2025年请帮忙出几道奥数题(带答案)

2025年请帮忙出几道奥数题(带答案)科技节筹备组将480个电子元件和360个小零件分配给若干个科技小组，要求每个小组分到的电子元件数量相同，小零件数量也相同，且每个小组分到的电子元件比小零件多5个。问最多有多少个小组？每个小组分到多少个电子元件和小零件？解答：设共有d个小组，每个小组分到电子元件x个，小零件y个，根据题意有x=y+5。由于电子元件总数为480，小零件总数为360，因此有d·x=480，d·y=360。将x=y+5代入第一个方程，得d(y+5)=480，即d·y+5d=480。又d·y=360，因此360+5d=480，解得5d=120，d=24。此时x=480÷24=20，y=360÷24=15，且20-15=5，符合条件。由于d需要同时是480和360的约数，而480和360的最大公约数是120，但通过方程得出d=24是满足条件的最大可能值（若d>24，如d=30，则x=16，y=12，16-12=4≠5，不符合；d=40，x=12，y=9，差3，也不符合），因此最多有24个小组，每个小组分到20个电子元件和15个小零件。学校有一个圆形喷水池，测得其周长为62.8米。为美化环境，计划在喷水池周围修建一条宽2米的环形步道。已知步道外边缘每隔3.14米安装一盏景观灯，问需要安装多少盏景观灯？步道的面积是多少平方米？（π取3.14）解答：首先求喷水池的半径。圆的周长公式为C=2πr，已知周长62.8米，因此r=C÷(2π)=62.8÷(2×3.14)=10米。环形步道的外边缘半径R=喷水池半径+步道宽度=10+2=12米。外边缘的周长为C'=2πR=2×3.14×12=75.36米。每隔3.14米安装一盏灯，因此需要的灯数为75.36÷3.14=24盏（由于周长是3.14的整数倍，首尾相连，无需额外加1）。步道的面积为外圆面积减去内圆面积，即S=πR²-πr²=π(R²-r²)=3.14×(12²-10²)=3.14×(144-100)=3.14×44=138.16平方米。某音乐社团有20名成员，其中包括主唱和副主唱各1人。现需从中选出5人参加市级演出，要求主唱和副主唱中至少有1人被选中。问共有多少种不同的选法？解答：解决此类“至少”问题，通常用总选法数减去不满足条件的选法数。总选法数为从20人中选5人的组合数，即C(20,5)。不满足条件的选法是主唱和副主唱都不被选中，即从剩下的18人中选5人，组合数为C(18,5)。计算得：C(20,5)=20×19×18×17×16÷(5×4×3×2×1)=15504；C(18,5)=18×17×16×15×14÷(5×4×3×2×1)=8568。因此符合条件的选法数为15504-8568=6936种。甲、乙两辆新能源汽车同时从A、B两地出发相向而行，甲车的速度是乙车的1.5倍。两车相遇后，甲车继续行驶到B地用了2小时，问乙车继续行驶到A地需要多少小时？解答：设乙车的速度为v（单位：千米/小时），则甲车速度为1.5v。设两车相遇时行驶了t小时，相遇时甲车行驶的路程为1.5v×t，乙车行驶的路程为v×t，A、B两地总路程为1.5v×t+v×t=2.5v×t。相遇后，甲车需要行驶乙车相遇前行驶的路程v×t才能到达B地，已知甲车用时2小时，因此有v×t=1.5v×2（路程=速度×时间），两边v约去，得t=3小时。相遇后，乙车需要行驶甲车相遇前行驶的路程1.5v×t才能到达A地，乙车速度为v，因此所需时间为(1.5v×t)÷v=1.5t=1.5×3=4.5小时。一个三位数，各位数字之和为18，能被11整除，若将其个位数字与百位数字交换位置，得到的新数比原数大99。求原数。解答：设原数为abc（a为百位，b为十位，c为个位），则原数数值为100a+10b+c，交换后的新数为cba，数值为100c+10b+a。根据题意，cba-abc=99，即(100c+10b+a)-(100a+10b+c)=99，化简得99(c-a)=99，因此c-a=1，即c=a+1。各位数字之和为a+b+c=18，代入c=a+1，得a+b+(a+1)=18，即2a+b=17，因此b=17-2a。能被11整除的三位数满足：奇数位数字之和减去偶数位数字之和的差是11的倍数（包括0）。对于三位数abc，奇数位为百位和个位（a和c），偶数位为十位（b），因此(a+c)-b=0或±11。代入c=a+1和b=17-2a，得(a+a+1)-(17-2a)=4a-16。当4a-16=0时，a=4，此时b=17-2×4=9，c=4+1=5，原数为495。验证：4+9+5=18，495÷11=45（整除），交换后新数为594，594-495=99，符合所有条件，因此原数为495。一个长方形，若长增加3厘米，宽减少1厘米，面积保持不变；若长减少2厘米，宽增加4厘米，面积也保持不变。求原长方形的长和宽。解答：设原长方形长为x厘米，宽为y厘米，面积为xy。根据题意，长增加3厘米，宽减少1厘米后面积不变，即(x+3)(y-1)=xy，展开得xy-x+3y-3=xy，化简得-x+3y=3→x=3y-3。又长减少2厘米，宽增加4厘米后面积不变，即(x-2)(y+4)=xy，展开得xy+4x-2y-8=xy，化简得4x-2y=8→2x-y=4。将x=3y-3代入2x-y=4，得2(3y-3)-y=4→6y-6-y=4→5y=10→y=2，代入x=3×2-3=3。因此原长方形长为3厘米，宽为2厘米。验证：原面积3×2=6；长增3宽减1后(6)(1)=6，正确；长减2宽增4后(1)(6)=6，正确。现有浓度为20%的盐水300克，浓度为50%的盐水200克。将两者混合后，再加入多少克水可以得到浓度为25%的盐水？解答：混合前，20%的盐水中含盐300×20%=60克，50%的盐水中含盐200×50%=100克，总含盐量60+100=160克，总质量300+200=500克。设加入x克水后浓度为25%，则总质量为500+x克，含盐量仍为160克，因此有160÷(500+x)=25%，即160=0.25×(500+x)，解得500+x=640，x=140克。因此需要加入140克水。已知一个等差数列的第3项为10，第7项为26，求该数列的第15项是多少？解答：等差数列通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，其中a_1为首项，d为公差。已知