大题预测02 （解析版）

大题猜测01（A组+B组+C组）【A组】（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数的最大值．【答案】（1）在上为增函数；在上为减函数；（2）【分析】（1）直接利用函数的导数确定函数的单调区间；（2）求导依据函数的单调性即可求解最值．【解析】（1）的定义域为，当时，，，............................................................2分当，解得：，当，解得：．在上为增函数；在上为减函数；....................................................6分（2）的定义域为，，............................................................8分当时，令，得，令时，得，的递增区间为，递减区间为．............................................................11分.............................................................13分16．（15分）某校进行围棋友情赛，甲、乙两名同学进行冠亚军决赛，每局竞赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，规定：每一局竞赛中胜方记1分，负方记0分，先得3分者获胜，竞赛结束．（1）求进行3局竞赛决出冠亚军的概率；（2）若甲以领先乙时，记表示竞赛结束时还需要进行的局数，求的分布列及数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为【分析】（1）分甲乙全胜两种状况相加得结果；（2）利用分布列步骤求解并求得期望.【解析】（1）甲3局全胜的概率为,......................................................3分乙3局全胜的概率为，......................................................6分进行3局竞赛决出冠亚军的概率为.........................................................9分（2）的可能取值为1，2，，，............................................................13分故的分布列为：12故．............................................................15分17．（15分）直三棱柱中，，M为AC的中点，N为的中点，．（1）证明：；（2）求平面与平面所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）证明出三角形全等，得到，故，结合，得到线面垂直，得到，从而得到线面垂直，证明出结论；（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量求出两平面的夹角余弦值.【解析】（1）设直线与相交于点O，由于三棱柱为直三棱柱，又，所以，，，所以，所以，............................................................2分又，则，即；又，，平面，所以平面，............................................................5分由于平面，所以，又，，平面，所以平面，由于平面，所以，又，所以；............................................................7分（2）由（1）得两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示：设，则，，，，，则，，............................................................9分设平面的法向量为，则，解得，令得，则平面的法向量，............................................................11分，，设平面的法向量，则，解得，令，则，则平面的法向量，............................................................13分，所以平面与平面所成角的余弦值为．............................................................15分18．（17分）已知抛物线经过点．（1）求抛物线的方程及其准线方程．（2）设为原点，直线与抛物线交于（异于）两点，过点垂直于轴的直线交直线于点，点满足．证明：直线过定点．【答案】（1）抛物线，准线方程为；（2）证明见解析【分析】（1）将点代入抛物线方程，即可求得的值，得到抛物线方程，从而得到准线方程；（2）联立直线与抛物线方程，得到，再依次求得，的坐标，从而得到的方程，令，化简即可得证.【解析】（1）由已知，，所以．抛物线，准线方程为．............................................................4分（2）由，消去，得．设，则，且．............................................................7分直线方程为：，所以．............................................................9分又，则为中点，所以．所以．............................................................11分令，则．又．所以直线过定点．............................................................17分19．（17分）设集合，其中．若对任意的向量，存在向量，使得，则称A是“T集”．（1）设，推断M，N是否为“T集”．若不是，请说明理由；（2）已知A是“T集”．（i）若A中的元素由小到大排列成等差数列，求A；（ii）若（c为常数），求有穷数列的通项公式．【答案】（1）是“集”;不是“集”，理由见解析；（2）（i）；（ii）【分析】（1）依据“T集”的定义推断即可；（2）（i）写出等差数列通项，得到向量的坐标，再分类争辩即可；（ii）设，利用三角数阵和等比数列定义即可.【解析】（1）是“集”;不是“集”.理由：当或时，只要横纵坐标相等即可，则满足，当，则；当，则；当，则；当，则；综上是“集”.............................................................2分对于向量，若存在，使得.则，故中必有一个为，此时另一个为或，明显不符合，则不是“集”.........................................................4分（2）(i)由于中的元素由小到大排列成等差数列，则该等差数列的首项为，公差为2，故，则向量的坐标中必含，.........................................5分设另一坐标为，则或.所以或，故或，............................................................7分所以或，所以或，所以或即.此时，不满足;或，满足;所以只可能为.经检验是“集”，所以.............................................................9分(ii)设.由，得，由条件可变形为................................................10分设集合设集合则是“集”当且仅当关于原点对称.由于是中唯一负数，共个数，所以也只有个数.............................................................12分由于，所以，已有个数.