黑龙江省鸡西市2025~2026学年上册八年级1月期末数学试题【附解析】

/黑龙江省鸡西市2025−2026学年上学期八年级1月期末数学试卷一、单选题1．人工智能AI改变着我们的生活．下图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．2．下列式子中是分式的是（

）A． B． C． D．3．下列作图中，点M到、两边距离相等的是（）A． B．C． D．4．如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（

）A．缩小到原来的 B．扩大倍C．不变 D．缩小到原来的5．如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（

）A．4 B．8 C．16 D．326．如图，，是过A的一条直线，且在异侧，于D，于E．若，，则的长为（

）A．2 B．3 C．5 D．87．蝴蝶颜色绚丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美．如图，蝴蝶图案关于轴对称，点的对应点为，若点的坐标为，则点的坐标为（

）A． B． C． D．8．DeepSeek公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（）A． B．C． D．x+（x-2）=1.29．如图，阴影部分是边长是a的大正方形剪去一个边长是b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法：其中能够验证平方差公式有（

）A．①②③④ B．①③ C．①④ D．①③④10．如图，在中，，，为边边上的中线，于G，交于F，过点B作的垂线交于点E．有下列结论：①；②；③G为的中点；④F为的中点；⑤．其中正确的结论有（

）个．A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．③④⑤二、填空题11．中国宝武太原钢铁集团生产的手撕钢，比纸薄，光如镜，质地还很硬，厚度仅米，是世界上最薄的不锈钢，数据“”用科学记数法表示为．12．如图，已知点在的边上，以为边作．若，，则添加条件（只需添加一个条件即可），使得．13．若分式有意义，则的取值范围是．14．因式分解：．15．如图，这是白老师在纸条上书写的一道例题，在向同学们展示时，不小心将纸条的左侧撕掉了一部分，则撕掉部分中▲的内容为．16．若，则的值为．17．如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF=6，CF=2，则AC=．18．如图①，我们知道，光线射向一个平面镜被反射后，两条光线与平面镜的夹角相等（∠1=∠2）．如图②，光线照射到平面镜甲上，会反射到平面镜乙，然后光线又会射到平面镜甲上，…．若∠α=55°，∠γ=75°，则∠β=°．19．如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点从点出发在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在、运动到某处时，有与全等，则此时的长度为．20．如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，…均为等边三角形，若，则的边长为．三、解答题21．计算：（1）；（2）．22．先化简．再求值：，其中．23．如图，的三个顶点的坐标分别为，，．

（1）在图中，请画出与关于轴对称的；（2）直接写出点的坐标；（3）求作轴上一点，使得最短．24．大家约定：关于的代数式，，若不论为何值，都有（m为常数），则称代数式，互为“差值代数式”，m为“差值”例如：，，因为，所以，互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题．（1）判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”．①与（______）；②与（______）．（2）已知关于的整式，，若，互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值．25．（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，BC、DE分别是底边．求证：；（2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接．请直接写出线段、、之间的数量关系______．26．某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，相关信息如下表：单枪充电桩花费：50000元单价：x元/个双枪充电桩花费：45000元单价：元/个（1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价；（2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量．27．如图，已知在中，，，，为的平分线，是边上一动点（点不与，重合），连接，过点作于点，交射线于点．（1）当点在点的左侧运动时，求证：；（2）若，，则的长为______．

