安徽省黄山市部分学校2025~2026学年上册第三次月考九年级数学试题【附解析】

/安徽省黄山市部分学校2025−2026学年上学期第三次月考九年级数学试卷一、单选题1．下列方程中，是一元二次方程的是（）．A． B． C． D．2．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（

）A． B． C． D．3．如图，点是以点为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（

）A．7 B．8 C．10 D．114．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，若，则图中阴影部分的面积为（）A． B．9 C． D．5．若点都在抛物线上，则的大小关系是（）A． B． C． D．6．如图，是上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．57．某工地有一块长方形空地，长比宽多米，施工队在这块空地的四周铺设了一条宽度为2米的硬化路面（拐弯处是直角），路面的面积恰好是平方米，设这块空地的宽为米，根据题意可列方程为（

）A． B．C． D．8．如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以、为直径作两个半圆．向直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（

）A． B． C． D．9．在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图像与二次函数的图像可能是（

）A． B．C． D．10．如图，是的外接圆，是延长线上一点，连接，且，点是中点，的延长线交于点，则下列说法错误的是（

）A． B．垂直平分C． D．直线和都是的切线二、填空题11．若抛物线与轴的公共点是，则这条抛物线的对称轴为．12．如图，在中，，则．（填“”“”或“”）13．若关于的一元二次方程的两根为，且，则的取值范围是．14．在正方形中，是其内一点，是直角三角形，，且，把绕点逆时针旋转得到，直线和直线相交于点，，．（1）的面积；（2）．三、解答题15．解方程：．16．如图，四边形内接于，是的直径，，求的度数．17．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为．(1)以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的，并写出点C1的坐标；(2)把绕点A逆时针旋转得到对应的，画出，并写出C2的坐标．18．已知关于的一元二次方程有实数根．(1)求的取值范围；(2)若该方程的两个实数根分别为，，当时，求的值．19．2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某中学初三年级共有15个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下：跑步量达标率班数7(1)从这15个班级中任意选取1个班级．①事件“该班跑步量达标率为”是______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）；②若事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，则______，______；(2)某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵．老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享，请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率．20．某电商公司以每盒34元的价格从某工厂购进一批玩具．根据往年销售数据，当售价定为50元/盒时，平均每天可售出180盒；若售价每提高5元，每天销售量就减少15盒（价格调整为5元的整数倍）．(1)若售价定为元/盒，则每天可售出盒（用含的式子表示）；(2)在（1）的条件下，若该公司销售玩具时每天支出的各项人工、场地等费用共计500元，此外每盒玩具的运输损耗成本为2元，求销售价格定为多少元/盒时，该公司每天获得利润最大，最大利润是多少？21．如图，是的直径，是的切线，为切点，于点，与交于点．(1)求证：；(2)连接与相交于点，若的半径为3，，求的长．22．如图1，在中，，点在边上，点在延长线上，且，连接，将绕点逆时针旋转，连接，直线与直线交于点．(1)如图2，求证：；(2)在图2中，连接，求证：；(3)如图3，若，，当点与点重合时，求的面积；23．在平面直角坐标系中，已知二次函数（a，b，c是常数，）．(1)若，函数图象经过点和，求函数的表达式；(2)若和在二次函数图象上，且，求m的取值范围；(3)若函数图象经过点，当时，；当时，，求a的值．

