2026届邵阳市高三上学期第一次联考数学试卷（含答案）

2026年邵阳市高三第一次联考试题卷本试卷共4页,19个小题。满分注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。将条形码横贴在2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.保持答题卡的整洁。考试结束后,只交答题卡,试题卷自行保存。一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|-1<x<3},B={x∈N|x2-3x-4≤0},则A∩B=A.(-1,3)B.[-1,3]C.{1,2}D.{0,1,2}2.已知在复平面内,△OAB为等边三角形,点O为坐标原点,点A对应的复数为1+3i,点B在第二象限,则点B对应的复数的虚部为3.设甲:数列{an}满足2an+1=an+an+2(n∈N∗),乙:数列{an}是等差数列,则甲是乙的A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知非零向量a,b满足a=2b,2a+b=a-b,则向量a在向量b上的投影A.-2bB.2bC.-3b(5.已知直线l:3x+4y-2=0与圆C:x2+y2-2x-2y-2=0相交于A,B两点,则劣弧AB的长为6.已知实数x,y满足(2024x+1)2025+2024x2025-2026y则A.2024x=2026y-1B.2024x=2026y+1C.2024x=2026y-3D.2024x=2026y+32026年邵阳市高三第一次联考试题卷(数学)第1页(共4页)2026年邵阳市高三第一次联考试题卷(数学)第2页(共4页)7.已知随机变量X~N(2,3),正实数a,b满足P(x≤3a+2)=P(x≥4b-1),则的最小值为则x1+32x2的取值范围为二、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.已知双曲线E:,b>0)的离心率为,左、右焦点分别为F1(-7,0),,过F2的直线与E的右支相交于P,Q两点,则下列结论错误的是..A.E的方程为B.PQ≤3C.E的渐近线方程为x±3y=0D.当F1F2=2OP时,△PF1F2的面积为310.已知函数f(x)=Asin(wx+φ)的部分图象如图(一)所示,则下列说法正确的是=6C.把函数y=f(x)的图象向左平移π个单位后得到函数6y=g(x)的图象,则y=g(x)为偶函数图(一)D.若函数f(x)的导函数为h(x),则h(x)的图象关于图(一)11.已知圆台O1O2的上、下底面的面积分别为9π和16π,则下列结论正确的是A.若圆台O1O2存在内切球,则内切球的体积为323πB.若圆台B.若圆台OO的母线与下底面所成的角为60°则圆台OO的外接500π3C.若圆台O1O2的外接球的体积为,则圆台O1O2的表面积为25π+352π3D.若圆台O1O2的外接球的体积为,则圆台O1O2026年邵阳市高三第一次联考试题卷(数学)第3页(共4页)三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)12.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,a4=16,则S4=.13.已知多项式(ax-2)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,若a1+a3+a5=16,则a=.14.已知正四面体ABCD的棱长为42,用满足MA2+MB2=MC2+MD2的动点M构成的平面截正四面体ABCD,则所得截面的面积为.四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(1)若ac=2,求△ABC的外接圆的半径;(2)若cosA,b=2,求△ABC的面积.16.(15分)如图(二),在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB⊥AD,AD∥BC,AD=AP=2,AB=BC=1,PA⊥平面ABC,E为棱PD上的点.(1)当E为棱PD的中点时,证明:EC∥平面PAB;(2)在棱PD上是否存在点E,使得平面PAC与平面EAC的夹角的余弦值为若存在,请确定点E的位置;若不存在,请说明理由.图(二)2026年邵阳市高三第一次联考试题卷(数学)第4页(共4页)17.(15分)国家近年来对机器人的研究,尤其是在人形机器人和具身智能领域方面,出台了一系列的政策,旨在推动技术创新、产业升级和规模化应用.某学校为响应国家号召,培养学生的创新能力,举办机器人比赛,经过初赛,甲班团队和乙班团队进入了决赛阶段.决赛阶段规定:对每一轮比赛,获胜方记1分,另一方记0分,无平局;当两团队累积得分的分差为3分时,比赛结束,累积得分高的团队获冠军.若每轮比赛中,甲班团队获胜的概率为,且每轮比赛的结果相互独立.(1)若比赛结束时恰好进行了3轮比赛,求甲班团队获得冠军的概率;(ⅱ)若比赛轮数不限制,求甲班团队获得冠军的概率.18.