答案1．【正确答案】B【分析】本题考查了轴对称图形的定义与判别．根据轴对称图形的定义逐一分析每个选项即可得出答案．【详解】解：A项：该图形存在一条直线，沿着该条直线对折后，两侧图形能完全重合，是轴对称图形，故A正确；B项：该图形不存在直线能沿着直线对折后两侧图形完全重合，不是轴对称图形，故B错误；C项：该图形存在一条直线，沿着该条直线对折后，两侧图形能完全重合，是轴对称图形，故C正确；D项：该图形存在一条直线，沿着该条直线对折后，两侧图形能完全重合，是轴对称图形，故D正确．故选B．2．【正确答案】D【分析】此题考查了分式的定义．根据分式的定义，分母中必须含有字母的式子才是分式．分析各选项分母是否含有字母即可得到答案．【详解】解：∵分式的定义要求分母中含有字母，选项A：分母是数字，不含字母，∴不是分式.选项B：分母π是常数，不含字母，∴不是分式.选项C：分母3是数字，不含字母，∴不是分式.选项D：分母中含有字母a，∴是分式.故选D.3．【正确答案】C【分析】本题考查了角平分线的性质，作角平分线和垂线，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．由角平分线的性质可得点M在的角平分线上，再根据角平分线的作法判断即可．【详解】解：点M到、两边距离相等，点M在的角平分线上，由作法可知，选项C中为的角平分线，选项A、B、D均为作垂线，故选C．4．【正确答案】A【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键．先把分式中的和都扩大倍，化简之后与原分式比较即可解答．【详解】解：如果把分式中的和都扩大倍可得：，那么分式的值缩小到原来的，故选A．5．【正确答案】C【分析】本题考查了三角形的面积的求法，关键是找出三角形面积之间的关系．根据三角形的面积公式得到，三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，据此解答即可．【详解】解：∵是中点，∴，∵是中点，∴，，∴，∴，故选C．6．【正确答案】B【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，然后证明，得到，最后利用得出答案．【详解】解：∵于D，于E，∴，∵，，，，，，∵，，∴，故选B．7．【正确答案】B【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的性质，关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于轴对称的两个点的横坐标不变，纵坐标互为相反数．【详解】解：点与点关于轴对称，点与点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，点的坐标为，点的坐标为．故选B．8．【正确答案】C【分析】本题考查分式方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键．设单独处理需要x小时，则单独处理数据的时间小时，根据两模型合作1.2小时完成，可得出方程．【详解】解：依题意得，故选C．9．【正确答案】A【分析】分别计算每幅图中两个图形的面积，即可判断．【详解】解：图①，左边图形的阴影部分的面积＝a2－b2，右边图形阴影部分的面积＝（a＋b）（a－b），∴a2－b2＝（a＋b）（a－b），故①可以验证平方差公式；图②，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积＝a2－b2，右边图形阴影部分的面积＝（a＋b）（a－b），∴a2－b2＝（a＋b）（a－b），故②可以验证平方差公式；图③，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积＝a2－b2，右边图形阴影部分的面积＝（2a＋2b）（a－b）＝（a＋b）（a－b），∴a2－b2＝（a＋b）（a－b），故③可以验证平方差公式；图④，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积＝a2－b2，右边图形阴影部分的面积＝（a＋b）（a－b），∴a2－b2＝（a＋b）（a－b），故④可以验证平方差公式．∴正确的有①②③④．故选A．10．【正确答案】C【分析】①由条件可知，可得，再结合条件即可证明；②⑤，结合条件可证明，则有，，可得；③假设G为的中点，先证明，可得，即可证明，进而可得，此与相矛盾，④可得根据直角三角形的斜边大于直角边可得，结合，可知F不可能为中点．即可作答．【详解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，故①正确；又∵D为中点，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，故②正确；假设G为的中点，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，此与相矛盾，故假设错误，即G不是的中点，故③错误，在中，，∵，∴，∴F不是的中点，故④不正确；又∵，∴，而，∴，故⑤正确；故正确的有：①②⑤故选C11．【正确答案】【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．【详解】用科学记数法表示为.12．【正确答案】（或或）【分析】本题考查全等三角形的判定．先由角的和差性质证得，结合三角形五种判定方法即可判断．【详解】解：∵，∴，即，又，当添加，则，当添加，同理可得出，当添加，∵（对顶角相等）∴，∴.13．【正确答案】【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的定义是解题的关键．根据分式有意义的条件，分母不为零，即，运算求解即可．【详解】由题意，分母，解得.14．【正确答案】【分析】本题考查了平方差公式的因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．直接应用平方差公式进行因式分解即可．【详解】解.15．【正确答案】【分析】本题主要考查分式的混合运算，原等式两边除以再加上1即可得出撕掉部分中▲的内容．【详解】解：．16．【正确答案】【分析】本题考查已知式子的值，求代数式的值．将转化为，整体代入计算即可．【详解】解：∵，∴．17．【正确答案】8【分析】根据垂直平分线的性质可得AF=BF=6，然后根据已知条件即可求出结论．【详解】解：∵EF是AB的垂直平分线，BF＝6，∴AF=BF=6∵CF＝2，∴AC=AF＋CF=8．18．【正确答案】65【分析】根据两条光线与平面镜的夹角相等及三角形内角和即可求得∠ABC，进而可求得答案．【详解】解：如图所示：由题意得：∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-∠α-∠γ=50°，∴.19．【正确答案】或【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键．根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可．【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动，∴点从的时间为，∵它们运动的时间为，∴，，则，当时，∴，∴，解得：，∴；当时，∴，∴，解得：，∴；综上所述，的长度为或.20．【正确答案】【分析】本题考查了等边三角形的性质以及30度角的直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出…进而得出答案．【详解】解：如图所示：∵是等边三角形，∴，∴，，∴，又∵，，∵，，∴，∵是等边三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，，，以此类推：．21．【正确答案】（1）（2）【分析】本题考查幂的运算，整式的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．（1）先进行幂的乘方运算，再合并同类项即可；（2）利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．22．【正确答案】，【分析】本题考查了分式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂，先计算括号里分式的减法，再将除法转化为乘法，计算分式的乘法，然后再算分式的减法，通过零指数幂，负整数指数幂求出的值，再代入求解即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．【详解】解：，，∵．∴原式．23．【正确答案】（1）见详解（2）（3）见详解【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；（2）根据对称性质即可得到坐标；（3）作点C关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接，此时最短．【详解】（1）如图所示，为所求三角形，（2）∵点B和关于y轴对称，∴（3）如图所示，点P为所求点

24．【正确答案】（1）①√；②×（2）或或或【分析】本题主要考查了整式的加减运算，分式的混合运算，利用平方根解方程，绝对值方程等知识点，正确理解“差值代数式”是解决此题的关键．（1）根据定义解答即可得解；（2）先由定义得出或，解方程即可得解．【详解】（1）解：①，∴当时，与互为“差值代数式”，“差值”为1.②，∴与不是“差值代数式”.（2）解：∵关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，∴，∴或，当时，即，∴或；当时，即，∴或；综上所述，或或或．25．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（1）根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出．（2）首先根据和均为等腰直角三角形，可得，，，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，根据，，，可得，所以，据此判断出即可．【详解】解：（1）证明：，，即，在和中，，，．（2）和均为等腰直角三角形，，，，，，即，，在和中，，，，，，，，，．26．【正确答案】（1）单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个（2）小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键．（1）根据表格信息以