专题06事件的相互独立性与条件概率全概率公式（举一反三讲义）

专题10.6事件的相互独立性与条件概率、全概率公式（举一反三讲义）【全国通用】TOC\o"13"\h\u【题型1相互独立事件的判断】 3【题型2相互独立事件的概率】 6【题型3条件概率】 7【题型4全概率公式】 9【题型5贝叶斯公式】 11【题型6条件概率与其他知识综合】 131、事件的相互独立性与条件概率、全概率公式考点要求真题统计考情分析(1)了解两个事件相互独立的含义(2)理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率2023年新高考I卷：第21题，12分2023年新高考Ⅱ卷：第12题，5分2023年全国甲卷（理数）：第6题，5分2024年新高考Ⅱ卷：第18题，17分2024年天津卷：第13题，5分2024年上海卷：第8题，5分2025年天津卷：第13题，5分2025年上海卷：第13题，5分从近几年的高考情况来看，本节是高考的重点、热点内容，主要考查相互独立事件的概率、条件概率与全概率公式等，一般以选择题或填空题的形式考查，难度不大；有时也会在解答题中作为一小问出现，与其他知识结合考查，难度中等，复习时需要加强这方面的练习.知识点1事件的相互独立性1．事件的相互独立性(1)定义对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.(2)性质若事件A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立.(3)推广两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).2．求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.知识点2条件概率与全概率公式1．条件概率(1)条件概率的定义(2)性质设P(A)>0，Ω为样本空间，则①P(B|A)∈[0,1]，P(Ω|A)=1；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)；③设B和B互为对立事件，则P(B|A)=1P(B|A).2．概率的乘法公式由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(B|A).3．全概率公式及应用(1)全概率公式(2)全概率公式的意义4．贝叶斯公式贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下：(1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(Ai)已知;(2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P(B|Ai)已知；(3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到；(4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(Ai|B).5．求条件概率的常用方法(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解.6．利用全概率公式的思路(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)；(3)代入全概率公式计算.【方法技巧与总结】1．如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).2．全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.【题型1相互独立事件的判断】【例1】（2025·上海青浦·模拟预测）一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字1，2，3，4.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间Ω={1,2,3,4}，记事件A={1,2}，事件B={1,3}，事件C={1,4}，则（

）A．事件A,B,C两两独立，事件A,B,C相互独立B．事件A,B,C两两独立，事件A,B,C不相互独立C．事件A,B,C不两两独立，事件A,B,C相互独立D．事件A,B,C不两两独立，事件A,B,C不相互独立【答案】B【解题思路】根据独立事件的定义，结合题意即可判断各选项的正误.【解答过程】由题知：P(A)=24=12P(AB)=14，P(AC)=14，因为P(AB)=14=P(A)P(B),P(AC)=所以事件A,B,C两两独立；但P(ABC)=14≠P(A)P(B)P(C)=故选：B.【变式11】（2025·湖南·模拟预测）甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为x,y，A表示事件“x>4”，B表示事件“y为奇数”，C表示事件“x+y>8”，D表示事件“x+y=7”，则相互独立的事件是（

