福建省永安一中2026届数学高一上期末学业水平测试试题含解析

福建省永安一中2026届数学高一上期末学业水平测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设集合，则A. B.C. D.2．函数的单调递增区间为（）A. B.C. D.3．已知方程的两根为与，则（）A.1 B.2C.4 D.64．设，则下列不等式中不成立的是（）A. B.C. D.5．已知函数对任意都有，则等于A.2或0 B.-2或0C.0 D.-2或26．若则一定有A. B.C. D.7．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1：3，这截面把圆锥母线分成的两段的比是（

）A.1：3 B.1：（）C.1：9 D.8．化简：A.1 B.C. D.29．对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.10．一个袋中有个红球和个白球，现从袋中任取出球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设函数，则____________12．已知，，，则，，的大小关系是______．（用“”连接）13．已知一等腰三角形的周长为12，则将该三角形的底边长y（单位：）表示为腰长x（单位：）的函数解析式为___________.（请注明函数的定义域）14．若函数在上单调递增，则a的取值范围为______15．若直线经过点，且与斜率为的直线垂直，则直线的方程为__________16．函数(a>0且a≠1)的图象恒过点定，若角终边经过点，则___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数.（1）证明为奇函数；（2）若在上为单调函数，当时，关于的方程：在区间上有唯一实数解，求的取值范围.18．已知集合.（1）当时.求;（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.19．已知为定义在上的奇函数，当时，函数解析式为.（1）求的值，并求出在上的解析式；（2）求在上的最值20．已知，，且函数有奇偶性，求a，b的值21．已知图像关于轴对称（1）求的值；（2）若方程有且只有一个实根，求实数的取值范围

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】,选B.【考点】集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2、C【解析】由解出范围即可.【详解】由，可得，所以函数的单调递增区间为，故选C.3、D【解析】由一元二次方程的根与系数的关系得出两根的和与积，再凑配求解【详解】显然方程有两个实数解，由题意，，所以故选：D4、B【解析】对于A，C，D利用不等式的性质分析即可，对于B举反例即可【详解】对于A，因为，所以，所以，即，所以A成立；对于B，若，，则，，此时，所以B不成立；对于C，因为，所以，所以C成立；对于D，因为，所以，则，所以D成立，故选：B.【点睛】本题考查不等式的性质的应用，属于基础题.5、D【解析】分析：由条件可得，函数f（x）的图象关于直线x=对称，故f（）等于函数的最值，从而得出结论详解：由题意可得，函数f（x）的图象关于直线x=对称，故f（）=±2，故答案为±2点睛：本题考查了函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，是基础题目．一般函数的对称轴为a，函数的对称中心为（a,0）.6、D【解析】本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选7、B【解析】平行于底面的平面截圆锥可以得到一个小圆锥，利用它的底面与原圆锥的底面的面积之比得到相应的母线长之比，故可得截面分母线段长所成的两段长度之比.【详解】设截面圆的半径为，原圆锥的底面半径为，则，所以小圆锥与原圆锥的母线长之比为，故截面把圆锥母线段分成的两段比是.选B.【点睛】在平面几何中，如果两个三角形相似，那么它们的面积之比为相似比的平方，类似地，在立体几何中，平行于底面的平面截圆锥所得的小圆锥与原来的圆锥的底面积之比为，体积之比为（分别为小圆锥的底面半径和原圆锥的底面半径）.8、C【解析】根据二倍角公式以及两角差的余弦公式进行化简即可.【详解】原式.故选C.【点睛】这个题目考查了二倍角公式的应用，涉及两角差的余弦公式以及特殊角的三角函数值的应用属于基础题.9、C【解析】先根据不等式恒成立等价于，再根据基本不等式求出，即可求解.【详解】解：，即，即又当且仅当“”，即“”时等号成立，即，故.故选：C.10、D【解析】从袋中任取出球，然后放回袋中再取出一球，共有种方法，其中取出的两个球同色的取法有种，因此概率为选D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、2【解析】利用分段函数由里及外逐步求解函数的值即可.【详解】解：由已知，所以，故答案为：.【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力.12、【解析】结合指数函数、对数函数的知识确定正确答案.【详解】，，所以故答案为：13、【解析】根据题意得，再结合两边之和大于第三边，底边长大于得，进而得答案.【详解】解：根据题意得，由三角形两边之和大于第三边得，所以，即，又因为，解得所以该三角形的底边长y（单位：）表示为腰长x（单位：）的函数解析式为故答案为：14、【解析】根据函数的单调性得到，计算得到答案.【详解】函数在上单调递增，则故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调性，意在考查学生的计算能力.15、【解析】与斜率为的直线垂直，故得到直线斜率为又因为直线经过点，由点斜式故写出直线方程，化简为一般式：故答案为．16、【解析】利用指数函数的性质得出定点，由任意角三角函数的定义得出三角函数值，结合诱导公式代入求值即可【详解】，且故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）先求函数的定义域，再根据的关系可证明奇偶性；（2）根据单调性及奇函数性质，有，再通过换元，转化为二次函数，通过区间分类讨论可求解.【小问1详解】对任意的，，则对任意的恒成立，所以，函数的定义域为，∴，∴，故函数为奇函数；【小问2详解】∵函数为奇函数且在上的单调函数，∴由可得，其中，设，则，则.∵则，若关于的方程在上只有一个实根，则或.所以，令，其中.所以，函数在时单调递增.①若函数在内有且只有一个零点，在内无零点.则，解得；②若为函数的唯一零点，则，解得，∵，则.且当时，设函数的另一个零点为，则，可得，符合题意.综上所述，实数的取值范围是.18、（1）或.（2）【解析】（1）解一元二次不等式求集合A、B，再由集合的补、并运算求即可.（2）由充分条件知，则有，进而求的取值范围.【小问1详解】，当时，，或，∴或；【小问2详解】由是的充分条件，知：，∴，解得，∴的取值范围为.19、（1）在上的解析式为；（2）函数在[0,1]上的最大与最小值分别为0，-2.【解析】（1）根据函数的奇偶性可知，代入即可求值；（2）利用换元得出新的函数，再结合新的函数解析式求最值即可.【详解】（1）为定义在[－1,1]上的奇函数，且在处有意义，即，设，则又，所以，在上的解析式为（2）当，，∴设则当t＝1时，取最大值，最大值为1－1＝0.当t=0时，取最小值为-2.所以，函数在[0,1]上的最大与最小值分别为0，-2.20、为奇函数，，【解析】由函数奇偶性的定义列方程求解即可【详解】若为奇函数，则，所以恒成立，即，所以恒成立，所以，解得，所以当为奇函数时，，若为偶函数，则，所以恒成立，得，得，不合题意，所以不可能是偶函数，综上，为奇函数，，21、（1）；（2）或.【解析】（1）根据为偶函数，将等式化简整理即可得到的值；（2）首先将方程化简为:，进而可得，令，则关于的方程只有一个正实数根，先考虑的情形是否符合，然后针对二次方程的根的分布分该方程有一正一负根、有两个相等的正根进行讨论求解，并保证即可，最后根据各种情况讨论的结果写出的取值范围的并集即可.【详解】(1)因为为偶函数，所以即，∴∴，∴(2)依题意知: