2026届河北省石家庄市鹿泉一中等名校高二上数学期末达标检测模拟试题含解析

2026届河北省石家庄市鹿泉一中等名校高二上数学期末达标检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是A. B.C. D.2．的展开式中的系数是（）A.1792 B.C.448 D.3．某地政府为落实疫情防控常态化，不定时从当地780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测.把这批公务员按001到780进行编号，若054号被抽中，则下列编号也被抽中的是（）A.076 B.104C.390 D.5224．设，，则与的等比中项为（）A. B.C. D.5．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的类似问题：把150个完全相同的面包分给5个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使较大的三份面包数之和的是较小的两份之和，则最大的那份面包数为（）A.30 B.40C.50 D.606．设正方体的棱长为，则点到平面的距离是（）A. B.C. D.7．已知，则“”是“直线与平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（）A. B.3C. D.29．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生数为（）A.10 B.15C.20 D.3010．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A.(－∞，0) B.C.(0,1) D.(0，＋∞)11．点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（）A. B.C. D.12．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（）A.必要条件 B.充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数仅有一个零点，则实数的取值范围是_________.14．过点作圆的切线，则切线的方程为________15．在的展开式中，含项的系数为______（结果用数值表示）16．函数的图象在点处的切线方程为____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围18．（12分）如图，P为圆上一动点，点A坐标为，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q（1）求点Q的轨迹E的方程；（2）过点A的直线l交E于C，D两点，若△BCD内切圆的半径为，求直线l的方程.19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.点P是椭圆上的一动点，且P在第一象限.记的面积为S，当时，.（1）求椭圆E的标准方程；（2）如图，PF1，PF2的延长线分别交椭圆于点M，N，记和的面积分别为S1和S2.（i）求证：存在常数λ，使得成立；（ii）求S2-S1的最大值.20．（12分）已知椭圆的焦距为4，点在G上.（1）求椭圆G方程；（2）过椭圆G右焦点的直线l与椭圆G交于M，N两点，O为坐标原点，若，求直线l的方程.21．（12分）如图，在梯形中，，，四边形为矩形，且平面，.（1）求证：平面；（2）点在线段含端点上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.22．（10分）已知数列是公差为2的等差数列，且满足，，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】当时，，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性2、D【解析】根据二项式展开式的通项公式计算出正确答案.【详解】的展开式中，含的项为.所以的系数是.故选：D3、D【解析】根据题意，求得组数与抽中编号的对应关系，即可判断和选择.【详解】从780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测，故需要分为组，每组人，设第组抽中的编号为，设，由题可知：，故可得，故可得.当时，.故选：.4、C【解析】利用等比中项的定义可求得结果.【详解】由题意可知，与的等比中项为.故选：C.5、C【解析】根据题意得到递增等差数列中，，，从而化成基本量，进行计算，再计算出，得到答案.【详解】根据题意，设递增等差数列，首项为，公差，则所以解得所以最大项.故选：C6、D【解析】建立空间直角坐标系，根据空间向量所学点到面的距离公式求解即可.【详解】建立如下图所示空间直角坐标系，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴.因为正方体的边长为4，所以，，，，，所以，，，设平面的法向量，所以，，即，设，所以，，即，设点到平面的距离为，所以，故选：D.7、A【解析】首先由两直线平行的充要条件求出参数的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】因为直线与平行，所以，解得或，所以“”是“直线与平行”的充分不必要条件.