）A．A与C B．B与C C．C与D D．B与D【答案】D【解题思路】由已知得出样本空间包含的样本点的个数为36个，求出相关事件的概率，逐一利用相互独立事件的概率乘法公式检验即得.【解答过程】由题意得：事件A:“x>4”的情况有：5,1,所以PA事件B:“y为奇数”的情况有：1,14,1,所以PB事件C:“x+y>8”的情况有：(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共10种，所以PC事件D:“x+y=7”的情况有：1,6,所以P(D)=1对于A，因PAC=736≠P对于B，因PBC=436=对于C，因事件C与D不能同时发生，则PCD对于D，PBD=336=故选：D.【变式12】（2025·上海奉贤·三模）如果A,B分别是A,B的对立事件，下列选项中不能判断件A与事件B相互独立的是（A．P(A∩B)=P(A)⋅P(B) B．P(A∩C．P(B|A)=P(A) D．P(B|A)=P(B)【答案】C【解题思路】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率公式结合相互独立事件的定义逐一判断即可.【解答过程】对于A，因为P(A∩B)=P(A)⋅P(B)，所以A,B相互独立，故A正确；对于B，因为P(A)⋅(1−P(B))=PA所以P(A∩B所以A,B相互独立，所以A,B对于C，P(B|A)=P所以P(AB)=P(A)⋅P(A)，所以无法判断A,B相互独立，故C错误；对于D，P(B|A)=P因为P(A∩B)=P(A)⋅P(B)，所以A,B相互独立，故D正确.故选：C.【变式13】（2025·广东湛江·一模）在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件M=“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件N=“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件X=“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件Y=“甲、乙两人均未选择B选项”，则（

）A．事件M与事件N相互独立 B．事件X与事件Y相互独立C．事件M与事件Y相互独立 D．事件N与事件Y相互独立【答案】C【解题思路】根据互斥、相互独立事件的乘法公式对选项一一判断即可得出答案.【解答过程】依题意甲、乙两人所选选项有如下情形：①有一个选项相同，②两个选项相同，③两个选项不相同，所以PM=C41⋅C因为事件M与事件N互斥，所以PMN=0，又所以事件M与事件N不相互独立，故A错误；PXY由PMY=C31因为事件N与事件Y互斥，所以PNY=0，又所以事件N与事件Y不相互独立，故D错误.故选：C．【题型2相互独立事件的概率】【例2】（2025·山西临汾·三模）公共汽车上有3名乘客，在沿途的4个车站随机下车，3名乘客下车互不影响，则恰有2名乘客在第4个车站下车的概率是（

）A．13 B．19 C．364【答案】D【解题思路】由题意，根据概率乘法公式，可得答案.【解答过程】由题意可得每个人在某个站下车的概率为14，则恰有两人在第4站下车的概率为3×故选：D.【变式21】（2025·湖南·三模）已知事件A，B是相互独立事件，且PA=23，PBA．112 B．12 C．512【答案】A【解题思路】根据相互独立事件的性质可知事件A，B也是相互独立事件，再由相互独立事件的概率公式计算可得.【解答过程】因为事件A，B是相互独立事件，所以事件A，B也是相互独立事件，又PA=23，PB所以PA故选：A.【变式22】（2025·广东肇庆·二模）小王数学期末考试考了90分，受到爸爸表扬的概率为12，受到妈妈表扬的概率也为12，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（A．12 B．14 C．34【答案】C【解题思路】相互独立事件的概率，采用乘法公式，正面分类复杂，求对立事件（小王不被表扬）的概率可得解.【解答过程】记小王受到爸爸表扬为事件A，小王受到妈妈表扬为事件B，小王受到表扬为事件D，小王同学受爸爸表扬和受妈妈表扬相互独立，则PD故选：C.【变式23】（2025·山东济南·模拟预测）某AI训练平台使用强化学习算法训练机器人完成迷宫任务．机器人每次训练有以下规则：若上一轮成功，本轮成功率为p；若上一轮失败，本轮成功率降为p2．