安徽省安庆市宿松县部分校联考2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】

/安徽省安庆市宿松县部分校联考2025−2026学年九年级上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知是关于的二次函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．若是关于的二次函数，则的值为（

）A．2 B． C．2或 D．03．已知抛物线，其中，若是方程的两根，且，则当时，的值（

）A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．与零的大小关系无法确定4．如图，线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以点A为圆心，线段AP长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（

）

A．正比例函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，正比例函数关系C．一次函数关系，二次函数关系 D．正比例函数关系，二次函数关系5．人类既能欣赏美，更能创造美，即使是五角星，也蕴含着“黄金分割”，如图，C为的黄金分割点（），则下列结论中正确的是（

）

A． B． C． D．6．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝2：3，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（）A． B． C． D．7．若，且相似比为，则等于（）A．2:3 B．3:2 C．4:9 D．9:48．在中，，，则的值为（

）A． B． C． D．29．已知，，求的度数．小明经过思考后，画出如图所示的网格并把和画在网格中，连接得到，且．由此可知，．小明这种求解体现的数学思想是（

）A．数形结合思想 B．分类思想 C．统计思想 D．方程思想10．将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则的值等于（

）A． B． C． D．二、填空题11．若函数是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第象限．12．已知反比例函数的图象在每一个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是．13．如图，在四边形中，平分，且，．当时，．14．社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为m．三、解答题15．已知抛物线的顶点在x轴上，求a的值．16．线段a、b、c，且（1）求的值；（2）如线段a、b、c满足，求的值；17．已知二次函数．（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）画出此函数的图象；（3）当时，y的取值范围为________；（4）若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，则m的取值范围为________．18．如图，抛物线的图象过点，交y轴于点．（1）求抛物线的解析式；（2）此抛物线的图象与x轴交于点A、B，连结，，求的面积．19．已知、、是的三边长，且.（1）求的值；（2）若的周长为90，求各边的长.20．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点B在线段上，且，若点P在x轴的正半轴上，连接，过点P作，点E是射线上一点，过点E作轴，垂足为点C．（1）求证：；（2）如图2，连接，若，且与相似，请直接写出点E的坐标；（3）如图3，若点C的坐标为，过点A作轴，且与的延长线交于点D，若点C关于直线的对称点正好落在线段上，连接，，求点P的坐标．21．如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．22．已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点、两点，与轴交于点．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）已知点抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标：（3）若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求的最大值．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．

答案1．【正确答案】D【分析】本题考查二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．根据二次函数的定义，可得关于的不等式，解不等式即可．【详解】解：∵是关于的二次函数，∴，∴，故选．2．【正确答案】A【分析】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数，叫做二次函数其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，（a，b，c为常数，）也叫做二次函数的一般形式．根据二次函数的定义，最高次项必须为二次且系数不为零求解即可．【详解】解：∵是关于的二次函数，∴且．解方程得或．又∵，∴．∴．故选：A．3．【正确答案】A【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象和性质，根据题意得出抛物线与x轴交点坐标为，方程的两根可看做抛物线与直线的两个交点横坐标，两交点坐标为，画出图象进行分类讨论是解题的关键．①当都在x轴正半轴时，，②当在y轴两侧时，，③当在y轴两侧时，．【详解】解：把代入抛物线，解得：，∴抛物线与x轴交点坐标为，设，则方程的两根可看做抛物线与直线的两个交点横坐标，∴两交点坐标为，①当都在x轴正半轴时，由图可知，在下方，∴，∴，不符合题意；②当在y轴两侧时，，由图可知，，∴，符合题意；∴；③当在y轴左侧时，，由图可知，，∴，不符合题意；综上：当时，，故选A．4．【正确答案】C【分析】根据题意分别列出y与t，S与t的函数关系，进而进行判断即可．【详解】解：根据题意得，，即，是一次函数；⊙A的面积为，即，是二次函数故选C5．【正确答案】D【分析】本题考查“黄金分割”，根据“黄金分割”的定义“把一条线段分割为两部分，使较大部分与整体之比等于较小部分与较大部分之比，比值为”即可求解，掌握“黄金分割”的定义是解题的关键．【详解】解：，，故A选项错误；C为的黄金分割点（），，故D选项正确；，故B，C选项错误；故选D．6．【正确答案】A【分析】依据翻折变换的性质得到DE＝CE、CF＝DF；设AD＝2k，则DB＝3k；根据相似三角形的判定与性质即可解决问题．【详解】解：设AD＝2k，则DB＝3k，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝5k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，∴∠EDA＋∠FDB＝120°，又∵∠EDA＋∠AED＝120°，∴∠FDB＝∠AED，∴△AED∽△BDF，由折叠得CE＝DE，CF＝DF，∴△AED的周长为7k，△BDF的周长为8k，∴△AED与△BDF的相似比为7：8，∴CE：CF＝DE：DF＝7：8．故选A．7．【正确答案】C【分析】因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，根据两个三角形的相似比即可求出面积比.【详解】，且相似比为，则等于4:9故选C.8．【正确答案】A【分析】本题考查了三角函数的基本定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据题意，，设，则，根据计算即可．【详解】解：构造直角三角形如下：根据题意，得，设，则，∴，故选A．9．【正确答案】A【分析】结合图形进行分析即可．【详解】正切的定义几何网格图进行分析，属于数形结合思想，故选A10．【正确答案】B【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，解题的关键是掌握以上知识点．设等腰直角的直角边为，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解．【详解】解：如图，如图，设等腰直角的直角边为，则，小正方形的边长，

