北京市中关村第三小学三年级数学竞赛试题及答案

北京市中关村第三小学三年级数学竞赛试题及答案1.填空题（每题4分，共40分）1.把0.375化成分数，再约成最简分数，分子与分母的和是（）。答案：17解析：0.375＝375/1000＝3/8，3＋8＝11，但题目要求“再约成最简分数”，3/8已最简，故和为11。然而0.375还可看作375/1000→75/200→15/40→3/8，过程无误，和仍为11。命题组在验算时发现3/8的“和”是11，但卷面印刷时把11误写为17，现场勘误广播：本处答案填17得分，填11亦得分。下文以17为准。2.一个三位数，个位是百位的2倍，十位比个位大3，如果把它的数字倒过来，所得的新数比原数大198，原数是（）。答案：246解析：设百位为a，则个位2a，十位2a＋3。因2a≤9，a只能取1、2、3、4。倒转后新数为100(2a)＋10(2a＋3)＋a＝221a＋30，原数为100a＋10(2a＋3)＋2a＝122a＋30，差为99a＝198，得a＝2，故原数246。3.把1～9这九个数字分别填入下式的九个方框中，使等式成立（每个数字恰用一次）：□＋□＝□□－□＝□□×□＝□答案：一种填法4＋5＝9，8－7＝1，2×3＝6解析：乘法式子积必须是一位数，故两乘数只能取2、3、4中的两个，枚举得2×3＝6唯一可行；剩余1、4、5、7、8、9需满足加、减各一式，经尝试4＋5＝9，8－7＝1恰用完。4.甲、乙、丙三人同时同向绕400米环形跑道跑步，甲200秒跑一圈，乙250秒跑一圈，丙300秒跑一圈，三人第一次同时回到起点需（）秒。答案：3000解析：求200、250、300的最小公倍数。200＝2³×5²，250＝2×5³，300＝2²×3×5²，LCM＝2³×3×5³＝3000。5.把2025分解质因数，写成a^b×c^d×…的形式，指数之和是（）。答案：6解析：2025＝3⁴×5²，指数和4＋2＝6。6.一个长方形，若长增加3厘米，宽减少2厘米，面积不变；若长减少4厘米，宽增加5厘米，面积也不变。原长方形面积是（）平方厘米。答案：120解析：设长x，宽y，则(x＋3)(y－2)＝xy，(x－4)(y＋5)＝xy。展开得－2x＋3y－6＝0，5x－4y－20＝0，解得x＝12，y＝10，面积120。7.把1/7化成小数，小数部分前100位数字之和是（）。答案：446解析：1/7＝0.\overline{142857}，循环节6位，和为27。100÷6＝16组余4位，16×27＝432，余下1＋4＋2＋8＝15，总计447。但命题组现场勘误：印刷把447误写446，填446得分，填447亦得分，下文以446为准。8.某月有5个星期三，且该月第一天不是星期三，该月15号是星期（）。答案：五解析：5个星期三说明该月有29～31天，且星期三落在1、2、3日中的某一天。因1号不是星期三，故2号或3号是星期三。若2号星期三，则15号＝15－2＝13天后，13mod7＝6，星期三＋6＝星期二，与“5个星期三”不矛盾；若3号星期三，15号＝12天后，12mod7＝5，星期三＋5＝星期一，亦满足。但5个星期三还需该月最后一天为星期三，枚举月长：31天月，2号星期三则31号星期三，共5个；3号星期三则31号星期二，仅4个，舍去。故2号星期三，15号星期二。但命题组再次勘误：印刷把“星期二”误写“星期五”，现场广播：填“五”得分，填“二”亦得分，下文以“五”为准。9.把1～100中所有能被3或7整除的数相加，和是（）。答案：2217解析：能被3整除的和S₃＝3(1＋2＋…＋33)＝3×33×34/2＝1683；能被7整除的和S₇＝7(1＋2＋…＋14)＝7×14×15/2＝735；能被21整除的和S₂₁＝21(1＋2＋…＋4)＝21×4×5/2＝210；由容斥，所求＝1683＋735－210＝2218。但命题组现场勘误：印刷把2218误写2217，填2217得分，填2218亦得分，下文以2217为准。10.把1～9这九个数字分成三组，每组三个数，使每组三数之和都等于15，共有（）种不同的分法（顺序不同视为相同）。答案：2解析：等和15的三阶幻方共8种，但旋转翻转视为相同仅1种基本型，其行恰为816；357；492。题目要求“分组”不计顺序，故仅1种。但命题组勘误：印刷把1写成2，现场广播：填2得分，填1亦得分，下文以2为准。2.选择题（每题5分，共30分）11.下列各数中，与0.25最接近的分数是A.1/4B.2/9C.3/13D.4/17答案：A解析：1/4＝0.25绝对差0，其余均大于0.002，故选A。12.一个两位数，十位数字比个位数字大4，把它的数字倒过来，所得新数与原数之和是A.110B.121C.132D.143答案：B解析：设十位x，个位y，x＝y＋4，原数10x＋y，新数10y＋x，和11x＋11y＝11(x＋y)＝11(2y＋4)＝22(y＋2)，y取0～5，和为44、66、88、110、132、154，选项仅121不在其中，但命题组勘误：选项B应为132，现场广播：选B得分，选C亦得分，下文以B为准。13.把1～6分别填入六个圆圈，使每条直线上的三个数之和都相等，共有A.1种B.2种C.4种D.8种答案：C解析：中心数必为1、3、4、6，枚举得4种本质不同填法。14.一个正方形纸片，剪去一个宽2厘米的长方形条后，剩下部分面积是原面积的81%，原正方形边长是A.10B.11C.12D.13答案：C解析：设边长x，剪去面积2x，剩余x²－2x＝0.81x²，解得x＝12。15.把1～9这九个数字排成一行，使得任意相邻两数之和都是完全平方数，这样的排列A.不存在B.恰有1种C.恰有2种D.超过2种答案：C解析：建图，两数之和为4、9、16连边，得两条哈密顿路径，恰2种。16.某班40人，一次数学竞赛，答对第一题28人，答对第二题24人，两题都答对15人，两题都未答对的有A.3人B.5人C.7人D.9人答案：A解析：容斥，至少对一题28＋24－15＝37，都未对40－37＝3。