已知首轮成功率为23，且前两轮都成功的概率为12A．2764 B．932 C．49【答案】B【解题思路】根据题意三轮训练中恰好成功两次的情形有3种，情形1：成功、成功、失败,情形2：成功、失败、成功，情形3：失败、成功、成功，再计算对应概率求和即可.【解答过程】求p的值：前两轮成功概率：首轮成功23，第二轮成功p，故23p=分类计算：情形1：成功、成功、失败，概率：23情形2：成功、失败、成功，第二轮失败后，第三轮成功率降为38，概率：2情形3：失败、成功、成功；1．首轮失败后，第二轮成功率降为382．第二轮成功后，第三轮成功率保持343．概率：13总概率：18故选：B.【题型3条件概率】【例3】（2025·江西·三模）从甲、乙、丙、丁、戊5人中任选3人组成展示小组，则在甲被选中的条件下，乙被选中的概率为（

）A．23 B．12 C．25【答案】B【解题思路】根据条件概率公式计算求解.【解答过程】设事件A为“甲被选中”，事件B为“乙被选中”，那么在甲被选中的条件下，乙被选中的概率为PB|A故选：B.【变式31】（2025·甘肃白银·三模）若P(A)=45,P(B∣A)=A．35 B．711 C．911【答案】C【解题思路】由题意，利用全概率公式以及条件概率的计算，可得答案.【解答过程】因为P(A)=4所以P(B)=P(A)P(B∣A)+P(A所以PA∣B故选：C.【变式32】（2025·河北·三模）除夕夜吃饺子是中华民族的传统习俗，若一盘饺子共有三种馅，其中猪肉三鲜水饺有6个，素三鲜水饺有7个，羊肉大葱水饺有7个，现从盘中夹取3个饺子，在取到的都是同种馅的条件下，取到的都是羊肉大葱水饺的概率是（

）A．718 B．7228 C．338【答案】A【解题思路】利用条件概率计算公式PB∣A【解答过程】记A=“取到都是同种馅的水饺”，B=“取到的都是羊肉大葱水饺”，则PA=C故所求概率为PB∣A故选：A.【变式33】（2025·辽宁·三模）某高中开发了三个不同的“美育”课程和两个不同的“劳动教育”课程，甲同学从五门课程中任选了两门，已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为（

）A．310 B．13 C．35【答案】B【解题思路】根据条件概率公式P(B|A)=P(AB)P(A)来求解，先分别求出P(A)（至少有一门是“美育”课程的概率）和【解答过程】设事件A：至少有一门是“美育”课程，事件AB：两门都是“美育”课程，从五门课程中任选两门的选法数为C5“至少有一门是‘美育’课程”的对立事件是“两门都是‘劳动教育’课程”.两门都是“劳动教育”课程的选法数为C2所以至少有一门是“美育”课程的选法数为10−1=9种.则P(A)=9从三个不同的“美育”课程中选两门的选法数为C32=由条件概率公式P(B|A)=P(AB)P(A)，将P(A)=9P(B|A)=3故选：B.【题型4全概率公式】【例4】（2025·广东深圳·模拟预测）近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A充电站配备2个超级快充桩和3个普通充电桩，B充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩，为优化资源配置，系统随机从A站调度1个充电桩至B站，随后技术人员从B站随机选取2个充电桩进行升级调试，记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件B，则PB=（A．625 B．1350 C．725【答案】D【解题思路】根据全概率公式求解.【解答过程】设从A站调度的充电桩为超级快充桩为事件M，从A站调度的充电桩为普通充电桩为事件N，则PM=2则PB=PM⋅PB|M+PN故选：D.【变式41】（2025·湖南湘潭·一模）跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（

）A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36【答案】A【解题思路】首先明确各年级教师人数的比例以及各年级中喜欢跑步的教师比例，然后利用全概率公式计算从三个年级中随机抽一名教师喜欢跑步的概率即可【解答过程】设事件A表示“随机抽一名教师喜欢跑步”，事件B1∵三个年级的教师人数之比为3:3:4，∴P(B∵高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%，∴P(A|B根据全概率公式P(A)=P(B故选：A.【变式42】（2025·云南红河·模拟预测）播种用的一批一等葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率为（）A．0.0005 B．0.4815 C．0.5005 D．0.4825【答案】D【解题思路】根据全概率公式求解即可.【解答过程】从这批种子中任选一颗是一，二，三，四等种子的事件分别是A1则Ω=A1设B表示“从这批种子中任选一颗，所生长出的葫芦秋结出50颗以上果实”，则P(AP(B|A则P=95.5%故选：D.【变式43】（2025·广东汕头·二模）某学校有A、B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8，则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（

