湖南、广西湘一联盟2025-2026学年高二上学期12月月考数学检测试卷 附答案

/（湖南、广西）湘一联盟2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（Y）一、单选题1．点所在直线的斜率为（

）A． B． C． D．32．在等比数列中，，则公比（

）A．1 B．2 C．3 D．43．若空间向量与垂直，则（

）A． B． C．1 D．24．已知椭圆的焦距为，则（

）A． B．或 C． D．或5．已知直线与圆相交，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．对于数列，设甲：，对任意，，乙：为等差数列．则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知空间中，，，四点共面，则（

）A． B． C．1 D．28．已知抛物线的焦点为，点，直线交于两点，且点为的重心，则的方程为（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知直线，，，则下列选项正确的是（

）A．的倾斜角的取值范围是 B．过定点C．若，则 D．若，则10．如图，在直三棱柱中，，且为所在平面内一动点，则下列说法正确的是（

）A．若，则点的轨迹是一条直线B．若，则点的轨迹是半径为1的圆C．若，则点的轨迹是椭圆D．若点到直线和的距离相等，则点的轨迹是抛物线11．已知正项数列满足，，，其中表示不大于的最大整数，则（

）A．B．数列的前项和为C．能使，，成等差数列的正整数共有个D．数列的前项和为三、填空题12．已知平面过坐标原点，且一个法向量为，则点到的距离为.13．已知是递增的等比数列，若，，则．14．已知双曲线的左､右焦点分别为，抛物线以为焦点，与的一个交点为，若的周长为，则.四、解答题15．设为递增的等差数列，其前n项和为，已知，且.（1）求的通项公式；（2）求使成立的的最小值.16．已知圆的圆心为，且圆经过点.（1）求圆的方程；（2）若过点的直线与圆相切，求的方程.17．如图，在棱长为2的正方体中，分别为线段上的动点，且.（1）证明：平面；（2）当线段的长度最小时，求平面与平面的夹角的余弦值.18．已知数列满足．（1）求的值；（2）证明是等比数列，并求的通项公式；（3）设的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围．19．已知椭圆的长轴长为4，离心率为.（1）求椭圆的方程.（2）设分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上除上、下顶点外的一点，直线分别与椭圆交于另一点和，直线与椭圆交于另一点.（i）求面积的最大值；（ii）证明：直线过定点.

参考答案1．【答案】A【详解】点所在直线的斜率为.故选A2．【答案】B【详解】由，可得，所以.故选B3．【答案】B【详解】由题可知，解得.故选B4．【答案】D【详解】由题意可得，则，当椭圆的焦点在轴上时，则，，，解得；当椭圆的焦点在轴上时，则，，，解得.综上所述，或.故选D.5．【答案】C【详解】圆的方程可整理为：，因此圆心，半径.因为直线与圆相交，故圆心到直线的距离，得，即.故选C.6．【答案】B【详解】若，则的奇数项和偶数项分别成等差数列，不一定为等差数列，如通项公式为的数列，满足，不是等差数列；反之，若为等差数列，设其公差为，则，即符合条件，所以甲是乙的必要不充分条件.故选B7．【答案】A【详解】设原点，，即，则，，因为四点共面，所以，所以，．故选A.8．【答案】D【详解】由题可知，如下图所示：设直线的方程为，设，联立方程可得，消去得，所以，，所以，因为为的重心，所以，，解得，所以的方程为，即，检验可知，不过点，满足题意，所以的方程为.故选D.9．【答案】ABD【详解】对于A，的斜率，倾斜角的取值范围是，故A正确；对于B，易知过定点，故B正确；对于C，若，则，解得或，故C错误；对于D，由C可知，当时，，所以当时，有，解得，故D正确．故选ABD10．【答案】ABD【详解】对于A，如图，连接，当点与点不重合时，因为三棱柱为直三棱柱，所以，又，平面，所以平面，又因为平面，所以，又因为平面，所以平面平面，又因为平面平面，所以点的轨迹是过点的一条直线，故A正确；对于B，因为，所以，所以点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，故B正确；对于C，如图，以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，则，，设，因为，所以，化简得，所以点的轨迹是圆，故C错误；对于D，因为平面平面，所以，所以点到直线的距离即点到点的距离，所以点到直线的距离与点到点的距离相等，满足抛物线的定义，则点的轨迹是在平面内的一条抛物线，故D正确.故选ABD11．【答案】AC【详解】对于A，由题可知是首项为，公差为的等差数列，所以，因为为正项数列，所以，故A正确；对于B，因为，所以的前项和为，故B错误；对于C，由题意知，，因为，，成等差数列，所以，代入得，解得，因为，，所以当时，都有，所以的取值共有个，故C正确；对于D，当时，，共项当时，，共项当时，，共项当时，，共项当时，，共项当时，，共项当时，，共项当时，，共项当时，，共项当时，，共项，所以的前项和为，故D错误；故选AC.12．【答案】【详解】由题可知，在平面内，，.13．【答案】【详解】设等比数列的公比为．由等比数列的性质可知，又，所以是方程的两个根，解得或27，又是递增的等比数列，所以．所以．故．14．【答案】.【详解】设双曲线的半焦距为，，由题可知，则；如图，过点作轴的垂线，过点作的垂线，垂足为点，则为的准线，所以；由题可知，解得，所以；在中，由勾股定理可得，又，所以；所以，整理可得，解得，因为，所以，即.15．【答案】（1）（2）5【详解】（1）设数列的公差为，因为，且，所以，解得或（舍），故.（2）由（1）可得：，若，则，解得：，故的最小值为.16．【答案】（1）（2）或.【详解】（1）由题可知，即，解得，则圆心的坐标为，所以圆的半径，所以圆的方程为.（2）当的斜率不存在时，，与圆相切，符合题意.当的斜率存在时，设.因为与圆相切，所以，解得，所以的方程为，即.综上，的方程为或.17．【答案】（1）见详解（2）.【详解】（1）如图，过点作交于点，连接，则平面.在正方体中，..又.平面平面平面.平面平面，∴平面平面，平面.（2）以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，.，则，当，即分别为的中点时，的长度最小，此时.设向量为平面的应该法向量，则令，则.易知平面即平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则，∴平面与平面的夹角的余弦值为.18．【答案】（1）（2）见详解，（3）【详解】（1）因为，所以．（2）因为，所以，又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即．（3）由（2）得，①当为正奇数时，，由，得，即，因为，所以对任意的正奇数都成立，当时，有最小值1，所以．②当为正偶数时，，由，得，即，因为，所以对任意的正偶数都成立，当时，有最小值，所以，综上，可知，即实数的取值范围是．19．【答案】（1）.（2）（i）2；（ii）见详解.【详解】（1）设椭圆的半焦距为.由题可知，解得，所以椭圆的方程为.（2）（i）如图，由（1）可知.由题可知直线的斜率存在，设直线，联立直线与椭圆的方程，即，消去，可得，则，由，可得，异号，所以，当且仅当，即时