故选：A.8、B【解析】由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可.【详解】由已知，不妨设，则，因为，所以点在以为直径的圆上，即是以P为直角顶点的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故选：B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.9、C【解析】根据抽取比例乘以即可求解.【详解】由题意可得应从高三年级抽取的学生数为，故选：C.10、B【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点则实数a的取值范围是（0，）故选B11、A【解析】动点在曲线，则找出曲线上某点的斜率与直线的斜率相等的点为距离最小的点，利用导数的几何意义即可【详解】不妨设，定义域为：对求导可得：令解得：（其中舍去）当时，，则此时该点到直线的距离为最小根据点到直线的距离公式可得：解得：故选：A12、B【解析】由题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件的定义即可判断【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场；即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据题意求出函数的导函数并且通过导数求出原函数的单调区间，进而得到原函数的极值，因为函数仅有一个零点，所以结合函数的性质可得函数的极大值小于或极小值大于，即可得到答案.【详解】解：由题意可得：函数，所以，令，则或，令，则，所以函数的单调增区间为和，减区间为所以当时函数有极大值，当时函数有极小值，，因为函数仅有一个零点，，所以或，解得或.所以实数的取值范围是故答案为：14、【解析】由已知可得点M在圆C上，则过M作圆的切线与CM所在的直线垂直，求出斜率，进而可得直线方程.【详解】由圆得到圆心C的坐标为(0,

0)，圆的半径,而所以点M在圆C上，则过M作圆的切线与CM所在的直线垂直，又，得到CM所在直线的斜率为，所以切线的斜率为，则切线方程为：即故答案为：.15、12【解析】通过二次展开式就可以得到.【详解】的展开式中含含项的系数为故答案为：1216、【解析】先求出导函数，进而根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程.【详解】由题意，，，则切线方程为：.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）先求导，由到数值求出斜率，最后根据点斜式求出方程即可；（2）采用分离常数法，转化为求新函数的值域即可.【小问1详解】时，，，则，，所以在点处的切线方程为，即【小问2详解】对任意的，恒成立，即，对任意的，令，即，则，因为，，所以当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，则，所以18、（1）（2）【解析】（1）连接，由，利用椭圆的定义求解；（2）设点，，直线的方程为，与椭圆联立，结合韦达定理，利用等面积法求解.【小问1详解】解：连接，由题意知：，，即的轨迹为椭圆，其中，，，所以椭圆的标准方程为；【小问2详解】设点，，直线的方程为，与椭圆联立，消去整理得，显然成立，故，，由椭圆定义得的周长为，则的面积，又由，得，从而得，即，整理得，解得，故，故直线的方程为.19、（1）（2）(i)存在常数，使得成立；(ii)的最大值为.【解析】(1)求点P的坐标，再利用面积和离心率，可以求出，然后就可以得到椭圆的标准方程；(2)设点的坐标和直线方程，联立方程，解出的y坐标值与P的坐标之间的关系，求以焦距为底边的三角形面积；利用均值定理当且仅当时取等号，求最大值.【小问1详解】先求第一象限P点坐标：，所以P点的坐标为，所以，所以椭圆E的方程为【小问2详解】设，易知直线和直线的坐标均不为零，因为，所以设直线的方程为，直线的方程为，由所以，因为，，所以所以同理由所以，因为，，所以所以，因为，，(i)所以所以存在常数，使得成立.(ii)，当且仅当，时取等号，所以的最大值为.20、（1）；（2）.【解析】（1）根据已知求出即得椭圆的方程；（2）设l的方程为，，，联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，根据得到，即得直线l的方程.【小问1详解】解：椭圆的焦距是4，所以焦点坐标是，.因为点在G上，所以，所以，.所以椭圆G的方程是.【小问2详解】解：显然直线l不垂直于x轴，可设l的方程为，，，将直线l的方程代入椭圆G的方程，得，则，.因为，所以，则，即，由，得，.所以，解得，即，所以直线l的方程为.21、（1）证明见解析（2）点与点重合时，二面角的余弦值为【解析】（1）先利用平面几何知识和余弦定理得到及各边长度，利用线面平行的性质和判定定理得到线面垂直，再利用线线平行得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，得到相关向量的坐标，利用平面的法向量夹角求出二面角的余弦值，再通过二次函数的最值进行求解.【小问1详解】证明：在梯形中，因为，，又因为，所以,，所以，即，解得，，所以，即.因为平面，平面，所以，而平面平面，