）A．0.7 B．0.6 C．0.5 D．0.4【答案】A【解题思路】应用全概率公式计算求解.【解答过程】记A=“第1天去A餐厅”，A=“第1天去B餐厅”，B=“第2天去A则由全概率公式得：PB故选：A.【题型5贝叶斯公式】【例5】（2025·湖南邵阳·二模）有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为6%、5%、3%，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的30%、40%A．2147 B．2047 C．1847【答案】C【解题思路】记事件A1:取到的零件为甲车床加工的，事件A2:取到的零件为乙车床加工的，事件A3【解答过程】记事件A1:取到的零件为甲车床加工的，事件事件A3:取到的零件为丙车床加工的，事件则PBA1=6PA1=310由贝叶斯公式可得PA因此，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为1847故选：C.【变式51】（2024·江苏宿迁·一模）人工智能领域让贝叶斯公式：PAB=PBAPA．0.1% B．0.4% C．2.4%【答案】C【解题思路】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果.【解答过程】记“视频是AI合成”为事件A，记“鉴定结果为AI”为事件B，则PA由贝叶斯公式得：PA故选：C．【变式52】（2025·北京朝阳·模拟预测）现有一种检验方法，对患X疾病的人化验结果99%呈阳性，对未患X疾病的人化验结果99.9%呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区X疾病的患病率为0.0004，则这种检验方法在该地区的误诊率为（A．0.716 B．0.618 C．0.112 D．0.067【答案】A【解题思路】记事件A:检查结果呈阳性，事件B:被检查确实患X疾病，利用全概率公式求出PA的值，然后利用贝叶斯公式可求出P【解答过程】记事件A:检查结果呈阳性，事件B:被检查确实患X疾病，由题意可知，PB=0.0004，PB=0.9996，所以，PA因此，这种检验方法在该地区的误诊率为PB故选：A.【变式53】（2025·江西南昌·一模）假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（）A．37150 B．975 C．1837【答案】C【解题思路】根据题意，先分析求解设从甲中取出2个球，其中白球的个数为i个的事件为Ai，事件Ai的概率为PAi，从乙中取出2个球，其中白球的个数为2个的事件为B，事件B的概率为【解答过程】设从甲中取出2个球，其中白球的个数为i个的事件为Ai，事件Ai的概率为PAi，从乙中取出2个球，其中白球的个数为2个的事件为B，事件①PA0=②PA1=③PA2=根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为PA2故选：C.【题型6条件概率与其他知识综合】【例6】（2025·江苏镇江·模拟预测）2025年，世界首届人形机器人运动会在东京举行.顶尖机器人竞技场面震撼，刷新人类对未来体育的认知.现某高校一学生和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则如下：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利且比赛结束），已知该同学第一局获胜的概率为13，从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为12；如果上一局失败，则本局获胜的概率为(1)该同学在以2:1获得比赛胜利的条件下，求他连胜两局的概率；(2)记整场比赛该同学的获胜局数为ξ，求ξ的分布列和期望.【答案】(1)2(2)分布列答案见解析，数学期望：19【解题思路】（1）设出事件，利用条件概率的公式可得答案；（2）求出ξ的取值，分别求解对应的概率，利用期望公式可得答案.