答案1．【正确答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握等号两边都是整式、只含有一个未知数且未知数的最高次数是2的方程是一元二次方程是解题关键．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【详解】解：∵一元二次方程需满足：整式方程、一个未知数、最高次数为2．∴A．含有两个未知数，不符合题意；B．含有分式，不是整式方程，不符合题意；C．是整式方程，只含一个未知数，且最高次数为2，符合题意；D．最高次数为1，不符合题意．故选C．2．【正确答案】D【分析】本题考查关于原点对称的点坐标特点，掌握相关知识是解决问题的关键．关于原点对称的点，横纵坐标均互为相反数．【详解】解：∵两点关于原点对称时，横坐标和纵坐标都变为相反数，∴点关于原点的对称点为故选：D．3．【正确答案】C【分析】本题主要考查正多边形与圆，圆周角定理，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键．如图所示，连接，根据圆周角定理得到，由此即可求解．【详解】解：如图所示，连接，∴，∴，∴该正多边形的边数为10，故选：C．4．【正确答案】A【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．先利用互余计算出，再根据旋转的性质得到，，所以，于是可判断为等腰直角三角形，然后根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：∵，∴，∵将绕点A逆时针旋转后得到，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，即图中阴影部分的面积为．故选：A．5．【正确答案】B【分析】本题考查二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．将各点横坐标代入解析式求出相应的纵坐标进行比较即可．．【详解】解：由题意：，，，∴，故．故选：B．6．【正确答案】A【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点O作，运用垂径定理，勾股定理进行列式计算，得，再结合是上的一动点，与交于点，进行分析，即可作答．【详解】解：依题意，过点O作，交于一点，连接，如图所示：∵，，∴，∴，∵是上的一动点，与交于点．∴当时，即点与点重合时，则有最小值，且为，故选：A7．【正确答案】D【分析】本题考查列方程解应用题，掌握相关知识是解决问题的关键．空地的宽为米，则长为米．铺设路面后，整个区域的宽和长各增加4米（因路面宽2米，每边增加2米），故整个区域宽为米，长为米．路面的面积等于整个区域面积减空地面积．【详解】解：∵空地的宽为米，长为米，∴空地面积平方米，∵路面宽2米，四周铺设，∴整个区域宽米，长米，∴整个区域面积平方米，∴．故选D．8．【正确答案】A【分析】设扇形的半径为r，则扇形的面积为，根据将下面的阴影正好平分两部分，且这两部分绕点C旋转后正好可以与、上方的空白部分重叠，求出阴影部分的面积为：，然后求出概率即可．【详解】解：设扇形的半径为r，则扇形的面积为，记以、为直径的两个半圆的另一个交点为，

