数学故事中的智慧：基于《曹冲称象》等量替换思想的数学建模初探

数学故事中的智慧：基于《曹冲称象》等量替换思想的数学建模初探一、教学内容分析  本节课内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“图形与几何”领域下“测量”主题，并深度关联“综合与实践”领域对问题解决能力的要求。课程标准要求学生在具体情境中，感受并认识克、千克、吨，能进行简单的单位换算，并强调通过实际操作和问题解决，发展学生的量感、推理意识和模型意识。本课以经典历史故事“曹冲称象”为锚点，其教学价值远超一个简单的历史典故或质量单位复习课。它实质上是一个完整的、生动的“数学建模”启蒙案例：将“称量大象体重”这一现实难题，通过“等量替换”思想，转化为“称量等质量石头”这一可操作问题。知识技能图谱上，它统整了质量单位的感知与应用，更是过程方法路径上“转化与化归”数学思想的具象化载体。学生将在分析、模拟、推理曹冲方案的过程中，亲身经历“发现问题提出假设设计解决方案验证优化”的准科学探究流程。其素养价值渗透在于，通过跨越历史与数学的对话，引导学生感悟古人智慧中的理性光芒，培育在面对复杂问题时，能创造性地运用数学工具（如等量替换）构建简化模型的意识和能力，这正是“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”核心素养的鲜活体现。  从学情诊断来看，三年级学生已初步建立了千克和吨的质量观念，具备简单的测量与比较经验，对故事性内容兴趣浓厚。然而，他们的思维正从具体形象向抽象逻辑过渡，将具体故事中的方法抽象为普适的数学模型（等量替换原理）是潜在的认知障碍。常见的误区可能包括：仅将故事视为一个“妙招”，而未能洞悉其背后的数学原理；或在自主设计替换方案时，思维局限，难以迁移到其他对象（如水、人等）。因此，教学需设计层次递进的活动：前测可通过“你怎么知道一头大象有多重？”的开放性提问，探查学生的原始认知水平和思维活跃度；过程评估则贯穿于小组讨论、方案设计与分享中，通过观察记录、追问启发表征学生的理解深度。教学调适策略上，将为思维敏捷者提供开放性的拓展挑战（如：“如果船上站的不是石头而是人，需要考虑什么？”），为需要支持者提供结构化的思考支架（如：“分几步完成？每一步要解决什么问题？”）和直观的操作材料，确保所有学生都能在“最近发展区”内获得成功体验。二、教学目标  知识目标：学生能清晰复述曹冲称象的主要步骤，并能够运用自己的语言解释其背后的基本原理——等量替换（即相同水位线下，大象的重量等于船上石头的总重量）。他们不仅理解“替换”的行为，更能理解“等量”是这一方法成立的核心前提，并能将其与已学的质量单位（吨、千克）建立联系，进行合理的估测与简单计算。  能力目标：在模拟称象的实验活动中，学生能够以小组为单位，合作设计并执行一个简化的“等量替换”测量方案。他们需能有序地进行操作、观察和记录数据，并尝试用图示或语言清晰地表述方案逻辑。最终，能基于实验过程进行初步的归纳推理，总结出运用等量替换思想解决复杂测量问题的一般思路。  情感态度与价值观目标：通过沉浸于历史与数学融合的情境，学生能感受到古代智慧与数学思维的魅力，激发对数学探究的持久兴趣和民族文化自信。在小组协作设计方案的环节中，能积极倾听同伴意见，勇于表达自己的设想，共同面对和解决操作中遇到的实际问题，体验团队合作的价值与乐趣。  科学（学科）思维目标：本节课重点发展学生的“模型意识”与“推理能力”。引导他们将“曹冲称象”这一具体案例，抽象、概括为“等量替换”的数学模型。通过“为什么石头可以代替大象？”“水位线起了什么作用？”等核心问题链，驱动学生进行步步深入的逻辑推理，从具象操作走向抽象原理，初步经历数学建模的过程。  评价与元认知目标：在方案分享与互评环节，学生能依据“步骤清晰、原理正确、具有可操作性”等简易标准，对自身及他人的设计方案进行简要评价。