2025高二数学期末模拟卷【测试范围：北师大版选择性必修第一册】含答案

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：北师大版选择性必修第一册。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．抛物线x=−14yA．x=−1 B．x=1 C．y=−1 D．y=12．经过两点5,3和−1,9的直线的倾斜角为（

）A．π4 B．π3 C．343．直线l的一个方向向量为m=−4,2,2，平面α的一个法向量为n=2,−1,x，若l/平面αA．−5 B．5 C．−1 D．14．甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法种数共有（

）A．480 B．360 C．240 D．1445．已知随机变量X的分布列如下，若EX=0，则D3X+1X−2012Pm11nA．73 B．7 C．21 6．在棱长均相等的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，A．2BB1 B．32BB17．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0，b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过原点O的直线与A．53 B．63 C．228．在三棱锥O−ABC中，OA=OB=OC=1，AB=BC=CA=2，点P满足OP=mOA+ nOB+lOC，若实数m，nA．3 B．355 C．37二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．设随机变量X~Nμ1,σ1A．μ1<μC．σ1>σ10．在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，若两个变量不呈线性相关关系，可以建立含两个待定参数的非线性模型，并引入中间变量将其转化为线性关系，再利用最小二乘法进行线性回归分析.下列选项为四个同学根据自己所得数据的散点图建立的非线性模型，且散点图的样本点均位于第一象限，则其中可以根据上述方法进行回归分析的模型有（

）A．y=c1xC．y=c1+11．已知随机事件A，B满足P(A)=12，P(B)=13，A．P(AB)=2P(AB) C．P(A|B)=14 第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知在x2+x+a5展开式中含x5的项的系数为51，则正实数13．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A的坐标为−4,2，AB边上的中线CM所在的直线方程为x−y+1=0，∠B的角平分线所在的直线方程为2x+y−2=0，则直线BC的方程为．14．已知以M为圆心的圆M:x2+y2−12x−14y+60=0及其上一点A(2,4)，设T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知在3x−123xn(1)求n；(2)求展开式中所有的有理项.16．（15分）如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD是菱形，(1)求异面直线BE与AD(2)求直线BB1与平面17．（15分）地球上生命体内都存在生物钟，研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体征状况.控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称PER，PER分为PERl（导致早起倾向）和PERo（导致晚睡倾向）.某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与GRPE蛋白干预实验.以下是16只实验鼠在光照诱导与GRPE蛋白干预实验中，出现PERl突变的Sd指标：实验鼠编号12345678Sd指标9.959.999.969.9610.019.929.9810.04实验鼠编号910111213141516Sd指标10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95长期试验发现，若实验鼠Sd指标超过10.00，则认定其体征状况严重，(1)从实验鼠中随机选取3只，记X为体征状况严重的只数，求X的分布列和数学期望；(2)若编号1～8的实验鼠为GRPE蛋白干预实验组，编号9～16的为非GRPE蛋白干预对照组，试依据小概率值α＝0.1的独立性检验，分析GRPE蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关？α0.10.050.01x2.7063.8416.635附：χ2=n18．（17分）甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得−10分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为12，乙答对的概率为2(1)求在一局比赛中，甲得10分的概率；(2)设这次比赛共有4局，设Y为甲得0分的次数，求Y的分布列和数学期望；(3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率．19．（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是平面内动点M与两定点Q,P的距离的比值MQMP=λ(λ>0,λ≠1)是个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2=2，定点分别为椭圆x2a

