上海市长宁区天山中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学检测试卷 附答案

/2025-2026学年上海市长宁区天山中学高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面α和β平行的是(

)A.α和β都垂直于同一平面

B.α内不共线的三点到β的距离相等

C.l，m是平面α内的直线且l//β，m//β

D.l，m是两条异面直线且l//α2.已知双曲线C:x2a2A.y=±22x B.y=±3.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且AnA.2 B.3 C.4 D.54.已知函数f(x)=|log5(1−A.5个 B.6个 C.7个 D.8个二、填空题：本题共12小题，共54分。5.对于复数z=i(1−i)(i是虚数单位)6.已知log2(x−2)≤1，则x的范围为7.已知正数a，b满足ab=2，则2a+8.若二项式(x+39.已知α∈{−2,−1,−12,12,1,2,3}，若幂函数f(10.某运动员在某次男子气手枪射击比赛中12次的比赛得分数据(单位：环)为：9.6，9.9，9.2，9.4，9.9，10.1，10.2，9.7，9.6，9.3，10.0，10.4，则这组数据的第30百分位数为

.11.函数f(x)=12.已知函数y=f(x)的定义域D={1,2,3,4}，值域A={5,6,7}13.已知向量a,b满足|a|=1，|b|=2，a−14.将棱长为2的正四面体绕着它的某一条棱旋转一周所得的几何体的体积为

.15.已知函数f(x)=(x2−3x16.我校南门有条长600米，宽6米的道路(如图1所示的矩形ABCD)，路的一侧划有120个长5米，宽2.5米的停车位(如矩形AEFG)，由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校保安李师傅提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度AM=3(米)，停车位相对道路倾斜的角度∠E′A′M=三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)

已知集合A={x|xx−2>2}，B={x|0<2x−a<4}.

(1)当a=2时，求18.(本小题14分)

如图，是一个半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且AC⊥BC，P为弧A1B1上(不与A1，B1重合)的动点．

(1)证明：PA1⊥平面19.(本小题16分)

A校高一年级共有学生440名，为了解该校高一年级学生的身高情况，学校采用分层随机抽样的方法抽取88名学生，其中女生40名，男生48名，测量他们的身高.

(1)该校高一学生中男、女生各有多少名？

(2)现有学生会成员20人，其中男生12人女生8人，从中抽取5名学生，求男生比女生人数多的概率；

(3)在40名女生身高的数据中，其中一个数据记录有误，错将165cm记录为156cm，由错误数据求得这40个数据的平均数为161cm，方差为23.6875，求原始数据的平均数及方差.(平均数结果保留精确值，方差结果精确到0.01)20.(本小题18分)

设椭圆Γ:x2a2+y2=1(a>1)，Γ的离心率是短轴长的24倍，直线l交Γ于A、B两点，C是Γ上异于A、B的一点，O是坐标原点.

(1)求椭圆Γ的方程；

(2)若直线l过Γ的右焦点F，且CO=OB，CF⋅AB21.(本小题18分)

设定义域为R的函数y=f(x)，对于r>0，定义Sr={x|x2+f2(x)≤r2}.

(1)设f(x)=2x+1，求S1；

(2)设f(x)=4x2+a答案和解析1.【答案】D

【解析】解：利用排除法：对于A：如图所示

对于B：α内不共线的三点到β的距离相等，必须是α内不共线的三点在β的同侧．

对于C：l，m是α内的两条直线且l//β，m//β，l和m不是平行直线．

故选：D

2.【答案】A

【解析】解：已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点与虚轴的两个端点构成等边三角形及双曲线的对称性可得tan30∘=bc，

所以c=3b，3.【答案】D

【解析】解：由等差数列的性质和求和公式可得：

anbn=2an2bn=a1+a2n−1b14.【答案】A

【解析】解：由基本不等式可得，

x+1x−2≥0或x+1x−2≤−4；

作函数f(x)=|log5(1−x)|(x<1)−(x−2)2+2(x≥1)的图象如下，

①当a>2时，x+1x−2<−24或2425<x+1x−2<1，

故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为4；

②当a=2时，x+1x−2=−24或x+1x−2=2425或x+1x−2=2，

故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为6；

③当1<a<2时，−24<x+1x−2<−4或45<x+15.【答案】1

【解析】解：复数z=i(1−i)=1+i，则Imz=1.6.【答案】(2,4]

【解析】解：由题意可得，0<x−2≤2，

解得2<x≤4.

故答案为：(2,4].7.【答案】4

【解析】解：∵正数a，b满足ab=2，

∴2a+b≥22ab=4，

当且仅当2a=b，即a=1，b=28.【答案】54

【解析】解：令x=1，有4n=256，

解得n=4，所以展开式通项为：Tk+1=3kC4kx4−2k，

令9.【答案】−1

【解析】【分析】本题主要考查幂函数的性质，函数的奇偶性，单调性，属于基础题．

由幂函数f(x)=xα为奇函数，且在(0,+∞)【解答】

解：∵α∈{−2,−1,−12,12,1,2,3}，

幂函数f(x)=xα为奇函数，且在(0,+∞)上递减，

∴α<0，

当α是整数时，α10.【答案】9.6

【解析】解：数据从小到大排序，9.2，9.3，9.4，9.6，9.6，9.7，9.9，9.9，10.0，10.1，10.2，10.4，共12个，

12×30%=3.6，

故这组数据的第30百分位数为9.6.

