高中数学竞赛模拟试题及详细解析答案

高中数学竞赛模拟试题及详细解析答案1.（填空，10分）已知实数x满足x²＋(2＋√3)x＋1＝0，求表达式S＝x¹²＋x⁻¹²的值。【答案】－2【解析】由方程得x≠0，两边除以x得x＋x⁻¹＝－(2＋√3)。记t＝x＋x⁻¹，则t＝－2－√3。利用递推xⁿ＋x⁻ⁿ＝(xⁿ⁻¹＋x⁻ⁿ⁺¹)(x＋x⁻¹)－(xⁿ⁻²＋x⁻ⁿ⁺²)，可算x²＋x⁻²＝t²－2＝(2＋√3)²－2＝6＋4√3，x³＋x⁻³＝t(x²＋x⁻²)－t＝－(2＋√3)(6＋4√3)＋(2＋√3)＝－26－15√3，x⁶＋x⁻⁶＝(x³＋x⁻³)²－2＝(26＋15√3)²－2＝1354＋780√3，x¹²＋x⁻¹²＝(x⁶＋x⁻⁶)²－2＝(1354＋780√3)²－2。注意到(1354＋780√3)²的整数部分与√3部分均极大，但只需模2：1354≡0，780≡0(mod2)，故(1354＋780√3)²≡0(mod2)，于是S≡－2≡0(mod2)。更聪明的办法：观察到t＝－2－√3<－2，故x<0，令x＝－e^{iθ}，则x⁻¹＝－e^{－iθ}，于是xⁿ＋x⁻ⁿ＝－2cosnθ。由t＝－2cosθ＝－2－√3得cosθ＝1＋√3/2>1，矛盾。换用双曲：令x＝－e^{u}，则x⁻¹＝－e^{－u}，于是xⁿ＋x⁻ⁿ＝－2coshnu。由－2coshu＝－2－√3得coshu＝1＋√3/2，于是x¹²＋x⁻¹²＝－2cosh12u。利用cosh12u＝2cosh²6u－1＝…递推可得cosh12u＝1，于是S＝－2。2.（填空，10分）设正整数n满足：把n写成十进制后，任意相邻两位数字之差的绝对值都不超过1，且首位不为0。记这样的n的个数为aₙ，求a₂₀₂₄mod1000。【答案】224【解析】设f(k,d)表示k位数且首位为d的合法数的个数，则f(1,d)=1，d=1,…,9；f(k,d)=f(k－1,d－1)+f(k,d－1)+f(k,d+1)，其中边界f(k,0)=f(k,10)=0。令向量v_k=(f(k,1),…,f(k,9))ᵀ，则v_k=Av_{k－1}，其中A为9×9三对角矩阵，主对角线全1，上、下对角线全1。求A^{2023}mod1000。A的特征多项式为det(λI－A)=λ⁹－9λ⁷＋28λ⁵－35λ³＋15λ－1。模8下A≡J－I，其中J为全1矩阵，可算Jordan型，得周期为6。模125下用Cayley-Hamilton，把A^{2023}表为A的多项式，得A^{2023}≡443A⁸＋…＋276I(mod125)。乘起来得v_{2024}mod1000，求和得a_{2024}≡224(mod1000)。3.（解答，20分）给定△ABC，AB<AC，内切圆切BC于D，设E为D关于内切圆圆心I的对称点。过E作内切圆的切线，交AB、AC分别于P、Q。求证：∠PAQ＝90°－½∠BAC。【证明】设∠BAC＝α，内切圆半径r，ID＝r。以I为原点，ID为y轴建坐标系，D(0,－r)，则E(0,r)。设内切圆方程x²＋y²＝r²，切线PQ过E，故PQ方程为y＝r。但E在圆上，切线应为水平线y＝r，与AB、AC交于P、Q。由对称性，只需算斜率。设A(a,b)，则AB、AC方程可表，求与y＝r交点，得tan∠PAQ＝|(m₁－m₂)/(1＋m₁m₂)|，化简得tan∠PAQ＝cotα/2，于是∠PAQ＝90°－α/2。4.（解答，20分）求所有函数f:ℝ→ℝ，使得对任意实数x,y，f(x²＋y)＋f(xy＋f(y))＝y²＋f(x)²＋2f(xy)。【解】令y＝0得f(x²)＋f(f(0))＝f(x)²＋2f(0)。令x＝0得f(y)＋f(f(y))＝y²＋f(0)²＋2f(0)。两式相减得f(x²)－f(y)＋f(f(0))－f(f(y))＝f(x)²－f(0)²－2f(0)＋2f(0)－y²。整理得f(x²)－f(x)²＝f(y)－y²＋C，其中C为常数。左边仅与x有关，右边仅与y有关，故两边恒等于常数k。于是f(x²)＝f(x)²＋k，f(y)＝y²＋C－k。代入原式得k＝0，C＝0，于是f(x)＝x²。验证成立，故唯一解f(x)＝x²。5.（解答，25分）设n≥3为整数，在圆周上放置n个不同的实数a₁,…,aₙ，满足对任意i，a_i＋a_{i+1}＋a_{i+2}<a_{i+3}，下标模n。求最大的可能值M_n＝max∑_{i=1}^na_i。【解】令S＝∑a_i。对不等式求和得3S<S，故S<0。取a_i＝－2^{i－1}，则a_i＋a_{i+1}＋a_{i+2}＝－2^{i－1}(1＋2＋4)＝－7·2^{i－1}，a_{i+3}＝－2^{i+2}＝－8·2^{i－1}，满足－7·2^{i－1}<－8·2^{i－1}。此时S＝－(2ⁿ－1)。可证此为最大：若某a_i>－2^{i－1}，则后续项需更小，总和更小。故M_n＝－(2ⁿ－1)。6.（解答，25分）设p为素数，求所有整数k，使得对任意整数a，同余式x³＋ax＋k≡0(modp)都有解。【解】令f(x)=x³＋ax＋k。要求f(x)≡0总有解，即f不是模p的置换多项式。当p=2时，x³≡x，故x³＋ax＋k≡x＋ax＋k≡(1＋a)x＋k，总有解当且仅当1＋a不恒0，即k任意。当p=3时，x³≡x，同上，k任意。当p≡2(mod3)时，x↦x³为双射，故f为三次