寒假作业10 逆命题与逆定理（专项训练）（教师版）

10逆命题与逆定理（三大题型）【题型一写出命题的逆命题】............................................................................................1【题型二互逆定理】............................................................................................................5【题型三线段垂直平分线的判定】.............................................................................6【题型一写出命题的逆命题】1．写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题．【答案】两个三角形面积相等，则这两个三角形全等【详解】本题考查命题的逆命题，解题的关键是明确原命题的条件和结论，再交换条件与结论得到逆命题．确定原命题“两个全等三角形的面积相等”的条件和结论，交换原命题的条件和结论，得到逆命题．【分析】解：原命题“两个全等三角形的面积相等”中，条件是“两个三角形全等”，结论是“这两个三角形的面积相等”．根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论，得到的逆命题为：“两个三角形面积相等则这两个三角形全等”．故答案为：两个三角形面积相等，则这两个三角形全等．2．命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等”的逆命题是．【答案】如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等【分析】本题考查命题与定理，关键掌握三角形全等的判定定理及性质．将原命题的条件与结论互换即可得到其逆命题．【详解】解：∵原命题的条件是：如果两个三角形全等，结论是：那么这两个三角形的对应边相等，∴其逆命题是：如果两个三角形的对应边相等，那么两个三角形全等．故答案为：如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等．3．把命题“等边三角形三个内角都相等”的逆命题写成“如果…那么…”的形式为．【答案】如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握命题与定理的写法．一个命题由题设和结论两部分组成，一般都能写成“如果…，那么…”的形式．如果后面是条件，那么后面是结论．【详解】因为“等边三角形三个内角都相等”的逆命题为：三个内角都相等的三角形是等边三角形，则可写成如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形．故答案为：如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形．4.“如果a=b，那么a2=b2”这个命题的逆命题是【答案】如果a2=b2【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可．【详解】解：根据题意得：命题“如果a=b，那么a2=b2∴逆命题是如果a2=b当a=2，b=-2时，a2∴该命题是假命题．故答案为：如果a2=b5．命题“如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等”的逆命题是．【答案】如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形【分析】本题考查了逆命题的概念，解题的关键是掌握逆命题的构造方法，即交换原命题的题设和结论．​先明确原命题的题设是“一个四边形是平行四边形”，结论是“这个四边形的两组对边分别相等”；再交换题设和结论，即可得到原命题的逆命题．​【详解】解：原命题的题设为“一个四边形是平行四边形”，结论为“这个四边形的两组对边分别相等”．​根据逆命题的定义，交换题设和结论后，逆命题为“如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形”．​故答案为：如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形．6．命题“若a2≥0，那么a≥0”的逆命题为，此逆命题是命题（填“真”或“【答案】若a≥0，那么a2【分析】本题考查命题及逆命题，把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再根据实数的平方判断真假．熟记逆命题的概念、真假命题的判断方法是解题的关键．【详解】解：命题“若a2≥0，那么a≥0”的逆命题为“若a≥0故答案为：若a≥0，那么a7．把命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式为【答案】如果两直线平行，那么内错角相等【分析】本题主要考查了逆命题的改写，熟练掌握原命题的题设和结论的分析方法是解题的关键．先明确原命题的题设和结论．然后交换题设和结论得到逆命题．最后将逆命题改写成“如果……，那么……”的形式．【详解】解：∵原命题“内错角相等，两直线平行”的题设是“内错角相等”，结论是“两直线平行”，∵逆命题是交换原命题的题设和结论，即题设为“两直线平行”，结论为“内错角相等”，∴改写成“如果……，那么……”的形式为“如果两直线平行，那么内错角相等”，故答案为：如果两直线平行，那么内错角相等．