9，符合，故Q=N时，NQ=0，MQ=√[(-4-2)²+0]=6，目标式=2×6+0=12。解答：最小值为12。已知圆O：x²+y²=16，点E(4,0)，点F(0,3)，点G为圆O上的动点，求GE+(4/5)GF的最小值。分析：点F(0,3)到圆心O(0,0)的距离OF=3，半径r=4。构造点F'使OF·OF'=r²（即3·OF'=16），得OF'=16/3，F'坐标为(0,16/3)。由相似△OGF∽△F'GO，GF/G'F=OF/OG=3/4，故(4/5)GF=(4/5)×(4/3)GF'=16/15GF'（需调整系数）。更直接的方法：GE=√[(x-4)²+y²]，GF=√[x²+(y-3)²]，目标式=√[(x-4)²+y²]+(4/5)√[x²+(y-3)²]。利用参数方程x=4cosθ，y=4sinθ，代入得GE=√[16cos²θ-32cosθ+16+16sin²θ]=√[32-32cosθ]=4√2(1-cosθ)，GF=√[16cos²θ+16sin²θ-24sinθ+9]=√[25-24sinθ]，