高三数学（文）二轮复习冲刺提分作业第一篇专题突破专题二函数与导数刺第3讲导数及其应用第2课时导数的综合应用

第2课时导数的综合应用A组基础题组时间:30分钟分值:45分1.设函数f(x)=ex(2x1)ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是()A.-32e,1 B.-32e2.(2017安徽皖南八校联考)已知x∈(0,2),若关于x的不等式xex<A.[0,e+1) B.[0,2e1) C.[0,e) D.[0,e1)3.(2017甘肃兰州模拟)设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),∀x∈R,f(x)+f(x)=x2,在(0,+∞)上,f'(x)x<0,若f(4m)f(m)≥84m,则实数m的取值范围是.

4.(2017河北唐山模拟)已知函数f(x)=1-2lnxx2,若对任意的x1,x2∈0,1e,且x1≠x5.(2017江西南昌十校第二次模拟)已知函数f(x)=(x2x5)·ex,g(x)=tx2+ex4e2(t∈R)(其中e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的单调区间与极值;(2)是否存在t<0,对任意的x1∈R,任意的x2∈(0,+∞),都有f(x1)>g(x2)?若存在,求出t的取值范围;若不存在,请说明理由.6.(2017课标全国Ⅲ,21,12分)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a<0时,证明f(x)≤34B组提升题组时间:20分钟分值:25分1.已知函数f(x)=1-(1)求a的取值范围;(2)若b>0,试证明1a+b<lna2.(2017甘肃张掖模拟)设函数f(x)=x2(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间和极值;(3)若函数f(x)在区间(1,e2]内恰有两个零点,试求a的取值范围.

答案精解精析A组基础题组1.D解法一:由题意可知存在唯一的整数x0,使得ex0(2x01)<ax0a,设g(x)=ex(2x1),h(x)=axa,由g'(x)=ex(2x+1),可知g(x)在-∞,-12上单调递减,在-12,解法二:由f(x0)<0,即ex0(2x01)a(x01)<0得ex0(2x当x0=1时,得e<0,显然不成立,所以x0≠1.若x0>1,则a>ex令g(x)=ex(2x当x∈1,当x∈32要满足题意,则x0=2,此时需满足g(2)<a≤g(3),得3e2<a≤52e3,与a<1矛盾,所以x0因为x0<1,所以a<ex易知,当x∈(∞,0)时,g'(x)>0,g(x)为增函数,当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)为减函数,要满足题意,则x0=0,此时需满足g(1)≤a<g(0),得32e2.D依题意,知k+2xx2>0,即k>x22x对任意x∈(0,2)恒成立,从而k≥0,所以由xex<1k+2x-x2可得k<exx+x令f'(x)=0,得x=1,当x∈(1,2)时,f'(x)>0,函数f(x)在(1,2)上单调递增,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,函数f(x)在(0,1)上单调递减,所以k<f(x)min=f(1)=e1,故实数k的取值范围是[0,e1).3.答案[2,+∞)解析令g(x)=f(x)12x2,则g(x)+g(x)=f(x)12x2+f(x)12x2=0,∴函数g(x)为奇函数.当x∈(0,+∞)时,g'(x)=f'(x)x<0,∴函数g(x)在(0,+∞)上是减函数,故函数g(x)在(∞,0)上也是减函数.由f(0)=0,可得g(x)在R上是减函数,∴f(4m)f(m)=g(4m)+12(4m)2g(m)4.答案(∞,4]解析由对任意的x1,x2∈0,1e,且x1≠x2,f(x1)-f(x2)x12-x225.解析(1)∵f(x)=(x2x5)ex,∴f'(x)=(2x1)ex+(x2x5)ex=(x2+x6)ex=(x+3)(x2)ex.当x<3或x>2时,f'(x)>0,即函数f(x)单调递增.当3<x<2时,f'(x)<0,即函数f(x)单调递减.∴函数f(x)的单调递增区间为(∞,3)和(2,+∞),单调递减区间为(3,2).故当x=3时,函数f(x)取得极大值,即f(x)极大值=f(3)=7e3.当x=2时,函数f(x)取得极小值,即f(x)极小值=f(2)=3e2.(2)存在.由题意,只需f(x)min>g(x)max.由(1)可得当x趋近于∞时,f(x)趋近于0,∴f(x)min=f(2)=3e2,∵g(x)=tx2+ex4e2=tx+e2t∴g(x)max=g-e2t=e故3e2>e24t4e2,即1>1∴存在负数t∈-∞,-16.解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x+2ax+2a+1=(若a≥0,则当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)单调递增.若a<0,则当x∈0,-当x∈-1故f(x)在0,-12(2)证明:由(1)知,当a<0时,f(x)在x=12a取得最大值,最大值为f-12a所以f(x)≤34a2等价于ln-12a114a设g(x)=lnxx+1,则g'(x)=1x当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0.所以g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.所以当x>0时,g(x)≤0.从而当a<0时,ln-12a+1B组提升题组1.解析(1)f'(x)=1ax2+1因为f'(x)≥0,且a>0,所以ax1≥0,即x≥1a,因为x∈(1,+∞),所以1(2)证明:因为b>0,a≥1,所以a+bb>1,又f(x)=1-xax+lnx在(1,+∞)上是增函数,所以f化简得1a+blna+bb<ab等价于lna+令g(x)=ln(1+x)x(x∈(0,+∞)),则g'(x)=11+x1=所以gab=ln1+abab综上,1a+b<lna2.解析(1)当a=1时,f(x)=x22lnx,则f'(x)=x所以f'(1)=0,又f(1)=12所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y12=0×(x1),即y=1(2)由f(x)=x22alnx,得f'(x)=xax①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,函数既无极大值,也无极小值;②当a>0时,由f'(x)=0,得x=a或x=a(舍去).当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表:x(0,a)a(a,+∞)f'(x)0+f(x)↘a↗所以,f(x)的单调递减区间是(0,a),单调递增区间是(a,+∞);函数f(x)在x=a处取得极小值f(a)=a(综上可知,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),函数f(x)既无极大值也无极小值;当a>0时,函数f(x)的单调递减区间是(0,a),单调递增区间为(a,+∞),函数f(x)有极小值a((3)当a≤0时,由(2)知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,故函数f