在课堂小结时，能回顾学习历程，反思“我从故事中学到的最重要的数学思想是什么？”“我还能用它解决什么问题？”，初步形成对自身学习策略与收获的认知。三、教学重点与难点  教学重点：理解并初步应用“等量替换”的数学思想解决简单的测量问题。此重点的确立，紧扣课标对“模型意识”和“应用意识”的培养要求。它并非孤立的知识点，而是统领本课所有活动的“大概念”，是连接故事情境与数学本质的核心枢纽。掌握这一思想，学生便能超越故事本身，将其迁移到更广泛的、涉及间接测量与化繁为简的问题情境中，为后续学习更复杂的等量代换、方程思想乃至物理中的浮力原理奠定思维基础。  教学难点：将“曹冲称象”的具体操作过程，抽象、内化为“等量替换”的普遍数学模型，并能进行简单的迁移应用。难点成因在于，三年级学生的思维抽象水平有限，极易停留在“故事很有趣，方法很巧妙”的表层，而难以剥离具体情境（船、水、石头），洞察到“寻找一个中间等量实现转化”这一普适性策略。突破的关键在于，设计从具象模拟到半抽象图示，再到语言概括的认知阶梯，并提供变式情境（如：如何用一杯水和几个相同砝码称出一块不规则橡皮泥的重量？），让学生在类比应用中完成思维跨越。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件（包含《曹冲称象》动画片段或图片、关键问题提示、分层练习）；大型塑料水箱或透明容器一个；小型玩具船一艘；大象玩偶一个；若干小石子（或相同质量的积木块）；电子秤一台；记号笔一支。1.2学习材料：“智慧称象”学习任务单（包含故事步骤排序、实验记录表、方案设计区）。2.学生准备2.1预习与物品：回顾《曹冲称象》的故事；携带铅笔、尺子等文具。2.2环境布置：教室桌椅调整为46人小组合作形式，中间预留实验演示区。黑板划分为“故事区”、“原理区”、“应用区”。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设与冲突激发：教师出示大象的高清图片，并提问：“孩子们，如果想知道这头大象到底有多重，你有什么办法？大家开动脑筋想一想。”预设学生可能提出“用超级大的秤”、“切成一块一块再称”等天真或“暴力”的想法。教师顺势引导：“大家的想法都很有创意，但在古代，没有电子秤，更没有起重机，这可难倒了所有人。当时一位叫曹操的大官，就遇到了这个难题，他手下的人都想不出好办法。”  1.1故事切入与问题提出：播放或简述《曹冲称象》故事至众人无策处暂停。“就在这时，曹操七岁的儿子曹冲站了出来，他说他有办法！你们想知道这个七岁孩子想出了什么惊为天人的妙计吗？”由此，自然引出本节课的核心驱动问题：“曹冲的办法妙在哪里？这背后藏着怎样的数学智慧？”  1.2路径明晰：“今天，我们就化身小小数学家，一起穿越回古代。首先，我们要当‘故事侦探’，拆解曹冲的每一步操作；然后，我们要做‘实验达人’，亲手模拟这个办法；最后，我们要成为‘智慧提炼师’，找出这个办法里放之四海皆准的数学道理。准备好了吗？我们的探究之旅，开始！”第二、新授环节  任务一：故事侦探——拆解称象步骤  教师活动：完整播放或讲述曹冲称象的故事。随后，在课件上打乱显示关键步骤卡片（如：①把大象赶上船，画水位线；②赶象下船；③往船上装石头，直到船沉到画线处；④称出石头总重量）。教师引导学生：“故事听完了，曹冲的办法一共分几步？每一步的关键动作是什么？请小组合作，给这些步骤排排序，并说说为什么必须按这个顺序？”教师巡视，聆听各小组讨论焦点，适时介入提问：“如果先装石头再赶大象上船，会怎样？”引导学生关注步骤间的逻辑依存关系。  学生活动：小组合作，对打乱的步骤卡片进行排序，并讨论排序理由。推选代表分享排序结果及原因，尝试用连贯的语言复述称象过程。其他小组可以补充或提出异议。  即时评价标准：1.