2025年线性变换测试题及答案

2025年线性变换测试题及答案一、选择题（每题3分，共18分）1.设T:ℝ³→ℝ³为线性变换，满足T(1,0,0)=(1,2,3)，T(0,1,0)=(4,5,6)，T(0,0,1)=(7,8,9)。则T(2,-1,3)的结果为（）A.(2-4+21,4-5+24,6-6+27)=(19,23,27)B.(2×1+(-1)×4+3×7,2×2+(-1)×5+3×8,2×3+(-1)×6+3×9)=(2-4+21,4-5+24,6-6+27)=(19,23,27)C.(2×1+1×4+3×7,2×2+1×5+3×8,2×3+1×6+3×9)=(2+4+21,4+5+24,6+6+27)=(27,33,39)D.(1×2+4×(-1)+7×3,2×2+5×(-1)+8×3,3×2+6×(-1)+9×3)=(2-4+21,4-5+24,6-6+27)=(19,23,27)2.设T:ℝ²→ℝ²为线性变换，其在标准基下的矩阵为A=⎡12⎤，则T关于基β={(1,1),(1,-1)}的矩阵B满足（）⎣34⎦A.B=P⁻¹AP，其中P=⎡11⎤⎣1-1⎦B.B=PAP⁻¹，其中P=⎡11⎤⎣1-1⎦C.B=P⁻¹A⁻¹P，其中P=⎡11⎤⎣1-1⎦D.B=APA⁻¹，其中P=⎡11⎤⎣1-1⎦3.设T:V→V为n维线性空间V上的线性变换，若T²=T（幂等变换），则以下结论错误的是（）A.rank(T)+dim(ker(T))=nB.V=Im(T)⊕ker(T)C.T在某组基下的矩阵为对角矩阵，对角线元素全为0或1D.T的特征值只能是0或1，且几何重数等于代数重数4.设T:ℝ⁴→ℝ⁴为线性变换，其矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)²(λ+2)²，最小多项式为m(λ)=(λ-1)(λ+2)²，则T的Jordan标准型中（）A.有1个1阶Jordan块和1个2阶Jordan块对应特征值1，2个1阶Jordan块对应特征值-2B.有2个1阶Jordan块对应特征值1，1个2阶Jordan块对应特征值-2C.有1个2阶Jordan块对应特征值1，1个2阶Jordan块对应特征值-2D.有2个1阶Jordan块对应特征值1，1个1阶和1个2阶Jordan块对应特征值-25.设T:ℂ³→ℂ³为线性变换，其矩阵A满足A³=I（单位矩阵），且A≠I，则以下不可能成立的是（）A.A可对角化，特征值为1,ω,ω²（其中ω为三次单位根）B.A的最小多项式为λ³-1C.A的Jordan标准型包含2阶Jordan块D.dim(ker(A-I))=16.设V为n维线性空间，T∈L(V)，S∈L(V)，且TS=ST，则以下结论一定成立的是（）A.若T可对角化，则S可对角化B.若T有n个不同特征值，则S在T的特征向量下可对角化C.Im(T)是S的不变子空间D.ker(T)是S的不变子空间二、填空题（每题4分，共24分）7.设T:ℝ³→ℝ²为线性变换，定义为T(x,y,z)=(x+2y-z,3x-y+4z)，则T在标准基下的矩阵为________。8.设T:ℝ²→ℝ²为线性变换，满足T(1,0)=(2,3)，T(1,1)=(5,7)，则T(0,1)=________，T在标准基下的矩阵为________。9.设T:V→V为3维线性空间V上的线性变换，其矩阵A=⎡110⎤，则T的特征值为________，对应的特征向量空间维数分别为________。⎣011⎦⎣001⎦10.设T:ℝ⁴→ℝ⁴为线性变换，其核空间ker(T)的维数为2，像空间Im(T)的维数为2，则T²的像空间Im(T²)的维数最大可能为________。11.设T:V→V为n维线性空间V上的线性变换，若存在非零多项式f(λ)=λ²-3λ+2，使得f(T)=0，则T的最小多项式m(λ)的可能取值为________。12.设T:ℂ³→ℂ³为线性变换，其矩阵A的迹为5，行列式为6，且A有一个特征值为2，则A的另外两个特征值为________。三、计算题（每题12分，共48分）13.设T:ℝ³→ℝ³为线性变换，定义为T(x,y,z)=(x+2y,y+3z,z)。（1）求T在标准基下的矩阵A；（2）求T的逆变换T⁻¹的表达式；（3）求T的特征值与特征向量。14.设V=ℝ[x]₂（次数≤2的实系数多项式空间），定义线性变换T(f(x))=f'(x)+f(0)x，其中f'(x)为f(x)的导数。（1）取基β={1,x,x²}，求T在β下的矩阵B；（2）求ker(T)的一组基；（3）判断T是否可对角化，说明理由。15.设T:ℝ⁴→ℝ⁴为线性变换，其矩阵A=⎡2100⎤⎣0210⎦⎣0020⎦⎣0003⎦（1）求A的特征多项式与最小多项式；（2）求A的Jordan标准型J；（3）求可逆矩阵P使得P⁻¹AP=J。