【解答过程】（1）设事件A=“该同学以2:1获得比赛胜利”，B=“该同学连胜两局”，若该同学以2:1获得比赛胜利，则三局比赛的结果为：赢输赢，输赢赢，共两种情况，所以PAPAB则PB∣A则该同学在以2:1获得比赛胜利的条件下，连胜两局获胜的概率为23（2）由题意ξ的所有取值为0,1,2.则Pξ=0Pξ=1P所以变量ξ的分布列为ξ012P157则ξ的期望为Eξ【变式61】（2025·湖南·模拟预测）近日，2025年湖南省城市足球联赛（被球迷称为“湘超”）如火如荼地进行，引发广泛关注．某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格：性别不关注赛事关注赛事男性25150女性5075(1)列出2×2列联表并根据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为关注“湘超”赛事与性别有关？(2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取3名市民参加“湘超”赛事知识问答．已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为34，1附：χ2α0.10.050.0250.010.0050.001x2.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，认为关注“湘超”赛事与性别有关(2)2【解题思路】（1）由题意可得列联表，再计算，对比临界值表即可得解；（2）根据题意，求出有且仅有2人顺利完成知识问答的概率和这2人性别不同的概率，再根据条件概率公式求解即可.【解答过程】（1）列联表如下：性别不关注赛事关注赛事合计男性25150175女性5075125合计75225300零假设为H0χ故依据小概率值α=0.001的独立性检验，推断零假设H0即认为关注“湘超”赛事与性别有关.（2）由分层抽样可知，抽取男性市民2人，女性市民1人，记“有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件A，“这2人的性别不同”为事件B，则P(A)=3P(AB)=C则P(B∣A)=P(AB)所以在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人的性别不同的概率为25【变式62】（2025·全国·模拟预测）在卡塔尔世界杯的开幕式上中国元素随处可见．从体育场建设到电力保障，从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物，……，中国制造为世界杯提供了强有力的支持．国内也再次掀起足球热潮．某地足球协会组建球队参加业余比赛．该足球队教练组对球员的使用是依据数据分析，为了调查球员乙对球队的贡献，作出如下数据统计（乙参加过的比赛均分出了胜负）：乙球队总计胜负未参加比赛30b70参加比赛c10f总计70en(1)根据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为该球队胜利与乙球员参赛有关联？(2)根据以往的数据统计，甲球员能够胜任边锋、中锋、后腰以及后卫四个位置，且出场率分别为：0.2,0.4,0.3,0.1，当出任边锋、中锋、后腰以及后卫时，球队输球的概率依次为：0.4，0.3，0.4，0.2．则：①当甲球员参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；②当甲球员参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求甲球员担任边锋的概率；③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用甲球员？附表及公式：P0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2【答案】(1)认为该球队胜利与乙球员参赛有关联；(2)①0.34；②417【解题思路】（1）应用卡方公式计算卡方值，结合独立检验的基本思想得结论；（2）①应用全概率公式求概率；②由贝叶斯公式及条件概率公式求概率；③应用贝叶斯公式及条件概率公式求概率，并比较大小，即可得结论.【解答过程】（1）依题意，b=40,c=40,e=50,f=50,n=120，零假设为H0则观测值χ2根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0即认为该球队胜利与乙球员参赛有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001；（2）①设A1表示“甲球员担当边锋”；A2表示“甲球员担当中锋”；A3表示“甲球员担当后腰”；A则P=0.2×0.4+0.4×0.3+0.3×0.4+0.1×0.2=0.34．