8．命题“如果x=1，那么x2=1”的逆命题是，该逆命题是命题（填“真”或“【答案】如果x2=1，那么x=1【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．注意，判定一个命题是假命题举反例．先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据有理数的平方判断即可．【详解】解：命题“如果x=1，那么x2=1”的逆命题是如果x例如：当x=-1时，(-1)2故答案为：如果x2=1，那么9．命题“在同一个三角形中，等角对等边”的逆命题是，此逆命题是命题（填“真”或“假”）．【答案】在同一个三角形中，等边对等角真【分析】本题考查了命题，根据互逆命题的定义即可求解，掌握互逆命题的定义是解题的关键．【详解】解：“在同一个三角形中，等角对等边”的逆命题是“在同一个三角形中，等边对等角”，逆命题是真命题，故答案为：在同一个三角形中，等边对等角，真．10．写出下列命题的逆命题：(1)如果a=b，那么(2)同角的余角相等；(3)如果|a|=|b(4)等腰三角形的两个底角相等．【答案】(1)如果a2=(2)相等的两个角是同一个角的余角(3)如果a=b(4)有两个角相等的三角形是等腰三角形【分析】本题考查了逆命题的概念，熟练掌握逆命题的概念是解决本题的关键．（1）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解；（2）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解；（3）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解；（4）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解．【详解】（1）解：如果a=b，那么a2=b（2）解：同角的余角相等的逆命题为：相等的两个角是同一个角的余角；（3）解：如果|a|=|b|，那么a=（4）解：等腰三角形的两个底角相等的逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形．【题型二互逆定理】1．下列定理有逆定理的是（

）A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等C．同角的余角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等【答案】D【分析】本题主要考查了逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．分别写出各个选项的条件和结论互换的说法，然后进行判断即可．【详解】解：A、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，错误，故没有逆定理，不符合题意；B、逆命题为：如果两个三角形对应角相等，那么这两个三角形全等，错误，故没有逆定理，不符合题意；C、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，错误，故没有逆定理，不符合题意；D、逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，且是逆定理，符合题意；故选：D．2．下列定理：①等腰三角形两底角相等；②全等三角形的对应边相等；③同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】本题考查定理与逆定理，分别写出三个命题的逆命题，判断真假，即可得出结果．【详解】解：①的逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，为真命题；②的逆命题为：对应边相等的两个三角形全等，为真命题；③的逆命题为：两直线平行，同位角相等，为真命题；故三个定理都有逆定理；故选：D．3．下列三个定理中，①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应角相等；③同位角相等，两直线平行；存在逆定理的有（

）个A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本题考查的是命题与定理，把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，判断正误，得出结论．【详解】解：①有两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是等腰三角形有两个角相等，逆命题正确，存在逆定理；②全等三角形的对应角相等，逆命题是对应角相等的三角形全等，逆命题不正确，不存在逆定理；③同位角相等，两直线平行，逆命题是两直线平行，同位角相等，逆命题正确，存在逆定理；综上，存在逆定理的是①③，一共2个，故选：C．4．请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理：．【答案】内错角相等，两直线平行【分析】本题考查了逆定理，根据题意，将题设与结论交换位置即可．【详解】解：定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”，故答案为：内错角相等，两直线平行．