陕西省西安市高新第一中学2025-2026学年高一第一学期期末考试数学试题（原卷版+解析版）

2025-2026学年第一学期期末考试2028届高一数学试题一、选择题：每题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知命题：，；命题：，，则（）A.和都是真命题 B.和都是真命题C.和都是真命题 D.和都是真命题3.已知函数，则（）A. B. C. D.4.已知角终边上一点，则（）A B. C. D.5.下列函数中，在定义域范围内既是减函数，又是奇函数的是（）A. B.C. D.6.已知函数在上单调递增，则实数取值范围是（）A. B. C. D.7.若，则（）A. B. C. D.8.已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：每题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分9已知非零实数，，满足，则（）A. B.C. D.10.若、、是非零向量，则下列说法正确的是（）A. B.C若，则 D.11.已知函数，则（）A.函数的最小正周期为B.函数的值域为C.直线是函数图象的一条对称轴D.函数在区间上有且仅有5个零点三、填空题（每小题4分，共12分）12.已知向量满足，且，则___________.13.设x＞0，y＞0，x+2y=7，则的最小值为______．14.tan70°·cos10°(tan20°1)等于___________.四、解答题：本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，.（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）设函数，求函数在上的最小值的表达式.16.已知函数.（1）求函数的对称中心；（2）求函数在区间的单调区间.17.已知函数．（1）若，求在区间上的值域；（2）若方程有实根，求实数的取值范围；（3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．18.已知，函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若，求证：函数的图象关于点成中心对称；（3）若方程的解集恰有一个元素，求a的取值范围．19.在城镇化的旧房改造进程中，小明家旧房拆迁拿到一套新房外加一间店面.小明准备将店面改建成超市，遇到如下问题：如图所示，一条直角走廊宽为2米，现有一转动灵活的平板车希望能自如在直角走廊运行.平板车平板面为矩形，它的宽为1米.直线分别交直线于，过墙角作于，于；请你结合所学知识帮小明解决如下问题：（1）若平板车卡在直角走廊内，且，试将平板面的长表示为的函数；（2）若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米?2025-2026学年第一学期期末考试2028届高一数学试题一、选择题：每题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合，利用交集和补集的定义可求得集合.【详解】因为集合，，所以，故.故选：D.2.已知命题：，；命题：，，则（）A.和都是真命题 B.和都是真命题C.和都是真命题 D.和都是真命题【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用全称量词命题、存在量词命题的真假判断方法确定命题真假即可.【详解】对于命题，取，，是假命题，是真命题，对于命题，取，，是真命题，是假命题，因此选项ACD错误，B正确.故选：B3.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数的解析式可求得的值.【详解】因为，所以.故选：C4.已知为角终边上一点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正切函数的定义求出，再利用齐次法求解.【详解】由为角终边上一点，得，所以.故选：C5.下列函数中，在定义域范围内既是减函数，又是奇函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知结合函数奇偶性及单调性的定义，对选项进行检验即可判断．【详解】对于A，的定义域为，，，为偶函数，故A错误，对于B，的定义域为，解得，，，为奇函数，令在上是增函数，在定义域内也是增函数，根据复合函数的单调性可知，在上是增函数，故B错误，对于C，定义域为，，，为奇函数，又由对勾函数的性质可知在和上是减函数，在和上是增函数，故C错误，对于D，，恒成立，的定义域为，，，为奇函数，令在上是减函数，在定义域内也是增函数，根据复合函数的单调性可知，在上是减函数，故D正确，故选：D.6.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复合函数单调性求出函数的单调递增区间，结合题意可得出区间的包含关系，即可得出实数的取值范围.【详解】对于函数，有，解得或，故函数的定义域为，因为内层函数在上单调递减，在上单调递增，又因为外层函数为增函数，故函数的增区间为，因为函数在上单调递增，所以，故，即实数的取值范围是.故选：D.7.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】，，，，解得，，.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.8.已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先画出分段函数的图像，然后判断每段函数的单调性，求出每段函数的值域，根据对称性推出，结合图像可得到的范围进而得解.【详解】函数的图像如下图所示.当时，的对称轴是直线，且最大值为，当时，为增函数，且此时，由题意知存在三个不相等的实数，，，使得，不妨设，则，则，又，故的取值范围是.故选：A.二、选择题：每题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分9.已知非零实数，，满足，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】由不等式的基本性质判断ABC选项，取特殊值判断D选项.【详解】∵，∴，∴，A选项正确；当时，，B选项错误；∵，∴，C选项正确；取，则，D选项错误.故选：AC.10.若、、是非零向量，则下列说法正确的是（）A. B.C.若，则 D.【答案】ABD【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算性质可判断A选项；利用平面向量数量积的定义可判断B选项；利用垂直的向量关系可判断C选项；利用向量模的三角不等式可判断D选项.