内蒙古土默特左旗第一中学2026届数学高二上期末学业质量监测试题含解析

内蒙古土默特左旗第一中学2026届数学高二上期末学业质量监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知圆，直线，则直线l被圆C所截得的弦长的最小值为（）A.2 B.3C.4 D.52．函数在上是单调递增函数，则的最大值等于（）A.2 B.3C.5 D.63．在四面体中，空间的一点满足，若共面，则（）A. B.C. D.4．等差数列的公差为2，若成等比数列，则（）A.72 B.90C.36 D.455．如图，已知二面角平面角的大小为，其棱上有、两点，、分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直.已知，，则（）A. B.C. D.6．已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为，，，，则此球的表面积等于（）A. B.C. D.7．已知集合，，则中元素的个数为（）A.3 B.2C.1 D.08．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直线方程为（）A. B.C. D.9．在长方体中，，，则与平面所成的角的正弦值为（）A. B.C. D.10．曲线在点处的切线方程是（）A. B.C. D.11．已知p、q是两个命题，若“（￢p）∨q”是假命题，则（）A.p、q都是假命题 B.p、q都是真命题C.p是假命题q是真命题 D.p是真命题q是假命题12．若直线与互相平行，且过点，则直线的方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《算法九章·商功》中，后人称之为“三角垛”.已知某“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层（从上往下）球数构成一个数列，则___________，___________.14．曲线在处的切线方程为______15．曲线在点处的切线方程为_________16．已知拋物线的焦点为F，O为坐标原点，M的准线为l且与x轴相交于点B，A为M上的一点，直线AO与直线l相交于C点，若，，则M的标准方程为______________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设数列的前项和为，已知，且（1）证明：；（2）求18．（12分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆E于A，B两点．当轴时，（1）求椭圆E的方程；（2）求的范围19．（12分）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，，，（）（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值；（3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）20．（12分）已知圆内有一点，过点作直线交圆于、两点（1）当经过圆心时，求直线的方程；（2）当弦的长为时，求直线的方程21．（12分）已知是公差不为零等差数列，，且、、成等比数列（1）求数列的通项公式：（2）设．数列{}的前项和为，求证：22．（10分）在平面直角坐标系中，有一条长度为3的线段，端点，分别在轴、轴上运动，为线段上一点，且.（1）求点的轨迹的方程；（2）已知不过原点的直线与相交于，两点，且线段始终被直线平分.求的面积取最大时直线的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】直线l过定点D(1，1)，当时，弦长最短.【详解】由，圆心，半径，，由，故直线l过定点，∵，故D在圆C内部，直线l始终与圆相交，当时，直线l被圆截得的弦长最短，，弦长＝.故选：C.2、B【解析】由f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，得到在[1，+∞）上，恒成立，从而解得a≤3，故a的最大值为3【详解】解：∵f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数∴在[1，+∞）上恒成立即a≤3x2，∵x∈[1，+∞）时，3x2≥3恒成立，∴a≤3，∴a的最大值是3故选：B3、D【解析】根据四点共面的向量表示，可得结果.【详解】由共面知，故选：【点睛】本题主要考查空间中四点共面的向量表示，属基础题.4、B【解析】由题意结合成等比数列，有即可得，进而得到、，即可求.【详解】由题意知：，，又成等比数列，∴，解之得，∴，则，∴，故选：B【点睛】思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量1、由成等比，即；2、等差数列前n项和公式的应用.5、C【解析】以、为邻边作平行四边形，连接，计算出、的长，证明出，利用勾股定理可求得的长.【详解】如下图所示，以、为邻边作平行四边形，连接，因为，，则，又因为，，，故二面角的平面角为，因为四边形为平行四边形，则，，因为，故为等边三角形，则，，则，，，故平面，因为平面，则，故.故选：C.6、D【解析】由条件确定三棱锥的外接球的球心位置及球的半径，再利用球的表面积公式求外接球的表面积.【详解】由已知，，，可得三棱锥的底面是直角三角形，，由平面可得就是三棱锥外接球的直径，，，即，则，故三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为故选：D.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.7、B【解析】集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，又圆与直线相交于两点，，则中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.8、B【解析】两圆的方程消掉二次项后的二元一次方程即为公共弦所在直线方程.