【题型三线段垂直平分线的判定】1．如图，在△ABC中，∠B=∠C，点P，Q，R分别在边AB，BC，AC上，且PB=QC，【答案】见解析【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质以及线段的垂直平分线的判定，掌握“到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上”是解题的关键．根据全等三角形的判定定理证明△PBQ≌△QCR【详解】证明：在△PBQ和△PB∴△PBQ∴PQ∴点Q在PR的垂直平分线上．2．课本再现：前面已经证明了：“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；反过来，其逆命题：“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”成立吗？事实上，可以证明这个“线段垂直平分线”判定定理．现已经写出了已知，求证，请你完成这一定理的证明过程：已知：如图，线段AB，PA=PB，求证：点P在线段【答案】见解析【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质证明．连接点P与AB的中点O，利用SSS可证△PAO≌△PBO，根据全等三角形对应角相等可证∠POA=∠【详解】连接点P与AB的中点O，在△PAO和△PA=∴△PAO∴∠POA又∠POA∴∠POA∴PO是AB的垂直平分线，∴点P在线段AB的垂直平分线上．3．如图，△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于G(1)AD∥(2)点A在EF的垂直平分线上．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的判定，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．（1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得AD⊥（2）先利用等腰三角形的三线合一性质可得∠CAD=∠BAD，再利用平行线的性质可得∠F=∠【详解】（1）解：∵AB=AC，D为∴AD⊥∵FG⊥∴AD∥（2）解：∵AB=AC，D为∴∠CAD∵AD∥∴∠F∴∠F∴AF=∴点A在EF的垂直平分线上．4．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，DE∥BC，DC平分∠【答案】见解析【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，由平行线的性质和角平分线的定义可证明∠FDC=∠FCD，进而得到FD=FC，再由AD【详解】证明：∵DE∥∴∠EDC∵DC平分∠EDF∴∠EDC∴∠FDC∴FD=又∵AD=∴AF垂直平分CD．5．综合与实践：初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”．如图，在筝形ABCD中，AB=【操作应用】（1）如图①，将“筝形功能器”上的点A与∠PRQ的顶点R重合，AB,AD分别放置在角的两边RP,RQ上，并过点A,C【实践拓展】（2）实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图②，在仪器上的点A处拴一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤（铅垂线），仪器上的点B,D紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点【答案】（1）AE是∠PRQ的平分线，理由见解析；（2【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定；（1）证明△ABC（2）根据线段垂直平分线的判定定理可得AC垂直平分BD，即可解答．【详解】解（1）AE是∠PRQ在△ABC和△∵AB=AD,∴△ABC∴∠BAC即AE是∠PRQ（2）∵AB=∴点A，C均在线段BD的垂直平分线上，∴AC垂直平分BD，∵AC是垂直的，∴BD是水平的．6．如图，在△ABC中，AB=AC，D为△ABC右侧一点，连接AD、CD、BD，AD=CD，【答案】证明见解析【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，先证明△ABC为等边三角形，可得BA=【详解】证明：∵∠BAC=60°，∴△ABC∴BA=∴B在AC的垂直平分线上，∵AD=∴D在AC的垂直平分线上，∴BD是AC的垂直平分线．7．如图，在四边形ABCD中，AD=DC，(1)求证：AC⊥(2)若AD=AC=6，BD【答案】(1)见解析；(2)30．【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，面积公式，掌握知识点的应用是解题的关键．（1）证明BD垂直平分AC即可；（2）先证明△ADC是等边三角形，由BD垂直平分AC，则有OC=OA【详解】（1）证明：∵AD=∴点D在AC的垂直平分线上，∵AB=∴点B在AC的垂直平分线上，∵D，B是不同的两点，∴BD垂直平分AC，∴AC⊥（2）解：∵AD=∴△ADC∵BD垂直平分AC，∴O是AC的中点，∴OC=∵S∴S==30，∴四边形ABCD的面积为30．8．