∴，∴，∴，∴，如图，作的延长线于点，则，，由图（）可得，，，∴，，∴，∴，故选．11．【正确答案】一【分析】本题考查了根据二次函数的定义求参数，根据二次函数的定义，指数部分必须为2且系数不为零，解出k的值，再代入一次函数解析式，分析其图象所经过的象限．【详解】解：由题意得：且，解得：，∴一次函数为，∵，，图象经过第（二）第三和第四象限，不经过第一象限.12．【正确答案】/【分析】先根据反比例函数的图象在每一个象限内，随的增大而增大得出关于的不等式，求出的取值范围即可．【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内，随的增大而增大，∴，∴．13．【正确答案】9【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可．【详解】解：∵平分，∴，当时，，即：，∵，，∴，∴.14．【正确答案】【分析】本题考查解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数，求出的值即可．【详解】解：由题意：，∴.15．【正确答案】的值为或【分析】根据题意可得抛物线与轴只有一个交点，然后根据根的判别式求解即可．【详解】解：∵抛物线的顶点在x轴上，即抛物线与轴只有一个交点，∴，解得：或，∴的值为或．16．【正确答案】（1）；（2）3．【分析】（1）根据可得，由此即可得出答案；（2）设，从而可得，再根据可得的值，从而可得的值，然后代入计算即可得．【详解】解：（1）∵，∴，∴；（2）设，则，，，由得：，解得，所以，，，所以．17．【正确答案】（1）直线，（2）见详解（3）（4）或【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，图象法求自变量的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．（1）把抛物线解析式化为顶点式求解即可；（2）先列表，然后描点，最后连线即可；（3）由（2）得对称轴为直线，顶点坐标为；再分别算出当和时对应的函数值，再进行比较大小，即可作答．（4）根据函数图象求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线解析式为，∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为；（2）列表如下：…0……3003…函数图象如下所示：（3）解：由（1）得函数的对称轴为直线，顶点坐标为由（2）的函数图象，得出函数开口方向向上，在处有最小值，且，依题意，把代入，得；把代入，得；∵，当时，y的取值范围为．（4）解：∵点和都在此函数的图象上，由函数图象可知，当时，或．18．【正确答案】（1）（2）10【分析】本题考查了“二次函数的图象与性质”“待定系数法求二次函数解析式”，熟练掌握二次函数图象与坐标轴的交点坐标的计算方法是解题关键．（1）代入已知两点的坐标，待定系数法求解析式即可．（2）令，求出点A，B的坐标，计算得出，再用面积公式求解即可．【详解】（1）将代入抛物线解析式得，解得

∴抛物线解析式为．（2）令得，，解得，，

∴，，∴，

∵，∴，∴．19．【正确答案】（1）；（2）各边的长为：30，24，36【分析】利用已知中的比例式，用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案．【详解】解：（1）∵，∴设a=5x，b=4x，c=6x，∴，（2）∵的周长为90，∴a+b+c=90∴5x+4x+6x=90∴x=6∴各边的长为：30，24，3620．【正确答案】（1）见详解（2）点E坐标为或（3）或【分析】（1）根据同角的余角相等可证，且即可证明；（2）首先可知，，分点E在点P上方或点E在点P下方两种情况，然后再分或，分别进行计算即可；（3）设，则，由，得，再证，在中，表示出三边的长度，利用勾股定理列方程即可．【详解】（1）证明：∵，，∴，∴，，∴，∴．（2）解：如图，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴当时，以点E，P，C为顶点的三角形和相似，∴，∴，，∴，∴；当时，以点E，P，C为顶点的三角形与相似，同理可得，综上所述，满足条件的点E坐标为：或．（3）解：如图，过点作于G，延长交的延长线于F，四边形、、是矩形，∵点C坐标为，∴，设，则，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，在中，∵，∴，∴或，∴或．21．【正确答案】（1）y=﹣x2+x+2（2）当t=2时，MN有最大值4（3）D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式．（2）求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值．（3）明确D点的可能位置有三种情形，如图2所示，不要遗漏．其中D1、D2在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标．【详解】解：（1）∵分别交y轴、x轴于A、B两点，∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）．将x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2；将x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=．∴抛物线解析式为：y=﹣x2+x+2．（2）如图1，设MN交x轴于点E，则E（t，0），BE=4﹣t．∵，∴ME=BE•tan∠ABO=（4﹣t）×=2﹣t．又∵N点在抛物线上，且xN=t，∴yN=﹣t2+t+2．∴．∴当t=2时，MN有最大值4．（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．如图2，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形．（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a），由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2，从而D为（0，6）或D（0，﹣2）．（ii）当D不在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点，由D1（0，6），N（2，5）易得D1N的方程为y=x+6；由D2（0，﹣2），M（2，1）易得D2M的方程为y=x﹣2．由两方程联立解得D为（4，4）．综上所述，所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）．22．【正确答案】（1），顶点坐标为（2）P点的坐标为或（3）【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、面积问题、二次函数的最值等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键．（1