2025-2026学年江苏省苏州市新草桥中学高三（上）期末数学模拟试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省苏州市新草桥中学高三（上）期末数学模拟试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设i为虚数单位，若复数z=3+i1−i，则|z|=(

)A.1 B.2 C.2 D.2.已知集合U={x|x<8,x∈N∗}，A={1,2,3}，B={3,4,5}，那么∁A.{1,2} B.{3,4} C.{5,6} D.{6,7}3.某气象爱好者为了解本地冬季的气温变化规律，特记录了本地过去10天的最低气温的数据(单位：℃)，结果如下：7，7，5，2，3，6，6，7，4，3，则这10天的最低气温的(

)A.极差为4 B.中位数为6 C.平均数为5 D.方差为34.设α，β∈R，则“sinα=sinβ”是“α+β=π”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上是增函数，则f(−2)、f(1)、f(3)的大小关系是(

)A.f(−2)<f(1)<f(3) B.f(−2)>f(1)>f(3)

C.f(1)<f(−2)<f(3) D.f(1)<f(3)<f(−2)6.若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西60°方向，且|OA|=|OB|=2km，则向量OA+OB表示(

)A.从点O出发，朝北偏西60°方向移动23kmB.从点O出发，朝北偏西75°方向移动23km

C.从点O出发，朝北偏西60°方向移动2kmD.7.设O为坐标原点，A，B是抛物线C：x2=2py(p>0)与圆E：x2+(y−8)2=r2A.4 B.2 C.43 D.8.设0<α<π，函数f(x)=sin(x+α)(0<x<π)满足xf(x)≤αsin2α，则α落于区间(

)A.(0,12) B.(12,1)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在正方体ABCD−A1B1C1D1A.B1C1//平面ADMB.CD1与BC1所成的角为45°

C.平面A1DM⊥平面10.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3a2+bA.若sinA：sinB：sinC=5：4：3，则△ABC外接圆半径为54

B.若a=1，则A≥π3

C.若b=1，则a∈(11.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x)+[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[1.9]=1，[3]=3.当0<x≤1时，f(x)=xlnx，设xn为f(x)从小到大的第n个极小值点，则(

)A.f(2)=2 B.f(n)=2n−n−1(n∈N∗)

C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______．13.已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台甲、乙的母线长分别为2(r2−r1)14.4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有

种.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用五一假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30,100]范围内，规定分数在80分以上(含80分)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．

(1)根据频率分布直方图计算所得分数的众数及中位数(中位数保留小数点后一位)

(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X，求X的分布列及数学期望．16.(本小题15分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=4，S8=72，n∈N∗．

(1)求数列{an}的通项公式；17.(本小题15分)

“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，即其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥S−ABCD中，四边形ABCD是边长为3的正方形，SA⊥AB，SC⊥BC，SA=SC=32．

(1)证明：四棱锥S−ABCD是一个“阳马”；

(2)已知点E在线段AC上，且AE=λEC，若二面角A−SE−D的余弦值为−301518.(本小题17分)

已知函数f(x)=exx−lnx+x−a．

(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；

(2)证明：若f(x)有两个零点x1，19.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为223，椭圆下顶点为A，右顶点为B，|AB|=10．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知动点P不在y轴上，R在射线AP上，且满足|AR|⋅|AP|=3．

(i)设P(m,n)，求R的坐标(用m，n表示)；

(ii)设O参考答案1.D

2.D

3.C

4.B

5.C

6.C

7.D

8.C

9.AC

10.ACD

11.BC

12.(−∞,−4)∪(0,+∞)

13.614.288

15.解：(1)由频率分布直方图，众数为65分，

又因为10×(0.004+0.008+0.020)=0.32，

所以中位数在(60,70]之间，为60+0.5−0.320.028×10×10≈66.4(分)；

(2)由频率分布直方图，抽到“具有很强安全意识”的成年人的概率为15，

所以X=0，1，2，3，4，

X～B(4,15)，

X

0

1

2

3

4

P

256

256

96

16

1期望E(X)=4×1516.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

由a2=4，S8=72，可得a1+d=4，8a1+28d=72，

解得a=d=2，

所以an=2n，n∈N∗；

(2)证明：由(1)可得Sn=2n+117.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB⊥AD，

∵SA⊥AB，SA∩AD=A，∴AB⊥平面SAD，

∵SD⊂平面SAD，∴SD⊥AB，同理可证SD⊥BC，

∵AB∩BC=B，∴SD⊥平面ABCD，

∴四棱锥S−ABCD是一个“阳马”；

(2)解：由(1)得SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AD，SD⊥CD，又AD⊥DC，

则以点D为原点，DA，DC，DS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

∵SA=32，AB=3，∴SD=3，

则D(0,0,0)，A(3,0,0)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，S(0,0,3)，

AC=(−3,3,0)，SA=(3,0,−3)，SD=(0,0,−3)，

由AE=λEC，可得AE=λ1+λAC=(−3λ1+λ,3λ1+λ,0)，

则E(31+λ,3λ1+λ,0)，DE=(31+λ,3λ1+λ,0)，

设m=(x1,y1,z1)是平面SAE的一个法向量，

则m⋅AC=−3x1+3y1=0m⋅SA=318.

解：(1)f(x)定义域为(0,+∞)，f′(x)=ex(x−1)x2−1x+1=(ex+x)(x−1)x2，

令f′(x)=0⇒x=1，所以当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减;

当x>1时f′(x)>0，f(x)单调递增;∴f(x)min=f