(17分)已知椭圆E:的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e,过F2的直线l交E于A,B两点,△ABF1的周长为8.(1)求E的方程;(2)过点F2且与l垂直的直线与E相交于C,D两点,A,C在x轴的上方,M,N分别为线段AB,线段CD的中点,直线AC与直线BD相交于点R.(ⅰ)直线MN是否过定点?若过定点,请求出定点坐标;若不过定点,请说明理由;(ⅱ)求△MNR的面积的最小值.19.(17分)若函数f(x),g(x)对任意x1∈D,总存在唯一的x2∈D,使f(x1)+g(x2)=k成立,则称f(x)是g(x)在区间D上的“k阶和函数”.特别地,当f(x)=g(x)时,称f(x)为区间D上的“k阶自和函数”.(1)判断函数f(x)=log3(x+1)是否为区间[2,26]上的“3阶自和函数”;(2)若函数f是g(x)=x2-2ax+a2-1在区间[0,2]上的“2阶和函数”,求实数a的取值范围;φ(x)=(x-a-log23)lnx+(b-1)(x2-2x)有两个零点x1,x2,证明:2<x1+x2026年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准数学一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)题号12345678答案DCAABBDC8.C【解析】由f=x得ax设y1=ax的图象与y的图象的交点为ax的图象与y的图象的交点为B.因为y1=ax的图象与y2=logax的图象关于直线y=x对称,y的图象也关于直线y=x对称,所以点A与点B关于直线y=x对称,故xx1+32x2=x当a=2时,x1=1;故选项C正确.二、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)题号9答案BCABDAD11.AD【解析】取圆台O1O2的一个轴截面ABCD,则AB=6,CD=8,如图(1)所示.对于选项A,过点B作CD的垂线BG,交CD于点G,连接O1O2,则O1O22=BG2=(3+4)2-12=48,所以内切球直径O1O2=43,内切球半径r=23,所以圆台O1O2的内切球体积V故选项A正确;对于选项B,如图(2),在轴截面ABCD中,BG⊥DC于点G.因为∠BCG=60°,CG=1,所以BG=3.设OO1=x,则R2=x2+32=42+(x-3)2,所以x所以圆台O1O2的外接球面积S=4πR故选项B错误;图(1)图(2)2026年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学)第1页(共8页)2026年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学)第2页(共8页)对于选项C,因为,所以R=5.如图(3)所示,当外接球球心点O在O1O2之间时,圆台O1O2的母线BC=72+12= 2+当外接球球心点O在O1O2的延长线上时,如图(4)所示,圆台图(3)V=;当h=1时,V=,故选项D正确.图(4)以点A为坐标原点,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(4,4,0),C(0,4,4),D(4,0,4).设M(x,y,z),则MA2+MB2=x2+y2+z2+(x-4)2+(y-4)2+z2,MC2+MD2=x2+(y-4)2+(z-4)2+(x-4)2+y2+(z-4)2.因为MA2+MB2=MC2+MD2,所以z=2,即点M构成的平面截正四面体所得的截面为正方形PQRS,边长为22,故截图(5)解:(1)在△ABC中,因为sin2B+3sinAcosBsinC-2sin2C=0,所以由正弦定理和余弦定理2+3acc2=0.所以b2=3a2-c2.………2分因为a=2,c=2,所以b2=2.故a2+b2=c2,△ABC为直角三角形.…4分所以△ABC的外接圆的半径为1.……………………6分因为cosA所以3b2+3c2-3a2=4bc.又b2=3a2-c2,且b=2,所以c2-4c+4=0.……………10分2026年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学)第3页(共8页)所以c=2,S△ABCbcsinA……1所以c=2,S△ABCbcsinA……13分解:(1)取棱PA的中点Q,连接EQ,BQ,如图(6)所示,则QE∥AD,QEAD.所以QE丛BC,四边形QBCE为平行四边形,图(6)所以EC∥QB 又因为QB⊂平面PAB,EC⊄平面PAB,所以EC∥平面PAB (2)如图(7)所示,以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,→→→则AC=(1,1,0),AP=(0,0,2),PD=(0,2,-2).…6分取线段AC的中点为F,连接BF,由题意可知:BF⊥平面PAC,可得,则取平面PAC的一个法向量为m1,0).