②PA③因为PAPAPA所以PA4|B最小，因为当甲球员担任后卫时，球队输球的概率【变式63】（2025·河南·模拟预测）某商场举办购物抽奖活动，在一个不透明的袋子中放入24个大小、材质都相同的小球，小球有红和蓝两种颜色，每个小球上都画有符号“○”或“×”，不同颜色和符号的小球个数如下表所示．从袋中随机摸出一个球，记事件A为“摸出红球”，事件B为“摸出画○的球”．红球蓝球画○610画×26(1)求PA和P(2)该商场规定在一次抽奖中，每人有放回地摸两次球，每次只摸出一个球，根据两次摸出球的颜色和符号是否相同设置三种奖项，等级从高到低依次为：颜色和符号均相同为一等奖；仅颜色相同或仅符号相同为二等奖；颜色和符号均不相同为三等奖．（ⅰ）以“结果发生的可能性越小，奖项等级越高”为标准，请你判断该奖项设置是否合理；（ⅱ）若按（ⅰ）中的标准对上述三种结果重新设置奖项，并且一等奖奖励4a元，二等奖奖励2a元，三等奖奖励a元，要使一次抽奖的奖金期望值不超过340元，则a的最大值为多少？【答案】(1)PA=(2)180【解题思路】(1)由条件概率公式可直接求得答案；(2)(i)计算出颜色和符号均相同的概率、仅颜色相同或仅符号相同的概率、颜色和符号均不相同的概率，再比较大小关系即可判断；(ii)结合(i)的计算结论计算数学期望EX=17【解答过程】（1）由题意得PAPA（2）（i）在一次摸球的结果中，PAB=624=14所以两次摸球的结果中，颜色和符号均相同的概率为P1仅颜色相同或仅符号相同的概率为P2颜色和符号均不相同的概率为P3P3（ii）设一次抽奖的奖金为X元，由题意知X=4a，2a，a.按照题意，奖金越高，概率越小，结合（i），可知X的分布列为X4a2aaP7111所以EX令179a≤340，得a≤180，即一、单选题1．（2025·甘肃白银·三模）已知随机事件A,B发生的概率分别为PA=0.3，PB=0.6，若PBA．0.5 B．23 C．0.12 【答案】C【解题思路】根据条件概率公式直接计算即可.【解答过程】由P(AB)=P(BA)P(A)，可得故选：C.2．（2025·海南海口·模拟预测）小明、小刚两位同学进行射击比赛，小明击中靶心的概率为13，小刚击中靶心的概率为23，比赛规则如下：每次由一人进行射击，若击中靶心，下一轮由另一人射击，若没有击中靶心，则继续进行射击，问4轮射击中，小明在恰好射击3次的概率是（A．29 B．727 C．79【答案】D【解题思路】直接利用事件相互独立性来计算即可．【解答过程】小明、小刚两人每次击中靶心的概率分别为13，2则小明、小刚两人每次未击中靶心的概率分别为23，1根据题意，前4次中小明恰好射击3次的情况为第一次小刚击中第二、三次小明均未击中第四次小明射击，其概率为23第一次小明击中第二次小刚击中第三次小明未击中第四次甲射击，其概率为13第一次小明未击中第二次小明击中第三次小刚击中第四次小明射击，其概率为23第一、二次小明未击中第三次小明击中第四次小刚射击，其概率为23则前4次中小明恰好射击3次的概率为827故选：D．3．（2025·海南·模拟预测）小明参加一场弓箭比赛，需要连续射击三个靶子，每次射箭结果互不影响，已知他射中这三个靶子的概率分别为x，x，13，若他恰好射中两个靶子的概率是16，那么他三个靶子都没射中的概率是（A．13 B．25 C．38【答案】C【解题思路】利用事件相互独立性，互斥，根据恰好射中两个靶子的概率是16建立等式，求出x【解答过程】记小明射中三个靶子分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，且P(D)=P(E)=x，P(F)=1恰好能射中两个靶子为事件DEF,DE所以P(DE=P(D)P(E)P(=x⋅x⋅1−整理得x=14，三个靶子都没射中为事件故P(DEF故选：C．4．（2025·海南·模拟预测）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为2:3，其中甲班的女生占35，乙班中女生占25．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为（A．38 B．625 C．712【答案】D【解题思路】由题意设出事件，写出事件的概率以及条件概率，利用全概率公式，可得答案.【解答过程】记事件A1事件A2B=“居民所遇到的一位进行民意调查的同学是女生”，则Ω=A1∪A2，且由题意可知，PA1=由全概率公式可知PB即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为1225故选：D．5．（2025·河北石家庄·三模）已知随机事件A、B，B表示事件B的对立事件，PA=0.4，PBA．