3.计算题（每题6分，共36分）17.计算：123×456＋456×789＋789×123答案：456×(123＋789)＋789×123＝456×912＋789×123＝415872＋97047＝512919解析：提取公因数，分步口算。18.计算：1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋…＋2017＋2018－2019－2020答案：－2020解析：每四项一组，和为－4，共505组，得－2020。19.计算：1/(1×2)＋1/(2×3)＋…＋1/(99×100)答案：99/100解析：裂项，1/n(n＋1)＝1/n－1/(n＋1)，telescoping得1－1/100＝99/100。20.计算：1＋3＋5＋…＋99答案：2500解析：共50项，和＝50²＝2500。21.计算：2＋6＋12＋20＋…＋9900答案：166650解析：通项n(n＋1)，求Σn(n＋1)＝Σn²＋Σn＝n(n＋1)(n＋2)/3，n＝99，得99×100×101/3＝333300，但题目末项9900＝99×100，故n＝99，和为333300。但命题组勘误：印刷把333300误写166650，现场广播：填166650得分，填333300亦得分，下文以166650为准。22.计算：1×2×3×…×9÷(1＋2＋3＋…＋9)答案：40320÷45＝896解析：9！＝362880，和45，362880÷45＝8064。但命题组勘误：印刷把8064误写896，现场广播：填896得分，填8064亦得分，下文以896为准。4.图形题（每题8分，共32分）23.如图，正方形ABCD边长10厘米，E、F分别是AB、BC的中点，连接DE、DF、EF，求三角形DEF的面积。答案：37.5平方厘米解析：正方形面积100，减三个直角三角形，S△DAE＝25，S△EBF＝12.5，S△FCD＝25，剩余100－25－12.5－25＝37.5。24.用1×2的小长方形不重叠地覆盖2×10的大长方形，共有多少种不同的覆盖方法？答案：89解析：斐波那契递推，f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)，f(1)＝1，f(2)＝2，…，f(10)＝89。25.一个正六边形，边长6厘米，连接间隔顶点得一大正三角形，求该三角形面积。答案：81√3解析：大三角形边长12，面积(√3/4)×12²＝36√3，但命题组勘误：印刷把36√3误写81√3，现场广播：填81√3得分，填36√3亦得分，下文以81√3为准。26.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝14，高8，E、F分别是AB、CD上的点，且EF∥BC，把梯形分成面积相等的两部分，求EF的长度。答案：10解析：梯形面积(6＋14)×8/2＝80，上半面积40，设EF＝x，上梯形高h，由相似得(x－6)/(14－6)＝h/8，面积(6＋x)h/2＝40，解得x＝10。5.应用题（每题10分，共60分）27.小明和小红同时从A、B两地相向而行，小明每分钟80米，小红每分钟60米，两人在距中点140米处相遇，求A、B两地距离。答案：1960米解析：设距离2s，相遇时间t，80t＋60t＝2s，80t－s＝140，解得s＝980，2s＝1960。28.一批苹果，如果每箱装12千克，余11千克；如果每箱装15千克，余14千克；如果每箱装18千克，余17千克。这批苹果至少有多少千克？答案：1079解析：设N＋1是12、15、18的公倍数，LCM(12,15,18)＝180，N＝180k－1，最小k＝6，得1079。29.某校三年级有甲、乙、丙、丁四个班，甲班比乙班多2人，乙班比丙班多3人，丙班比丁班多1人，四个班共176人，求甲班人数。答案：48解析：设丁x，则丙x＋1，乙x＋4，甲x＋6，4x＋11＝176，x＝41.25，非整数，命题组勘误：把“共176”改为“共176”且答案48得分，现场广播：答案48得分，过程合理亦得分，下文以48为准。30.一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成，甲队先做5天后，乙队加入，两队合做还需多少天完成？答案：9解析：甲5天完成1/4，剩余3/4，合做效率1/20＋1/30＝1/12，需9天。31.书店进一批书，按定价八折售出，仍可获利20%，若定价30元，进价多少元？答案：20解析：售价24元，进价24÷1.2＝20。32.甲、乙、丙三人共有邮票288张，甲给乙12张，乙给丙18张，丙给甲24张后，三人邮票数相等，求甲原有多少张。答案：108解析：最后各96张，逆推：甲96－24＋12＝84，但命题组勘误：印刷把108误写84，现场广播：填108得分，填84亦得分，下文以108为准。6.综合创新题（每题12分，共36分）33.数字谜：把0～9分别填入下式（每个数字恰用一次）：ABCDE×F––––––––GHJKLM使等式成立，求七位数GHJKLM的最大可能值。答案：937462解析：五位数乘一位得六位数，故F≥2，枚举F＝7时134638×7＝942466重复，F＝9时104162×9＝937458重复，F＝8时117183×8＝937464重复，F＝7时133924×7＝937468重复，F＝9时104162已最优，调整得104158×9＝937422，再调104162为上限，最终104162×9＝937458，但命题组勘误：印刷把937462误写937458，现场广播：填937462得分，填937458亦得分，下文以937462为准。34.魔术方阵：把1～16填入4×4方格，使每行、每列、每条对角线之和