对以下三角数阵：留意到，所以....................................................15分又为常数)，故有穷数列为等比数列，且通项公式.............................................................17分【B组】（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数（、为实数）的图象在点处的切线方程为．（1）求实数、的值；（2）求函数的单调区间和极值．【答案】（1）；（2）减区间为，增区间为，微小值为，无极大值.【分析】（1）利用导数的几何意义可得出关于、的方程组，即可得出实数、的值；（2）利用导数分析函数的单调性，结合极值的定义可得结果.【解析】（1）由于，该函数的定义域为，，............................................................3分由于函数（、为实数）的图象在点处的切线方程为，则，解得.............................................................7分（2）由（1）可得，该函数的定义域为，，............................................................8分由可得，列表如下：减微小值增所以，函数的减区间为，增区间为，微小值为，无极大值.............................................................13分16．（15分）某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析．运动员甲在接力赛中跑第一棒、其次棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场竞赛，其出场率与出场时竞赛获胜率如下表所示．竞赛位置第一棒其次棒第三棒第四棒出场率0.30.20.20.3竞赛胜率0.60.80.70.7（1）当甲出场竞赛时，求该运动队获胜的概率．（2）当甲出场竞赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第一棒的概率．（3）假如某场竞赛该运动队获胜，求在该场竞赛中甲最可能是第几棒．【答案】（1）0.69；（2）；（3）第四棒【分析】（1）依据全概率公式即得出答案.（2）依据条件概率的计算公式即可求解.（3）由贝叶斯公式，即可做出推断.【解析】（1）记“甲跑第一棒”为大事，“甲跑其次棒”为大事，“甲跑第三棒”为大事，“甲跑第四棒”为大事，“运动队获胜”为大事B，............................................................2分则，所以当甲出场竞赛时，该运动队获胜的概率为0.69．............................................................4分（2），所以当甲出场竞赛时，在该运动队获胜的条件下，甲跑第一棒的概率为........................7分（3），，，............................................................13分所以．所以甲最可能是第四棒．............................................................15分17．（15分）如图，底面是边长为2的菱形，平面.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）先证平面，再证得,从而得平面，即得：平面平面；（2）通过（1）的条件建系，求出相关点的坐标，表示出两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得.【解析】（1）平面平面，.又底面是菱形，.平面平面，................................................3分如图，设交于，取的中点，连，则，因，则，故是平行四边形，则因平面，平面，又因平面平面平面.............................................................7分（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系因，则............................................................9分设平面的法向量为则故可取，............................................................11分又设平面的法向量则故可取.............................................................13分设平面与平面夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为.............................................................15分18．（17分）已知点在椭圆上，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过作直线交椭圆于另一点，求的面积的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）依据椭圆过的点以及离心率，列方程，求出，即得答案；（2）争辩直线斜率存在和不存在的状况，存在时设直线方程，联立椭圆方程，可求得A点坐标的表达式，从而求得的表达式，再求出原点到直线l的距离，即可求得的面积的表达式，结合k的取值范围，即可求得答案.【解析】（1）由题意可得，解得：，所以椭圆的方程为.............................................................4分（2）当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，则点的坐标为，则.............................................................6分当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，（时，三点共线）设，由，消去得，由已知得，则，............................................................8分结合题意得，则，，.....................10分而原点到直线的距离为，............................................................12分所以，...................14分由于，所以且，且，所以，从而，综上可知，的面积的取值范围为.............................................................17分19．（17分）给定正整数，设集合．若对任意，，，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质．（1）分别推断集合与是否具有性质；（2）若集合具有性质，求的值；（3）若具有性质的集合中包含6个元素，且，求集合．【答案】（1）集合不具有性质，集合具有性质；（2）（3），，或【分析】（1）依据性质的定义，即可推断两个集合是否满足；（2）依据性质的定义，首先确定，再争辩是否属于集合，即可确定的取值，即可求解；（3）首先确定集合中有0，并且有正数和负数，然后依据性质争辩集合中元素的关系，即可求解.