故答案为：9.6.

先对数据从小到大排序，再结合百分位数的定义，即可求解．

本题主要考查百分位数的求解，属于基础题．11.【答案】[−【解析】解：∵f(x)=sinx−cos(x+π6)

=sinx−12.【答案】112【解析】解：函数y=f(x)的定义域D={1,2,3,4}，值域A={5,6,7}，

相当于把1，2，3，4分成3组，每一组对应5，6，7中的一个数，

所以对应关系一共有C42A33=36种，即这样的函数f(x)共有36个，

其中，若函数13.【答案】2【解析】解：由a−b=(3,2)，

则|a−b|=5，

即a214.【答案】2π【解析】解：如图，

正四面体ABCD的棱长为2，则△ABC为正三角形，且边长为2，

不放绕AB旋转，所得图形是共底面两圆锥的组合体，

底面圆的半径为3，一个圆锥的高为1.

则几何体的体积为V=13×π×(15.【答案】(0,5【解析】解：因为函数f(x)=(x2−3x+1)ex−a恰有三个零点，

所以(x2−3x+1)ex=a恰有三个实根，

令g(x)=(x2−3x+1)ex，

所以g′(x)=(x−2)(x+1)ex，

当x<−1或x>2时，g′(x)>0，g(x)单调递增，

当−1<x<2时，16.【答案】71

【解析】解：停车位相对道路倾斜的角度∠E′A′M=θ，A′E′=AE=52，E′F′=EF=5，

依题意，∠AE′F′=∠MA′E′=θ，AM=E′E−AE+ME′=E′F′cosθ−AE+A′E′sinθ，

则AM=5cosθ+52sinθ−52，而AM=3，于是3=5cosθ+52sinθ−52，

整理得sinθ=11−10cosθ5，又sin2θ+cos2θ=1，因此17.【答案】(1)A−∩B={x|1<【解析】解：(1)不等式xx−2>2可化为：−x+4x−2>0，

即x−4x−2<0，

等价于(x−2)(x−4)<0，

解得2<x<4，

所以集合A={x|2<x<4}，

所以A−={x|x≤2或x≥4}，

当a=2时，B={x|0<2x−2<4}={x|1<x<3}，

所以A−∩B={x|1<x≤2}，

又因为B−={x|x≤1或x≥3}，

所以A∪B18.【答案】证明：(1)在半圆柱中，BB1⊥平面PA1B1，所以BB1⊥PA.

因为A1B1是上底面对应圆的直径，

所以PA1⊥PB1.

因为PB1∩BB1=B1，PB1⊂平面PBB1，BB1⊂PBB1，

所以PA1⊥平面PBB1.

解：(2)根据题意以C为坐标原点建立空间直角坐标系C−xyz如图所示，

设CB【解析】(1)推导出BB1⊥PA，PA1⊥PB1，由此能证明PA1⊥19.【答案】(1)男生人数240人，女生人数为200人

(2)0.704

(3)23.41

【解析】解：(1)由题意可得男生所占4888=611，可得高一男生人数为：440×611=240，

女生人数为440−240=200；

(2)由题意当男生为3，4，5人时，则男生比女生多，

所以男生比女生人数多的情况为：C125+C124⋅C81+C123⋅C81=792+3960+6162=10912，

所有的情况为C205=15504，

所以男生比女生人数多的概率为1091215504≈0.704；

(3)错误数据的总和为161×40=6440cm，少记了165−156=9cm20.【答案】解：(1)因为椭圆Γ的离心率是短轴的长的24倍，

所以a2−1a=22，

即2(a2−1)=a，

又a>1，

解得a=2，

则椭圆Γ的方程为x22+y2=1；

(2)不妨设Γ的左焦点为F1，连接CF1，

因为CO=OB，

所以B，C两点关于原点O对称，

因为CF⋅AB=0，

所以CF⊥AB，

由椭圆的对称性得CF⊥CF1，

且三角形OCF1与三角形OBF全等，

所以S△CBF=S△CF1F=12|CF1|⋅|CF|，

因为|CF1|+|CF|=22|CF1|2+|CF|2=|F1F|2=4，

解得|CF1|⋅|CF【解析】(1)由题意，根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系列出等式，进而可得椭圆的方程；

(2)设Γ的左焦点为F1，连接CF1，利用向量的运算以及椭圆的定义和对称性推出|CF1|⋅|CF|=2，再代入三角形面积公式中即可求解；

(3)设出A，B，C三点的坐标，利用向量的运算得到x0=−(x1+x21.【答案】解：(1)由题设S1={x|x2+(2x+1)2≤1}，将x2+(2x+1)2≤1化简得5x2+4x≤0，

解得x∈[−45,0]，故S1=[−45,0].x(−∞,−−(−0(0,t(g-0+0-0+g↘极小值↗极大值↘极小值↗由此x=0是函数y=g(x)的极大值点，故当g(0)<0时，S1是一段闭区间，

因此a∈(−1,−18)，

特别地，当a=−1时，g(t)<0，g(0)=0，g(−t)<0，故S1仍是一段闭区间，

故a∈[−1,−18).

当a≥−18时，当且仅当x=0时，g′(x)=0.

同理，x=0是函数y=g(x)的极小值点，且取得最小值，

当g(0)<0时，S1是一段闭区间，由此得a∈(−18,1)，

综上所