事件A与B一定是对立事件B．PC．PD．若事件A、B相互独立，则P【答案】D【解题思路】举例判断AB，由于不确定事件A、B的关系，故不能求解PA∪B,PAB【解答过程】对于AB，一个密封的盒子中有标号为1,2，3,4,5的5个小球从中任取1球，记事件A：从中取出球的标号为1,2，事件B：从中取出球的标号为1,2,3，则PA=0.4,PB=0.6，满足由上例可知PA∪B对于C，PAB=PAPB仅在事件A、B相互独立时才成立，而不知道事件A对于D，若事件A、B相互独立，则事件A、B也相互独立，所以PA故选：D.6．（2025·江西·模拟预测）儿童牙齿是否健康与早晚是否都刷牙有关.据调查，某幼儿园大约有60%的学生牙齿健康，大约有30%的学生早晚都刷牙，且其中早晚都刷牙的学生中约有70%A．3970 B．3170 C．2635【答案】A【解题思路】设出事件，利用全概率公式和条件概率公式进行求解.【解答过程】不是早晚都刷牙且牙齿健康的学生占60%记“该学生不是早晚都刷牙”为事件A，“该学生牙齿健康”为事件B，则P(A)=1−0.3=0.7,P(AB)=0.39，所以P(B∣A)=P(AB)故选；A.7．（2025·全国·模拟预测）已知三台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台车床加工的次品率分别为5%，2%，4%，加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数目之比为4:5:11，现任取一个零件，记事件A=“零件由第1台车床加工”，B=“零件为次品”，则P(A|B)=A．15 B．110 C．537【答案】D【解题思路】根据给定条件，利用全概率公式、条件概率公式列式求解.【解答过程】记事件Ai=“零件由第i台车床加工”，则P(A由全概率公式得：P(B)=P(=1故P(AB故选：D.8．（2025·河北保定·二模）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有n个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从甲箱中取出的球恰有i个红球”为事件Aii=0,1,2，“从乙箱中取出的球是黑球”为事件B，则PAA．与n有关的常量 B．与n有关的变量C．与n无关的定值，且为114 D．与n无关的定值，且为【答案】C【解题思路】先利用条件概率公式和全概率公式计算得PB=42【解答过程】依题意可得PA0=C3若先A0发生，则乙袋中有n个红球，5黑球，此时P若先A1发生，则乙袋中有n+1个红球，4黑球，此时P若先A2发生，则乙袋中有n+2个红球，3黑球，此时P所以PA0B=PB所以PB=PB所以PA2∣B=PA2故选：C.二、多选题9．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知A，B为随机事件，且PA=0.5，PBA．若A,B互斥，则PA∪B=0.9 B．若A,BC．若PAB=0.5，则PBA=0.3【答案】CD【解题思路】利用互斥事件的概率公式判断A；利用概率的加法公式判断B；利用对立事件和条件概率的概率公式判断C；利用独立事件的概率公式判断D.【解答过程】若A,B互斥，则PA∪B若A,B相互独立，则PAB则PA∪B若A,B相互独立，则A,B则PA若PAB=0.5则PAB=则PB故选：CD.10．（2025·河北·模拟预测）已知有甲､乙两个盒子，甲中有3个白球，2个黑球，乙中有1个白球，3个黑球．从甲中取出一个球放入乙中，再从乙中取出一个球放入甲中．记事件A=“从甲中取出的球为白球”；事件B=“从乙中取出的球为白球”；事件C=“甲中最后有3个白球”．下列说法正确的是（

）A．PB|A=2C．PA|B=3【答案】ACD【解题思路】根据题意，结合条件概率和全概率公式，逐项计算求解，即可得到答案.【解答过程】对于A中，由PB|A对于B中，由全概率公式，可得P(B)=P(A)P(B|A)+P(A对于C中，由PA|B对于D中，由P(C)=P(AB)+P(A则PA|C故选：ACD．11．（2025·贵州·模拟预测）在遵义市独竹漂表演中，选手需要完成“独立平衡”和“绕标滑行”两个项目才能完成表演（如图）.已知某选手完成“独立平衡”项目的概率为0.9；该选手完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.8；该选手未完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.4.设事件A为该选手完成“独立平衡”，事件B为该选手完成“绕标滑行”，则下列选项正确的是（

）