(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，过点F斜率为k(k<0)的直线l与椭圆C相交于B,D（点B在x轴上方）两点，点S,T是椭圆C上异于B,D的两点，SF平分∠BSD,TF平分∠BTD.①求BTDT②将点S,F,T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT外接圆的周长为36π，求直线l的方程.2025-2026学年高二数学上学期期末模拟参考答案第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678BCBACDCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。91011ABDABCAB第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．1 13． 14．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）【解析】（1）依题意有，即，整理可得，解得或（不合题意，舍去），所以的值为.（6分）（2）展开式通项为，（8分）由题意得，则，（10分）所以第项、第项与第项为有理项，它们分别为，，.（13分）16．（15分）【解析】（1）连接，交于点，因为是菱形，所以AC⊥BD，分别以为轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，（2分）如图，，，则，所以,点是棱的中点,则，，（6分）cos所以异面直线与所成角的余弦值为；（8分）（2）由（1）知，设平面的一个法向量是，则，取得，（12分），cos所以直线与平面所成角的正弦值为．（15分）17．（15分）【解析】（1）由题意得，只实验鼠中，有7只体征状况严重.的可能取值有0，1，2，3，（1分），，，.（5分）所以的分布列为X0123P所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.（8分）（2）由题意得，根据所给数据，得到2×2列联表：蛋白干预非蛋白干预合计体征状况严重257体征状况不严重639合计8816零假设：实验鼠体征状况与蛋白干预没有关系.利用列联表中的数据得，，（14分）根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可认为成立，即认为实验鼠体征状况与蛋白干预无关.（15分）18．（17分）【解析】（1）设表示在一局比赛中甲得分，则“”表示甲答对且乙答错的情况，根据独立事件概率乘法公式，可得；（3分）（2）包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错，甲、乙都答对的概率为，甲、乙都答错的概率为，根据互斥事件的概率加法公式，可得，因为每局比赛甲得分的概率为，且每次答题的结果互不影响，所以.（6分）则，，，，，则的分布列为：01234则的数学期望；（10分）（3）甲最终获胜有以下四种情况：①三局都得10分，其概率为，②两局得10分，一局得分，其概率为，③两局得10分，一局得分，其概率为，④一局得10分，两局得分，其概率为，综上可得，甲最终获胜的概率为.（17分）19．（17分）【解析】（1）方法1：令，且，解得，，椭圆的方程为.（4分）方法2：设，由题意（常数），整理得：，故，又，解得：.，椭圆的方程为.方法3：设，则.由题意.为常数，，又，解得：，故，椭圆的方程为.（2）①由角平分线定理知：，以下求的值，令直线的方程为：，（该方程的恒成立），设.则，再令，即，代入韦达定理得，由知，，，又，故，，即.（10分）②由①知，，由阿波罗尼斯圆定义知，在以为定点的阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为，则有，而，同理，由①知，，，由式，由圆周长公式：，，，直线的方程为.（17分）2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷全解全析（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：北师大版选择性必修第一册。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．抛物线x=−14yA．x=−1 B．x=1 C．y=−1 D．y=11．【答案】B【解析】依题意得，所以，所以，又抛物线开口向左，所以抛物线的准线方程为．故选：B.2．经过两点5,3和−1,9的直线的倾斜角为（

）A．π4 B．π3 C．342．【答案】C【解析】经过两点和的直线斜率为，所以该直线的倾斜角为，故答案为：C.3．直线l的一个方向向量为m=−4,2,2，平面α的一个法向量为n=2,−1,x，若l/平面αA．−5 B．5 C．−1 D．13．【答案】B【解析】直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，因为平面，则，所以，，解得.故选：B.4．甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法种数共有（

）A．480 B．360 C．240 D．1444．【答案】A【解析】优先甲、乙、丙进行排列，先从6个位置中选出3个位置，共有种，根据甲、乙均在丙同侧，有甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙、丙乙甲共4种排法，剩下3人共有种排法，根据分步计数乘法原理，所求不同的排法共有种.故选:A.5．已知随机变量X的分布列如下，若EX=0，则D3X+1X−2012Pm11nA．73 B．7 C．21 5．【答案】C【解析】由题意可得：，解得，则，所以.故选：C.6．在棱长均相等的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，A．2BB1 B．32BB16．【答案】D【解析】设平行六面体棱长为，，且，，，在上的投影向量为.故选：D.7．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0，b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过原点O的直线与A．53 B．63 C．227．【答案】C【解析】连接，，，，由以AB为直径的圆恰好过左焦点可得，由双曲线的对称性得四边形为矩形，可设，则，在直角三角形中，可得，即，解得，又在直角三角形中，，即，，因为所以，即.故选：C．8．在三棱锥O−ABC中，OA=OB=OC=1，AB=BC=CA=2，点P满足OP=mOA+ nOB+lOC，若实数m，nA．3 B．355 C．378．【答案】D【解析】因为，，所以，即，同理可证OA，OB，OC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，所以，设，，则，所以，，，四点共面，因为，，，，所以，.设平面的一个法向量为，则，即，取，则，因为，所以的最小值为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．设随机变量X~Nμ1,σ1A．μ1<μC．σ1>σ9．【答案】ABD【解析】，，两曲线分别关于直线对称，由图可知，故A正确；又，所以，故B正确；又的正态密度曲线比的正态密度曲线更“高瘦”，所以，故C错误；又，所以，故D正确；故选：ABD.10．在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，若两个变量不呈线性相关关系，可以建立含两个待定参数的非线性模型，并引入中间变量将其转化为线性关系，再利用最小二乘法进行线性回归分析.下列选项为四个同学根据自己所得数据的散点图建立的非线性模型，且散点图的样本点均位于第一象限，则其中可以根据上述方法进行回归分析的模型有（