………………8分图(7)3假设在棱PD上存在点E,使得平面PAC与平面EAC→→→→→设PE=λPD(0≤λ≤1),则AE=AP+PE=(0,2λ,2-2λ).……………9分设n=(x,y,z)为平面EAC的一个法向量,则z=0,取y=1-得设平面PAC与平面EAC的夹角为θ,解得λ=2(舍)或.………………14分此时点E为棱PD上靠近点D的三等分点.…………15分2026年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学)第4页(共8页)解:(1)设事件Ai为“第i轮比赛甲班团队获胜”,由题意得P,2,3).设事件C表示“当比赛结束时恰好进行了3轮比赛,且甲班团队获得冠军”,因为每轮比赛的结果相互独立,则故甲班团队获得冠军的概率为.……………………3分所有可能值为3,5.所以P(X=3)=P(A1A2A3∪A1A2A3)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=3+)3=.……………5分所以X的分布列为X35P 3 3………………所以E…………8分(ⅱ)设事件E表示“比赛轮数不限制,甲班团队获得冠军”.设比赛过程中,甲班团队与乙班团队累积得分的分差为Y,P(Y=k)表示Y=k时最终甲班团队获得冠军的概率,其中k∈{-3,-2,-1,0,1,2,3}.由题意知P(Y=3)=1,P(Y=-3)=0,P(Y=0)=P(E).……………10分根据全概率公式有P,k∈{-2,-1,0,1,2}.………11分所以P-P迭代得所以P-P=[P(Y=-2)-P(Y=-3)]=P(Y=-2).2026年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学)第5页(共8页)所以P-P累加得P(Y=3)-P(Y=-2)=(++++)·P…13分所以P故P+P即P故若比赛轮数不限制,甲班团队获得冠军的概率为.………………15分解:(1)因为△ABF1的周长为|AB|+|AF1|+|BF1|=|A所以a=2.………………2分所以b2=a2-c2=3,所以椭圆E的方程为………4分设直线l:x=my+1(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).将x=my+1代入,整理得(3m2+4)y2+6my-9=0.…………5分则Δ>0,y1+yy1y所以yMxM=myM所以M同理可得N).……………6分44m27分2026年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学)第6页(共8页)所以直线MN的方程为x-=y+,即x=y+,所以直线MN过定点.…………9分(ⅱ)连接AD,设H为线段AD的中点,直线NR,MR分别与AD相交于点S,T,连接NH,MH,RH,NA,MD,如图(8)所示.因为M,N,H分别为AB,CD,AD的中点,所以MH∥BD,NH∥AC.则S△NAR=S△HAR,S△MDR=S△HDR.所以S△NAS=S△RSH,S△MDT=S△RTH.图(8)故S△MNR=S四边形MNAD.………………12图(8)由知,|ABy1-y同理可得|CD,…………14分 18(1+m2)272≥2=49,…………………16分当且仅当3m2+4=4m2+3时,即m= 18(1+m2)272所以△MNR的面积的最小值为.……………………17分解:(1)对于∀x1∈[2,26],有f(x1)=log3(x1+1)∈[1,3].…………1分如果存在x2∈[2,26],使得log3(x1+1)+log3(x2+1)=3.则必有log3(x2+1)=3-log3(x1+1)∈[令x1=26,则x2=0∉[2,26],所以f(x)不是“3阶自和函数”.………3分(2)函数f(x)=在区间[0,2]上的值域为[1,2].因为f(x)=是g(x)=x2-2ax+a2-1在区间[0,2]上的“2阶和函数”.所以对任意x1∈[0,2],总存在唯一的x2∈[0,2],使得f(x1)+g(x2)=2成立,2026年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学)第7页(共8页)所以g(x2)=2-f(x1)∈[0,1],…………4分所以g(x)=x2-2ax+a2-1在[0,2]上的值域必定包含区间[0,1],且当g(x)=m,m∈[0,1]时,方程的解在[0,2]上是唯一的.…………5分又因为函数g(x)=x2-2ax+a2-1的图象开口向上,对称轴为x=a,当a≤0时,g(x)在[0,2]上单调递增,则必有解得-1≤a≤0.……………6分当a≥2时,g(x)在[0,2]上单调递减,则必有解得2≤a≤3.……………7分当0<a≤1时,g(x)在[0,a]上单调递减,在[a,2]上单调递增,ìg(a)=-1≤0,则必有íg(0)=a2-1<0,解之得:0<a≤2-2;lg(2)=a2-4a+3≥1,当1<a<2时,g(x)在[0,a]上单调递减,在[a,2]上单调递增,ìg(a)=-1≤0,则必有íg(2)=a2-4a+3<0,解之得:2≤a<2.………8分l