【详解】对于A选项，，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，若，则，所以或当时，，C错；对于D选项，，当且仅当、方向相反时，等号成立，D对.故选：ABD.11.已知函数，则（）A.函数的最小正周期为B.函数的值域为C.直线是函数图象的一条对称轴D.函数在区间上有且仅有5个零点【答案】BCD【解析】【分析】对A，由周期性的定义判断；对B，分段讨论函数值域；对C，验证；对D，分段求解方程求零点.【详解】对于A：因为，所以的最小正周期不是，A错误；对于B：当，即时，，因为，所以，则当时，取得最大值；当时，取得最小值，所以此时的值域为；当，即时，，因为，所以，当时，，当时，取得最大值，所以此时的值域为；综上，函数的值域为，B正确；对于C：因为，，所以，所以直线是函数图象的一条对称轴，C正确；对于D：当时，由，解得或，当时，由，解得，又，所以，所以函数有且仅有个零点，D正确；故选：BCD.三、填空题（每小题4分，共12分）12.已知向量满足，且，则___________.【答案】##【解析】【分析】根据得，由，两边同时平方得，结合两式计算即可.【详解】因为，所以，又因为，所以，所以，解得.故答案为：.13.设x＞0，y＞0，x+2y=7，则的最小值为______．【答案】8【解析】【分析】把展开，将x+2y=7整体代入，利用基本不等式即可解得最小值．详解】===≥8，当且仅当xy=4时等号成立．故答案为8．【点睛】本题主要考查基本不等式及其应用，属于中档题．14.tan70°·cos10°(tan20°1)等于___________.【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数关系实现切化弦，再利用辅助角公式以及正弦的降幂扩角公式，整理化简，即可得到代数式的值.【详解】tan70°·cos10°(tan20°-1)=·cos10°=·==1.故答案为：.点睛】本题考查利用同角三角函数关系以及辅助角公式、降幂扩角公式化简求值，属综合基础题.四、解答题：本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，.（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）设函数，求函数在上的最小值的表达式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二次不等式解法可得出所求不等式的解集；（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，可得出的表达式.【小问1详解】当时，，由得，解得，故当时，不等式的解集为.【小问2详解】函数，函数的图象开口向上，对称轴为直线，当时，即当时，函数在上单调递增，此时；当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增，此时；当时，即当时，函数在上单调递减，此时.综上所述，.16.已知函数.（1）求函数的对称中心；（2）求函数在区间的单调区间.【答案】（1）；（2）单调递减区间为，单调递增区间为.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用余弦函数的对称性求解.（2）利用余弦函数的单调性求解指定区间上的单调区间.【小问1详解】函数，由，解得，所以函数的对称中心为.【小问2详解】由，得，由，得，由，得，由，得，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.17.已知函数．（1）若，求在区间上的值域；（2）若方程有实根，求实数的取值范围；（3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用换元法令，，再结合二次函数的性质即可求解；（2）由（1）知利用换元法可得，，方程有实根即等价于即有实数根且大于零，从而可得，即可求解；（3）若对任意的，总存在，使得，可得,由复合函数知识可得函数在时单调递减，时单调递增，从而求出，则只需令在上恒成立即可，分离参数可求解.【小问1详解】当时，，令，因为，所以，所以可得一个二次函数，所以当，函数单调递增，当时，有最小值，当时，有最大值，所以.所以时，在区间上的值域为.【小问2详解】由（1）知当令，，，则，即有实数根，此时实数根大于零，所以可得，解得：.所以方程有实根，实数m的取值范围为.【小问3详解】由题意得，若对任意的，总存在，使得，可得,由函数可得当时单调递减，当时单调递增，函数为增函数，所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增，所以当时，有最小值，由（2）知当令，，，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为函数在时均单调递增，所以函数在时单调递增，所以，所以，即，则实数m的取值范围为.【点睛】关键点点睛：（1）主要利用换元后转化为一般的二次函数在具体区间求最值问题；（2）中转化为二次函数根的分布问题来求出相应的不等式组，即可求解；（3）中由题可得,再结合指数型复合函数求出，从而可转化为含参二次函数在定区间求解最值问题.18.已知，函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若，求证：函数的图象关于点成中心对称；（3）若方程的解集恰有一个元素，求a的取值范围．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由题意，得到，利用对数不等式的解法，列出不等式，求解即可；（2）任取，化简计算，即可证明结论；（3）将方程进行变形，得到，求出两个根，分三种情况讨论求解即可．【小问1详解】当a=3时，不等式，即，所以，解得，故不等式的解集为；【小问2详解】证明：因为，则函数的定义域为，任取，则，则＝＝，所以函数的图象关于点成中心对称；【小问3详解】由，可得，解得，若，则a=1，检验定义域，符合题意；若是原方程的解，则；若是原方程的解，则，即．因为方程的解集恰有一个元素，故当是原方程的解，不是原方程的解时，则；当不是原方程的解，是原方程的解时，，又，则，所以实数a的取值范围为．19.在城镇化的旧房改造进程中，小明家旧房拆迁拿到一套新房外加一间店面.小明准备将店面改建成超市，遇到如下问题：如图所示，一条直角走廊宽为2米，现有一转动灵活的平板车希望能自如在直角走廊运行.平板车平板面为矩形，它的宽为1米.直线分别交直线于，过墙角作于，于；请你结合所学知识帮小明解决如下问题：（1）若平板车卡在直角走廊内，且，试将平