）A．y=c1xC．y=c1+10．【答案】ABC【解析】对于选项A：，令则；对于选项B：令；对于选项C：即令则；对于选项D：令则此时斜率为，与最小二乘法不符．故选：ABC.11．已知随机事件A，B满足P(A)=12，P(B)=13，A．P(AB)=2P(AB) C．P(A|B)=14 11．【答案】AB【解析】对于A，因为，，，所以，所以，即，故A正确；对于B，因为①，，又因为，所以，所以代入①可得：，所以，，所以，故B正确；对于C，，故C不正确；对于D，，故D不正确；故选：AB.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知在x2+x+a5展开式中含x5的项的系数为51，则正实数12．【答案】【解析】由展开式中，所以，解得或（舍）．故答案为：.13．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A的坐标为−4,2，AB边上的中线CM所在的直线方程为x−y+1=0，∠B的角平分线所在的直线方程为2x+y−2=0，则直线BC的方程为．13．【答案】【解析】设，因为点的坐标为，所以中点，又所在的直线方程为，所以，即，又点在直线上，所以，由解得，所以，设点关于直线的对称点为，则，解得，所以，所以直线的方程为，即.故答案为：.14．已知以M为圆心的圆M:x2+y2−12x−14y+60=0及其上一点A(2,4)，设T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得14．【答案】【解析】根据题意，圆，即，其圆心为，半径，设，，又由，则，，，若，则有，变形可得，若在圆上，则，则有，变形可得：，即点也在圆上，从而圆与圆有公共点，则有，变形可得：，解得：，即的取值范围为；故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知在3x−123xn(1)求n；(2)求展开式中所有的有理项.15．（13分）【解析】（1）依题意有，即，整理可得，解得或（不合题意，舍去），所以的值为.（2）展开式通项为，由题意得，则，所以第项、第项与第项为有理项，它们分别为，，.16．（15分）如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD是菱形，(1)求异面直线BE与AD(2)求直线BB1与平面16．（15分）【解析】（1）连接，交于点，因为是菱形，所以，分别以为轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，，，则，所以,点是棱的中点,则，，cos所以异面直线与所成角的余弦值为；（2）由（1）知，设平面的一个法向量是，则，取得，，cos所以直线与平面所成角的正弦值为．17．（15分）地球上生命体内都存在生物钟，研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体征状况.控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称PER，PER分为PERl（导致早起倾向）和PERo（导致晚睡倾向）.某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与GRPE蛋白干预实验.以下是16只实验鼠在光照诱导与GRPE蛋白干预实验中，出现PERl突变的Sd指标：实验鼠编号12345678Sd指标9.959.999.969.9610.019.929.9810.04实验鼠编号910111213141516Sd指标10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95长期试验发现，若实验鼠Sd指标超过10.00，则认定其体征状况严重，(1)从实验鼠中随机选取3只，记X为体征状况严重的只数，求X的分布列和数学期望；(2)若编号1～8的实验鼠为GRPE蛋白干预实验组，编号9～16的为非GRPE蛋白干预对照组，试依据小概率值α＝0.1的独立性检验，分析GRPE蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关？α0.10.050.01x2.7063.8416.635附：χ2=n17．（15分）【解析】（1）由题意得，只实验鼠中，有7只体征状况严重.的可能取值有0，1，2，3，，，，.所以的分布列为X0123P所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.（2）由题意得，根据所给数据，得到2×2列联表：蛋白干预非蛋白干预合计体征状况严重257体征状况不严重639合计8816零假设：实验鼠体征状况与蛋白干预没有关系.利用列联表中的数据得，，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可认为成立，即认为实验鼠体征状况与蛋白干预无关.18．（17分）甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得−10分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为12，乙答对的概率为2(1)求在一局比赛中，甲得10分的概率；(2)设这次比赛共有4局，设Y为甲得0分的次数，求Y的分布列和数学期望；(3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率．18．（17分）【解析】（1