如图，连接，，，，∵，，∴，∵点C在半圆上，∴，∴在上，，∴，∴，同理可得：，∴，∴将下面的阴影正好平分为两部分，且这两部分绕点C旋转后正好可以与、上方的空白部分重叠，∴阴影部分的面积为：，∴在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为：，故选：A．本题主要考查了求几何概率，扇形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，直径所对的圆周角为直角，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，求出阴影部分的面积．9．【正确答案】C【分析】本题主要考查一次函数、二次函数图像的性质，掌握一次函数图像与比例系数、常数项的关系，二次函数图像与二次项系数、一次项系数、常数项的关系是关键．根据一次函数图像所在象限判定的符号，从而得到二次函数图像的开口，对称轴的位置，由此即可求解．【详解】解：A、一次函数的图像经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大，则，即，∴二次函数中，，图像开口向上，对称轴直线在轴右侧，故该选项不符合题意；B、一次函数的图像经过第一、二、三象限，y随x的增大而增大，则，即，∴二次函数中，，图像开口向下，对称轴直线在轴左侧，故该选项不符合题意；C、一次函数的图像经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小，则，即，∴二次函数中，，图像开口向下，对称轴直线在轴右侧，故该选项符合题意；D、一次函数的图像经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小，则，即，∴二次函数中，，图像开口向下，对称轴直线在轴左侧，故该选项不符合题意；故选：C．10．【正确答案】C【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，切线的判定等知识，理解图示，掌握圆的基础知识是关键．根据圆周角定理可判定A选项；根据题意得到，即可判定B选项；假设正确，结合角度的关系及题意可判定C选项；根据切线的判定，角度的和差转换可判定D选项．【详解】解：点是中点，，，，垂直平分，故B正确，不符合题意；，，，，故A正确，不符合题意；，，，，，，，，都是的半径，，直线和都是的切线，故D不符合题意；假设正确，则，，，无法得证，，不正确．故选：C．11．【正确答案】直线【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，抛物线与轴的交点关于对称轴对称，因此对称轴为两交点横坐标的中点，即可求解．【详解】解：抛物线与轴的交点坐标为和，对称轴为直线．12．【正确答案】【分析】本题主要考查垂径定理，垂直平分线的性质，弦、弧的关系，合理作出辅助线是关键．如图所示，连接，作交于点，交于点，由垂径定理得到是线段的垂直平分线，由弦、弧的关系等量代换，结合三角形三边数量关系即可求解．【详解】解：如图所示，连接，作交于点，交于点，∴，且，∴是线段的垂直平分线，∴，∴，即，∵，∴，∴，在中，，即，∴，故．13．【正确答案】【分析】本题考查一元二次方程的解法，一元一次不等式（组）的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．通过因式分解一元二次方程，得到两根，再根据条件列不等式求解【详解】解：方程（），或，，（因，故）．由条件，得且，解得．故答案为．14．【正确答案】84【分析】本题主要考查正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形，勾股定理等知识，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键．根据题意可证四边形是正方形，设，在中，，结合题意得到，由三角形面积公式得到的面积；如图，过点作交的延长线于点，可证，可得，由勾股定理即可求解的值．【详解】解：（1），，由旋转可知，，，四边形是正方形，，，设，在中，，即，解得，∴，则或，则，又，，的面积；（2）由（1）可知，，，如图，过点作交的延长线于点，，，在和中，，，，∴，，；故①；②．15．【正确答案】，【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．先把方程化成一般式，再运用因式分解法求解即可．【详解】解：，，，，．16．【正确答案】【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．先根据圆内接四边形的性质可得，则可得，再根据圆周角定理求解即可得．【详解】解：∵四边形内接于，∴，∵，∴，∵是的直径，∴，∴．17．【正确答案】(1)，图见解析(2)，图见解析【分析】本题考查旋转变换作图，轴对称的性质，解题的关键是根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（1）分别作出的关于原点的对称点，然后顺次连接即可作出图形；（2）以点A为旋转中心，把逆时针旋转，即可得到．【详解】（1）解：如图；∵点C的坐标为∴点的坐标为（2）如图；∵把绕点A逆时针旋转得到对应的∴点的坐标为．18．【正确答案】(1)且(2)【分析】本题考查了一元二次方程中，根的判别式和韦达定理，解题的关键是掌握根的判别式和韦达定理的公式．（1）因为是一元二次方程，所以；有实数根，则，解出不等式，求出的取值范围即可；（2）应用韦达定理，表示出，，代入条件，求出值，同时记得检验．【详解】（1）根据题意，一元二次方程有实数根，则且，即∴且，故的取值范围是且．（2）由题意得，，，，解得，经检验，符合题意．故．19．【正确答案】(1)①随机；②5，3(2)【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．（1）①根据必然事件、随机事件和不可能事件的概念解答即可；②概率公式逆运用可得m的值，再由可得n的值；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计算．【详解】（1）解：①事件“该班跑步量达标率为”是随机事件；②∵事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，∴，∴，故①随机；②5，3；（2）解：画树状图为：共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．20．【正确答案】(1)(2)销售价格定为75元/盒时才能使公司获得最大利润，最大利润是3595元【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用．（1）根据“当售价定为50元/盒时，平均每天可售出180盒；若售价每提高5元，每天销售量就减少15盒”列代数式即可；（2）设该公司每天的利润为元，求出与的函数关系式，根据二次函数的性质结合“价格调整为5元的整数倍”作答即可．【详解】（1）解：当销售价格定为元/盒时，则每天可售出盒；故；（2）解：设该公司每天的利润为元，则，，，且价格调整为5元的整数倍，，，当时，取得最大值，最大值为3595元，答：销售价格定为75元/盒时才能使公司获得最大利润，最大利润是3595元．21．【正确答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，则，由切线的性质得，则，而，所以，则；（2）由，且，，得，求得，则，．【详解】（1）证明：连接，则，，与相切于点，，，于点，，∵，，∵，，．（2）解：的半径为3，，，且，，，解得，，．此题重点考查切线的性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．22．【正确答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）证明，得出．（2）在上截取，连接，证明，得出，，证出是等腰直角三角形，则可得出结论；（3）由等腰直角三角形的性质及勾股定理求出的长，如图，过作于，由三角形面积可得出答案；设，则，得出，则由勾股定理求出的长，由三角形面积可得出答案．【详解】（1）证明：，．即．在