排序是否正确，逻辑是否清晰。2.复述时能否抓住“赶象上船画线赶象下船装石至线称石”的核心动作链。3.小组讨论时是否每个成员都有参与和贡献。  形成知识、思维、方法清单：★核心步骤序列化：曹冲称象是一个严谨的、有序的操作流程，顺序不可颠倒，每一步都为下一步创造条件。▲逻辑推理初体验：理解步骤间的因果关系，是进行科学方案设计的基础。教学提示：“同学们排得又快又好！看来大家都抓住了故事的‘骨架’。但光知道步骤还不够，我们还得挖出步骤里的‘灵魂’。”  任务二：关键点深究——为什么石头能代替大象？  教师活动：聚焦核心原理。提问：“曹冲为什么能用一堆石头的重量，知道大象的重量？这里的‘秘密武器’是什么？”引导学生关注“船沉到同一个地方（水位线）”。利用课件动画或板画，动态演示两次船沉到同一水位线的情景。追问：“船两次沉到同一位置，说明了什么？”如果学生回答“重量一样”，则进一步追问：“是什么的重量一样？是石头和大象长得一样吗？”引导学生精确表述：“是船和它承载的物体的总重量一样”。引出“等量”的概念：“也就是说，大象的重量，被我们转化成了……？”  学生活动：观察动画演示，思考并回答教师的系列追问。尝试用自己的话解释“为什么石头重量等于大象重量”。可能会说：“因为船沉下去一样深，所以东西一样重。”教师需引导其完善表述。  即时评价标准：1.能否将观察到的现象（水位相同）与核心结论（重量相等）建立联系。2.表达时是否尝试使用“转化”、“代替”、“等于”等关键词。  形成知识、思维、方法清单：★等量替换原理：当船在水中，承载物不同但使船下沉深度（吃水线）相同时，两次承载物的重量相等。这是本课最核心的数学原理。★转化思想：将无法直接测量的大象重量，转化为可以分次测量的石头重量，这是一种重要的数学解题策略——化难为易，化大为小。教学提示：“水位线就像一个‘公平的裁判’，它告诉：到这里，重量相等！这就是‘等量替换’，咱们数学里一个超级厉害的思想！”  任务三：动手模拟——验证与感受  教师活动：邀请学生代表上台，进行简易模拟实验。指导操作：先将小船放入盛水容器，将大象玩偶放入船中，教师用记号笔在船帮与水面的交界处画线。然后取出大象，问：“接下来该怎么做？石头们，你们准备好上场了吗？”指导学生分批将小石子放入船中，直到水面再次触及记号线。最后，将船中所有石子取出，用电子秤称出总重量。“这个总重量，相当于谁的重量？”“我们成功‘称’出大象了吗？”  学生活动：代表上台动手操作，其他学生聚精会神观察，并齐声回答教师的提问。在关键节点（如画线、石子加到线）时，学生会情不自禁地发出提示或欢呼。记录员在学习任务单上记录模拟过程和“大象”（玩偶）的“称量”结果。  即时评价标准：1.操作是否规范、有序（尤其是画线和加石头至线的过程）。2.观察是否仔细，能否同步口述实验步骤与原理。3.小组记录是否准确、完整。  形成知识、思维、方法清单：★实践出真知：通过模拟实验，将抽象的原理和故事步骤转化为直观、可感的具体操作，加深理解。▲测量中的误差意识：认识到在实际操作中，画线的精确度、石子的添加方式都可能影响结果，初步接触“误差”概念。教学提示：“看，我们的小科学家们成功地用古代智慧完成了测量！虽然我们的‘大象’很小，但道理一模一样。实践是检验真理的唯一标准！”  任务四：方案设计师——等量替换的迁移  教师活动：提出新挑战：“曹冲用石头替换大象。如果现在我们没有石头，但有一群体重差不多的小朋友，能不能也用这个办法，大致称出讲台（或一个重箱子）的重量呢？请小组合作，设计一个‘用人称物’的方案草图。”教师提供思维支架：“1.我们需要什么工具？（提示：船、水）2.分几步？3.怎样确保‘等量’？（关键动作是什么）”  学生活动：小组展开头脑风暴，绘制方案草图或用文字简述步骤。可能会争论是用真人上船还是用玩具小人代替，如何保证每个人体重“差不多”等实际问题。