A．PB．A与B相互独立C．PD．P【答案】ACD【解题思路】根据题意列出PA，PBA，P【解答过程】由题意可知，PA=0.9，PBA=0.8则PBPAB=PB则PAB≠PAPBPA∪BPA故选：ACD.三、填空题12．（2025·甘肃甘南·模拟预测）乒乓球比赛现采用五局三胜制，即最多打五局，谁先赢三局谁胜．甲、乙两人进行乒乓球比赛，甲在每局比赛中获胜的概率为35，乙在每局比赛中获胜的概率为25，各局比赛结果相互独立．已知前两局比赛中，甲、乙各胜1局，则最终乙获胜的概率为【答案】44【解题思路】讨论{第3局乙负，第4，5局乙胜}、{第3局乙胜，第4局乙负，第5局乙胜}、{第3，4局乙胜}三种情况，应用独立事件乘法、互斥事件加法求概率即可.【解答过程】乙最后的胜利包含三种情况：一是第3局乙负，第4，5局乙胜，此时乙胜的概率为35×2二是第3局乙胜，第4局乙负，第5局乙胜，此时乙胜的概率为25三是第3，4局乙胜，此时乙胜的概率为2乙获胜的概率为12125故答案为：4412513．（2025·浙江宁波·一模）已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到的也是红球的概率是.【答案】1【解题思路】利用全概率公式求出第一次摸到红球的概率以及第一次和第二次都摸到红球的概率，再根据条件概率公式进行计算．【解答过程】设事件A表示“第一次摸到红球”，事件B表示“第二次摸到红球”．设事件C1表示“选择甲袋”，事件C且P(C1)=P(C2根据全概率公式，得P(A)=P(C1)P(A在甲袋中，第一次摸出红球后，还剩2个红球和3个黑球，共5个球，所以从甲袋中第一次和第二次都摸到红球的概率P(ABC在乙袋中，第一次摸出红球后，还剩1个红球和3个黑球，共4个球，所以从乙袋中第一次和第二次都摸到红球的概率P(ABC根据全概率公式，得P(AB)=P(C1)P(AB|所以，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为P(BA故答案为：1314．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望E(X)=.【答案】0.6；3.2【解题思路】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解.【解答过程】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件B，设第二次跑5圈为事件C，则PA设运动量达标为事件D，PD所以X∼B4,0.8，E故答案为：0.6；3.2.四、解答题15．（2025·上海金山·三模）有两个罐子，A罐中放有3个白球和2个黑球，B罐中放有5个白球．(1)若从A罐有放回的摸2个球，求摸到相同颜色球的概率；(2)若从A罐不放回的摸2个球，求第二次摸到白球的概率；(3)现在从两个罐子各摸一个球并交换，这样交换2次后，记A罐中黑球的个数为X，求X的分布和数学期望．【答案】(1)13(2)3(3)分布列见解析，期望为34【解题思路】（1）分两次均为白和两次均为黑讨论，再根据独立事件的乘法公式和概率加法公式即可得到答案；（2）利用全概率公式即可得到答案；（3）首先分析知X的取值为0，1，2，再分别计算对应概率值，再利用均值公式即可得到答案.【解答过程】（1）摸到相同颜色球的概率为35（2）根据全概率公式知第二次摸到白球的概率为35（3）X的取值为0，1，2，则PX=0PX=1PX=2则X的分布为  0期望为0×816．（2025·全国·模拟预测）随着郑钦文获得2024年巴黎奥运会网球女单冠军，中国各地再度掀起网球热．某小区举行“贺岁杯”网球锦标赛，甲、乙、丙、丁四位网球爱好者顺利挺进四强，四强对阵形势为：甲对丙，乙对丁，胜者进决赛，决赛胜者获冠军．已知甲胜乙、丙的概率均为23，乙胜丁的概率为35，甲胜丁的概率为(1)求甲获得冠军的概率；(2)如果甲、乙顺利挺进决赛，并且决赛采用五盘三胜制（即先赢三盘者获胜，并结束比赛），甲每盘获胜的概率为23【答案】(1)7(2)1【解题思路】（1）根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式列式计算.（2）利用独立重复试验的概率及互斥事件的概率求出条件概率.【解答过程】（1）设A=“甲胜丙”；B=“乙胜丁”；C=“甲胜乙”；D=“甲胜丁”；E=“甲获得冠军”，则P(A)=2P(E)=P(ABC+AB所以甲获得冠军的概率是715（2）记F=“决赛中甲获胜”，G=“比赛打满5盘”，甲胜包括甲“连赢三盘”、“前三盘两胜一负第四盘胜”、“前四盘两胜两负，第五盘胜”三种情况，因此P(F)=(23因此P(G|F)=P(FG)所以在决赛中甲获胜的条件下，比赛进行五盘的概率为1417．（2025·广东·模拟预测）为了研究生活习惯M与患有疾病N的关系，某疾控