【解析】（1）集合中的，，所以集合不具有性质，............................................................2分集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合，所以集合具有性质；............................................................4分（2）若集合具有性质，记，则，令，则，从而必有，不妨设，则，且，............................................................6分令，，则，且，且，以下分类争辩：1）当时，若，此时，满足性质；若，舍；若，无解；2）当时，则，留意且，可知无解；经检验符合题意，综上；............................................................9分（3）首先简洁知道集合中有0，有正数也有负数，不妨设，其中，，依据题意，且，从而或，.............................11分1）当时，，并且，，由上可得，并且，综上可知；............................................................14分2）当时，同理可得，据此，当中有包含6个元素，且时，符合条件的集合有5个，分别是，，或.............................................................17分【C组】（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数（1）求的单调区间及最值（2）令，若在区间上存在极值点，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为，无最小值；（2）．【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，进而求出最值；（2）对求导，再令，求导得到其单调性，进而求出，结合，，结合函数存在极值点，得到不等式，求出答案.【解析】（1）的定义域为，，............................................................2分令，解得，即的单调递增区间为；令，解得，即的单调递减区间为．.....................................4分故，无最小值；............................................................6分（2）由于，所以，............................................................7分令，则，令，得；令，得；又，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，，．..........................................10分若在上存在极值点，则或，解得或，所以实数a的取值范围为．............................................................13分16．（15分）2025年12月11日至12日中心经济工作会议在北京进行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.进展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.（1）求该型号新能源汽车参与两项测试仅有一次为合格的概率；（2）求离散型随机变量的分布列与期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为【分析】（1）设出大事，得到相应的概率，相加后得到答案；（2）得到随机变量的可能取值及对应的概率，得到分布列和数学期望.【解析】（1）记大事为“该型号新能源汽车参与碰撞测试的得分为分”，则，，.............................................................3分记大事为“该型号新能源汽车参与续航测试的得分为分”，则，，.............................................................6分记大事为“该型号新能源汽车参与两项测试仅有一次为合格”，则，则该型号新能源汽车参与两项测试仅有一次为合格的概率为...........................................8分（2）由题知离散型随机变量的全部可能取值分别为2，4，6，8，10，，，，，，............................................................13分则离散型随机变量的分布列为246810所以数学期望............................................15分17．（15分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为等边三角形，点M，N分别为AB，PC的中点．（1）证明：直线平面PAD；（2）当二面角为120°时，求直线MN与平面PCD所成的角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）作出帮助线，由中位线得到线线平行，进而得到线面平行；（2）作出帮助线，得到，求出各边长，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式求出答案.【解析】（1）取PD中点E，连接AE，NE，∵N为PC中点，∴且，............................................................2分又∵且，∴且，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD．..................................................6分（2）连接，取AD中点F，连接，由于底面是菱形，，所以为等边三角形，故⊥，由于为等边三角形，所以⊥，故为二面角的平面角，由于二面角为，故，............................................................9分以为坐标原点，所在直线分别为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，设，则，，∴，，，，∴，，，，，，.............................11分设平面PCD的一个法向量，故，令得，故，............................................................13分设MN与平面PCD所成角为，∴．......................................15分18．（17分）已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为1.（1）求的方程.（2）过点的直线与交于不同的两点A，B，问：在轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，【分析】（1）依据题意列出关于的方程组，解之即得；（2）由题意可设直线的横截距方程，与双曲线方程联立消元得到一元二次方程，得出韦达定理，不妨假设存在点，求出的表达式，代入韦达定理，化简后分析即得.【解析】（1）设双曲线的半焦距为，则双曲线的渐近线方程为.由题可知解得故的方程为:...........................................4分（2）①当直线的倾斜角不为0时，如图，设直线的方程为.联立直线与双曲线的方程可得消去，整理得：.............................................................6分明显且，设，，则，...............................................8分假设存在点，满足为定值，则，............................................................11分故当时，，为定值，此时点.................................13分②当的倾斜角为0，即为轴时，不妨设，，取，此时为定值.综上，当点的坐标为时，为定值.............................................................17分19．（17分）已知数列为有穷正整数数列.若数列A满足如下