设计完成后，进行组间交流分享。  即时评价标准：1.方案是否体现了“等量替换”的核心思想（有船、有水、有标记、有替换物）。2.步骤设计是否合理、具有逻辑性。3.是否考虑了方案的实际可行性（如替换物的选择）。  形成知识、思维、方法清单：★模型迁移应用：将“石换象”的模型迁移到“人换物”的新情境，检验对原理的理解深度。▲创造性思维与条件反思：替换物（人）的特性（体重差异）带来了新问题，促使学生思考模型的适应条件与优化可能。教学提示：“从石头到小朋友，替换的对象变了，但‘等量替换’的魂没变。这就是数学模型的威力！”  任务五：智慧命名——提炼数学思想  教师活动：引导学生回顾整个探究过程。“从拆解步骤，到发现原理，再到动手验证，最后设计新方案。我们一直在用的、最核心的数学思想，谁能给它起个名字？”鼓励学生基于“相等”、“替换”、“转化”等关键词来命名。最后，教师进行学术化提升：“在数学上，我们把它叫做‘等量替换’或‘等量代换’。它就像一座桥，把一座我们过不去的‘大山’（大象重量），变成一堆我们可以轻松走过的‘小石子’。”  学生活动：回顾与反思，尝试概括并命名核心思想。可能提出“替换法”、“等重法”、“转化法”等名称。聆听教师总结，在“本节知识清单”上记录“等量替换”这一核心术语。  即时评价标准：1.概括是否准确指向“相等”与“替换”两个核心要素。2.能否理解“桥”的比喻，体会该思想在解决问题中的桥梁作用。  形成知识、思维、方法清单：★数学思想提炼：“等量替换”是解决一类问题的通用思想方法。★模型意识初步形成：认识到具体问题背后可以抽象出通用的数学模型，并用于解决新问题。教学提示：“今天我们不仅听了一个故事，做了一次实验，更收获了一把万能的金钥匙——等量替换。以后遇到复杂问题，记得问问自己：我能找到那座‘桥’吗？”第三、当堂巩固训练  设计分层练习，学生根据自身情况选择完成至少一组。  基础层（巩固原理）：看图填空。出示曹冲称象的连环画，在关键步骤处留空，让学生填写“赶象上船”、“装石头”等动作，并回答“为什么石头的重量就是大象的重量？”（因为船沉到______）。  综合层（简单应用）：情境问题。“一个装满水的玻璃瓶，瓶口密封，无法直接测量其重量。但有一个天平、若干颗相同的玻璃珠和一盆水。你能利用等量替换的思想，设计一个测量瓶子自重（不含水）的方法吗？”（提示：将瓶放入水中标记位置，后用玻璃珠替换，使水位相同，则瓶子自重等于玻璃珠重）。  挑战层（迁移与开放）：“如果没有船和水，只有一根均匀的木棍、一个支点和一些已知重量的砝码，你能想办法称出一个苹果的重量吗？想想我们刚才学的思想。”（连接杠杆原理，同样是等量平衡思想的不同表现形式）。反馈机制：基础层练习通过集体核对、手势判断快速反馈。综合层与挑战层练习，选取有代表性的学生方案进行投影展示，由“小老师”讲解，其他学生质疑或补充，教师最后点评并梳理思路的闪光点与可改进之处。特别关注不同层次学生在解决问题时对“等量”这一核心的把握程度。第四、课堂小结  引导学生进行结构化总结：“同学们，这节课的探索之旅即将到站。请大家闭上眼睛，回想一下，你脑海中最深刻的画面或最重要的收获是什么？”请几位学生从不同角度分享（知识、方法、感受）。然后，教师带领学生共同完善板书“原理区”：核心思想——等量替换；关键步骤——标记等量、进行替换、测量替换物。作业布置：必做（基础性）：1.将“曹冲称象”的数学道理讲给家人听。2.完成学习任务单上的原理填空题。选做（拓展性/探究性）：1.（拓展）查阅资料，了解现代还有哪些测量巨大或微小物体重量的高科技方法，比较它们与“等量替换”思想的异同。2.（探究）尝试设计一个方案，测量一袋空气的重量（提供材料提示：气球、天平、小石子等）。最后，留下思考题：“等量替换的思想，在生活中、在其他学科里，你还能找到它的影子吗？下节课我们来分享你的发现。”六、作业设计  基础性作业（全体必做）：  1.