16.设V为4维线性空间，T∈L(V)满足T²=0（幂零变换），且rank(T)=2。（1）求T的Jordan标准型；（2）证明：存在V的一组基，使得T在该基下的矩阵为⎡0100⎤⎣0000⎦⎣0001⎦⎣0000⎦（3）求dim(ker(T))与dim(ker(T²))。四、证明题（每题10分，共20分）17.设T:V→V为n维线性空间V上的线性变换，证明：以下条件等价：（1）T可对角化；（2）V可分解为T的特征子空间的直和；（3）T的最小多项式无重根。18.设T:V→V为线性变换，W是V的T-不变子空间（即T(W)⊆W）。证明：（1）T在W上的限制T|W:W→W是线性变换；（2）若V=W⊕U，且U也是T-不变子空间，则T在V的基（由W的基和U的基组成）下的矩阵为分块对角矩阵。答案一、选择题1.D（线性变换保持线性组合，T(2,-1,3)=2T(1,0,0)-1T(0,1,0)+3T(0,0,1)，计算各分量）2.A（基变换矩阵P的列是新基向量在旧基下的坐标，线性变换在新基下的矩阵为P⁻¹AP）3.A（秩加核的维数恒等于n，与T²=T无关，正确；B正确，幂等变换的像与核直和；C正确，幂等矩阵可对角化为0-1矩阵；D正确，特征值0和1的几何重数等于代数重数）4.B（特征值1的最小多项式因子为(λ-1)，故Jordan块全为1阶；特征值-2的最小多项式因子为(λ+2)²，故有一个2阶Jordan块）5.C（若A³=I，则其极小多项式整除λ³-1=(λ-1)(λ²+λ+1)，无重根，故A可对角化，不可能有Jordan块）6.B（T有n个不同特征值时，特征向量组是基，S与T交换则S保持特征向量，故可对角化）二、填空题7.⎡12-1⎤（由T(1,0,0)=(1,3),T(0,1,0)=(2,-1),T(0,0,1)=(-1,4)构成列）⎣3-14⎦8.(3,4)；⎡23⎤（T(0,1)=T(1,1)-T(1,0)=(5-2,7-3)=(3,4)，矩阵列向量为T(1,0),(3,4)）⎣34⎦9.1（三重根）；1（特征方程(λ-1)³=0，特征向量满足(A-I)x=0，系数矩阵秩2，解空间维数1）10.2（由秩的不等式rank(T²)≤rank(T)=2，当T在Im(T)上是同构时可达2）11.(λ-1)(λ-2)或λ-1或λ-2（f(λ)=(λ-1)(λ-2)，最小多项式是其因式且根相同）12.1和3（迹=λ1+λ2+λ3=5，行列式=λ1λ2λ3=6，已知λ1=2，则λ2+λ3=3，λ2λ3=3，解得1和3）三、计算题13.（1）A=⎡120⎤（T(1,0,0)=(1,0,0),T(0,1,0)=(2,1,0),T(0,0,1)=(0,3,1)）⎣013⎦⎣001⎦（2）设T⁻¹(a,b,c)=(x,y,z)，则x+2y=a，y+3z=b，z=c。解得z=c，y=b-3c，x=a-2(b-3c)=a-2b+6c，故T⁻¹(a,b,c)=(a-2b+6c,b-3c,c)（3）特征方程det(A-λI)=(1-λ)³=0，特征值λ=1（三重）。解(A-I)x=0得x₁+2x₂=0，x₂+3x₃=0，基础解系为(6,-3,1)ᵀ，故特征向量为k(6,-3,1)（k≠0）14.（1）T(1)=0+1·x=x；T(x)=1+0·x=1；T(x²)=2x+0·x=2x。故矩阵B=⎡010⎤（列对应T(1),T(x),T(x²)的坐标）⎣102⎦⎣000⎦（2）ker(T)={f∈V|T(f)=0}。设f=ax²+bx+c，则T(f)=2ax+b+cx=(2a+c)x+b=0，故2a+c=0，b=0。基为{1-2x²}（取a=1,c=-2,b=0）（3）B的特征多项式det(B-λI)=-λ(λ²-1)=-λ(λ-1)(λ+1)，有3个不同特征值，故T可对角化15.（1）特征多项式f(λ)=(λ-2)³(λ-3)；最小多项式m(λ)=(λ-2)³(λ-3)（因Jordan块对应(λ-2)³）（2）Jordan标准型J=⎡2100⎤（前3行对应2的3阶Jordan块，第4行对应3的1阶块）⎣0210⎦⎣0020⎦⎣0003⎦（3）取P=[v1,v2,v3,v4]，其中v4是特征值3的特征向量，如(0,0,0,1)ᵀ；v1是(λ-2)³的广义特征向量，满足(A-2I)³v1=0且(A-2I)²v1≠0，取v1=(1,0,0,0)ᵀ，v2=(A-2I)v1=(1,0,0,0)ᵀ，v3=(A-2I)v2=(0,1,0,0)ᵀ（具体需验证）16.（1）4维空间，秩2，幂零指数≤2（因T²=0），故Jordan块为两个2阶块，J=⎡0100⎤⎣0000⎦⎣0001⎦⎣0000⎦（2）由Jordan标准型存在性，存在基使得矩阵为上述形式（3）dim(ker(T))=4-rank(T)=2；dim(ker(T²))=4（因T²=0）