如图，在△ABC中，l是AB的垂直平分线，与边AC交于点E，点D在l上，且DB=DC(1)求证：点D在边AC的垂直平分线上；(2)连接BE，若BD⊥CD，求证：【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定、等边对等角、三角形内角和定理等知识．解题的关键是熟练运用垂直平分线的性质和判定，结合三角形内角和定理推导角度关系．（1）利用垂直平分线性质得DA=DB，结合DB=DC推出DA=（2）连接AD得到DA=DB=DC，设角并结合BD⊥【详解】（1）证明：∵l是AB的垂直平分线，点D在l上，∴DA=∵DB=∴DA=∴点D在AC的垂直平分线上．（2）证明：由（1）可知DA=DB=DC，由设∠DAB∵BD∴在△BDC中，∠在△ABC中，∠即∠DBC∴90°+2α+β即∠BAE∵点E在边AB的垂直平分线上，∴AE=∴∠EBA∴∠AEB=180°-∠9．已知，在△ABC中，AB=AC，如图①，分别以点B和点C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧在A点的另一侧相交于点D，连接BD，CD，作直线AD(1)你认为AE与BC有什么关系？请说明理由．(2)如图②，若点P是直线AD上的任意一点，PB与PC有什么关系？为什么？【答案】(1)AE垂直平分线段BC，证明见解析(2)PB=【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的判定与性质；（1）由AB=AC，由作图可得：（2）根据AE是线段BC的垂直平分线可得答案.【详解】（1）解：AE垂直平分线段BC，理由如下：∵AB=AC，由作图可得：∴AE是线段BC的垂直平分线；∴AE垂直平分线段BC；（2）解：PB=由（1）得：AE是线段BC的垂直平分线；点P是直线AD上的任意一点，∴PB=10．（1）如图1，在△ABC，AB=AC，O为△ABC内一点，且OB=要证直线AO垂直平分BC，只要证点A、点O都在BC的垂直平分线上，即要证______=_____，______=_____（2）如图（2），在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD（3）如图3，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，【答案】（1）AB，AC，OB，OC；（2）见解析；（3）见解析【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质与判定是解题的关键；（1）利用线段垂直平分线定理的逆定理；（2）连接BE、CD，它们相交于P点，延长AP交BC于H，如图（2），证明△BCD≌△CBE得到∠BCD=∠CBE，则（3）如图（3），连接AC、AD、BD、CE，BD与CE相交于G，延长AG交CD于M，则AM为所作．【详解】（1）证明：∵AB=AC，∴直线AO垂直平分BC；故答案为AB=AC，（2）如图，连接BE、CD，它们相交于P点，延长AP交BC于H，如图（2），则AH为BC的垂直平分线．理由如下：∵AB∴∠ABC∵BD=CE∴△BCD∴∠BCD∴PB而AB=∴AH垂直平分BC（3）如图（3），AM为所作．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC(1)若∠BAC=40°，求(2)求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【答案】(1)70°；(2)见解析．【分析】本题主要考查了角平分线的性质、垂直的定义、全等三角形的判定与性质．1根据角平分线的定义可知∠EAD=20°，根据垂直的定义可知∠AED2利用AAS可证△AED≌△ACD，根据全等三角形的性质可知AE=AC，又因为AD平分【详解】（1）解：∵∠BAC=40°，AD平分∴∠EAD∵DE∴∠AED∴∠EDA（2）证明：∵DE⊥AB∴∠AED∵AD平分∠∴∠DAE=∠DAC在△AED和△ACD中∴△AED∴AE∵AD平分∠∴AD⊥CE，AD∴直线AD是线段CE的垂直平分线．12．如图所示，在△ABC中，D是边AB上一点，AD=AC，过点D作DE∥BC交AC于点E，点F是BC上一点，连接DF，CD，AF，且DC平分∠

【答案】见解析【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，角平分线的定义，等角对等边，平行线的性质等知识，由平行线的性质得出∠CDE=∠DCF，由角平分线的定义得出∠CDF=∠CDE，等量代换可得出∠CDF=∠DCF，由等角对等边可得出DF=CF【详解】证明：∵∴∠∵DC平分∴∠∴∠∴∴点F在线段CD的垂直平分线上∵∴点A在线段CD的垂直平分线上∴AF垂直平分

1．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90∘，AD∥BC，AB=BC(1)求证：△ABD(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由∠ABC=90∘，AD∥BC得∠BAD=∠ABC=90°，∠ADB（2）由△ABD≌△BCE及E为中点可得AD=AE；由AB=BC及AD∥【详解】（1）证明：∵∠ABC=90∴∠BAD∴∠ADB∵CE⊥∴∠ABD∴∠CEB在△ABD与△∠BAD∴△ABD（2）证明：∵△ABD∴AD=∵点E为AB的中点，∴AE=∴AD=∵AB=∴∠BAC∵AD∥∴∠DAC∴