【详解】由x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0两式相减得：，即.故选：B9、D【解析】过点作的垂线，垂足为，由线面垂直判定可知平面，则所求角即为，由长度关系求得即可.【详解】在平面内过点作的垂线，垂足为，连接.，，，平面，平面，的正弦值即为所求角的正弦值，，，.故选：D.10、B【解析】求导，得到曲线在点处的斜率，写出切线方程.【详解】因为，所以曲线在点处斜率为4，所以曲线在点处的切线方程是，即，故选：B11、D【解析】由已知可得￢p，q都是假命题，从而可分析判断各选项【详解】∵“（￢p）∨q”是假命题，∴￢p，q都是假命题，∴p真，q假，故选：D.12、D【解析】由题意设直线的方程为，然后将点代入直线中，可求出的值，从而可得直线的方程【详解】因为直线与互相平行，所以设直线的方程为，因为直线过点，所以，得，所以直线的方程为，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.②.【解析】根据，，得到，利用累加法和等差数列求和公式求出，再利用裂项抵消法进行求和.【详解】因为，，，，，以上个式子累加，得，则；因为，所以.故答案为：，.14、【解析】求得的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得切线方程【详解】解：的导数为，可得曲线在处的切线斜率为，切点为，即有切线方程为故答案为【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，直线方程的运用，考查方程思想，属于基础题15、【解析】求导，求出切线斜率，用点斜式写出直线方程，化简即可.【详解】，曲线在点处的切线方程为，即故答案为：16、【解析】先利用相似关系计算，求得直线OA的方程，再联立方程求得，利用抛物线定义根据即得p值，即得结果.【详解】因为，，所以，则，如图，，故，解得，所以，直线OA的斜率为，OA的方程，联立直线OA与抛物线方程，解得，所以，故，则抛物线标准方程为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）【解析】（1）当时，由题可得，，两式子相减可得，即，然后验证当n=1时，命题成立即可；（2）通过求解数列的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前n项和的通项公式.【详解】（1）由条件，对任意，有，因而对任意，有，两式相减，得，即，又，所以，故对一切，（2）由（1）知，，所以，于是数列是首项，公比为3的等比数列，数列是首项，公比为3的等比数列，所以，于是从而，综上所述，.【点睛】已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：（1）先利用a1＝S1求出a1；（2）用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）便可求出当n≥2时an的表达式；（3）对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.18、（1）（2）【解析】（1）根据离心率及通径长求出椭圆方程；（2）分直线AB斜率存在和斜率不存在两种情况得到的范围，进而得到答案.【小问1详解】当轴时，取代入椭圆方程得：，得，所以，又，解得，，所以椭圆方程为【小问2详解】由，记，当轴时，由（1）知：，所以，当AB斜率为k时，直线AB为，，消去y得，所以，，所以，综上，的范围是.19、（1）证明见解析（2）（3）【解析】（1）取得中点，连接，可证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得，即，又侧棱底面，可得，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）通过建立空间直角坐标系，由线面角的向量公式即可得出；（3）由题意可与左右平面，，上或下面，拼接得到方案，新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出【详解】（1）证明：取的中点，连接，，，四边形是平行四边形，，且，，，，又，侧棱底面，，，平面（2）以为坐标原点，、、的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，设与平面所成角为，则，解得，故所求（3）由题意可与左右平面，，上或下面，拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理的应用，利用向量求线面角、柱体的定义应用和表面积的求法，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力，数学运算能力及化归与转化能力，属于中档题20、（1）；（2）或【解析】（1）求得圆心坐标，由点斜式求得直线点的方程.（2）分成直线斜率存在和不存在两种情况进行分类讨论，由此求得直线的方程.【详解】（1）圆心坐标为（1，0），，，整理得（2）圆的半径为3，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，整理得，圆心到直线的距离为，解得，代入整理得当直线的斜率不存在时，直线的方程为，经检验符合题意∴直线的方程为或21、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设等差数列的公差为，则，根据题意可得出关于的方程，求出的值，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；（2）求得，利用裂项相消法求出，即可证得结论成立.【小问1详解】解：设等差数列的公差为，则，由题意可得，即，整理可得，，解得，因此，.【小问2详解】证明：，因此，，故原不等式得证.22、（1）（2）【解析】(1)设，根据题意可得，，利用两点之间的距离公式表示出，化简即可得出结果；(2)设，，线段的中点为，利用两