故事讲述官：向你的爸爸、妈妈或好朋友，完整讲述《曹冲称象》的故事，并重点说明“为什么石头的总重量就是大象的重量”。请他们为你签个字或录一段音。  2.原理巩固站：完成学习任务单上的“原理我知道”部分，包括关键步骤排序（巩固）和填空（船沉到______，说明______和______的重量相等）。  拓展性作业（建议大多数学生完成）：  情境设计师：小明想测量家里一个巨大鱼缸里所有水的重量，但鱼缸无法搬动。请你运用“等量替换”的思想，为他设计一个测量方案。方案需包含：所需工具、简要步骤和原理说明。（提示：可以利用空桶、已知重量的小容器等进行思考）。  探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：  小小研究员：挑战“空气有重量吗？”的探究。提供思维阶梯：①猜想：空气有重量吗？②设计：如果给你一个打足气的气球、一些细沙、一架天平，你能设计实验验证猜想吗？（提示：先称量充满气的气球，再放掉气称量，注意控制变量）③结论与思考：你的发现是什么？这个实验中，哪里用到了“等量”或“替换”的思想？七、本节知识清单及拓展  ★1.曹冲称象关键步骤：①赶象上船，沿水面在船舷上做标记；②赶象下船；③往船上装石头，直到船下沉到标记处为止；④分批称出石头的重量，相加即得大象重量。步骤顺序体现了严密的逻辑性。  ★2.等量替换原理（核心）：当载体（如船）和测量环境（如水）相同，且使其状态（如吃水深度）达到同一标准（标记线）时，两次承载物体（大象与石头）的质量相等。这是将不可直接测量量转化为可直接测量量的桥梁。  ▲3.转化与化归思想：把复杂、困难、无法直接解决的问题（称大象），转化为简单、容易、可以解决的问题（称石头）。这是数学中最基本、最重要的思想方法之一。  ★4.数学模型意识：“曹冲称象”不仅是一个故事，更是一个具体的“等量替换”数学模型实例。模型具有普适性，可应用于其他类似情境。  ▲5.误差的初步认识：在实际操作中，画线的精确度、替换物（石头）的形状和放置方式、水面的波动等，都会对最终结果产生影响，这引入了“测量误差”的早期概念。追求精确是科学测量的一贯目标。  ▲6.方案设计的要素：一个完整的测量方案需考虑：目标、原理、工具、步骤、数据记录与处理。曹冲的方案具备了这些要素的雏形。  ★7.质量单位的联系：在估测中，需合理使用吨、千克等单位。一头成年亚洲象体重约35吨，相当于约（30005000）千克。  ▲8.历史与STEM的联系：该故事是古代中国将工程（造船）、技术（利用浮力）、数学（等量计算）融合解决实际问题的典范，体现了早期的STEM（科学、技术、工程、数学）跨学科思维。八、教学反思  （一）教学目标达成度分析本节课预设的核心目标——理解“等量替换”思想，通过故事拆解、模拟实验、方案设计三个核心任务的层层递进，大多数学生能够达成。从课堂提问和巩固练习反馈看，超过80%的学生能准确解释“为什么石头重量等于大象重量”，并能识别新情境中“等量”关系的存在。能力目标方面，小组合作设计“用人称物”方案时，虽显稚嫩，但均能抓住“标记水位线”和“用人替换”的关键，表明模型迁移初步实现。情感目标在学生的惊叹声、实验成功的欢呼声和积极的设计讨论中得以自然达成。  （二）教学环节有效性评估导入环节的认知冲突设置成功激发了探究欲。“故事侦探”任务有效梳理了逻辑顺序；“关键点深究”的系列追问是突破抽象难点的关键，但过程中发现，部分学生理解“船和承载物的总重相等”仍有困难，后续需用更简化的比喻（如“翘翘板两边平衡”）辅助理解。动手模拟环节是高潮，将抽象原理具象化，效果显著。“方案设计师”任务是试金石，暴露了部分学生迁移应用的僵化，需加强变式训练。  （三）学生表现差异化剖析课堂中，约三成学生（思维敏捷型）能迅速抓住原理本质，并在拓展挑战中提出“用相同的水替换”等创新想法