陕西省延安市2026届高三上学期普通高中模拟测试（一）数学试题（有解析）

延安市2026年普通高中模拟测试（一）数学试题考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷选择题（共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.平面向量，，且，则（）A. B.2 C. D.33.公差不为零等差数列的前项和为，若是与的等比中项，，则（）A.-22 B.-90 C.-3 D.-1984.《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30cm，高为10cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为（）A. B. C. D.5.已知定点A、B，且|AB|＝4，动点P满足||PA|﹣|PB||＝3，则|PA|的最小值是（）A. B. C. D.56.两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（）A. B. C. D.7.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的最小正周期为B.在上单调递增C.的图像关于点中心对称D.图像向右平移个单位长度后的函数为偶函数8.设函数,若有四个不同的零点，且满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分．9.已知等差数列的前项和为，若，则下列说法正确的有（）A. B.C.的最大值为 D.10.陕西省某中学体能测试成绩服从正态分布，已知，则下列说法正确的是（）（参考数据：）A.B.C.若随机抽取3名学生，则至少2人成绩超过75的概率为D.若随机抽取100名学生，则成绩超过85的人数期望为2011.已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于两点，为椭圆上一动点，则下列结论错误的是（）A.若，则到轴的距离为 B.的最小值为6C.的最大值为 D.若，则第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.若直线是曲线的一条切线，则________．13.已知，，则________．14.已知数列满足，且对于任意，都有，则除以5的余数为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知在中，内角所对的边分别为，且．（1）求；（2）若的周长为，面积为，求．16.如图，在三棱锥中，平面，，，，．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角正弦值．17.已知双曲线（）的离心率为，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为（1）求双曲线C的方程；（2）证明：直线AB的斜率k为定值；（3）O为坐标原点，若的面积为求直线AB的方程．18.已知（1）讨论的单调性（2）对于恒成立；求取值范围（3）设，为函数的两个零点；证明．19.甲乙两人进行若干局乒乓球训练赛，每局比赛必须决出胜负，且每局比赛结果相互独立．已知甲每局比赛获胜概率为，规定先达到净胜3局者获得训练赛胜利并结束训练赛（某人的净胜局数某人胜的局数某人负的局数）．（1）记经过局比赛，甲获得训练赛胜利的概率为，求和；（2）经过若干局后，甲胜的局数与乙胜的局数的差为，记事件“时，甲最终获得训练赛胜利”发生的概率为，求证：是等比数列；（3）求甲获得训练赛胜利的概率．延安市2026年普通高中模拟测试（一）数学试题考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷选择题（共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算求得复数，即可写出其在复平面内对应的点坐标，得到答案.详解】，∴复数在复平面内对应的点坐标为，位于第三象限.故选：C.2.平面向量，，且，则（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】【分析】根据向量减法的坐标运算可得.【详解】因为，，所以，所以，解得.故选：B.3.公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，，则（）A.-22 B.-90 C.-3 D.-198【答案】B【解析】【分析】根据是与的等比中项，及可得公差，再利用等差数列求和公式即可得到.【详解】设等差数列的公差为且，又是与的等比中项，，即，解得或（舍），.故选：.本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的通项和求和公式，考查学生的计算能力，是中档题.4.《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30cm，高为10cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用圆柱的体积公式，求得四片瓦需要的粘土量，进而求得800片瓦需要的粘土量，得到答案.【详解】由圆柱的体积公式，可得四片瓦需要的粘土量为，所以800片瓦需要的粘土量为．故选：D．5.已知定点A、B，且|AB|＝4，动点P满足||PA|﹣|PB||＝3，则|PA|的最小值是（）A. B. C. D.5【答案】A【解析】【分析】根据题意，判断点的轨迹是双曲线，再根据双曲线的几何性质，即可求得.【详解】由动点P满足||PA|﹣|PB||＝3，且故可得点的轨迹为以为左右焦点的双曲线，故可得，解得，由双曲线的几何性质可得的最小值为.故选：A.本题考查双曲线的定义，以及其几何性质，属综合基础题.6.两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出和，再利用条件概率的计算公式计算即可.【详解】两位游客从5个景点中任选，每人有5种选择，总事件数：种.事件的对立事件为“两位游客都不选择葫芦古镇”，的事件数：种,因此.事件分为两种情况：甲选葫芦古镇，乙选其余4个景点，4种；乙选葫芦古镇，甲选其余4个景点，4种；共种事件，因此.所以.故选：C.7.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的最小正周期为B.在上单调递增C.的图像关于点中心对称D.图像向右平移个单位长度后的函数为偶函数【答案】A【解析】【分析】化简得，求出函数的周期即可判断A；由，可得，结合正弦函数的性质可判断B；结合图像的平移及对称中心的定义可判断C；求出平移后的解析式，结合偶函数的定义判断D．【详解】对于A，因为，所以函数的最小正周期为，故A正确；对于B，当时，，由正弦函数的性质可知在上先增后减，故B错误；对于C，因为是将函数的图象向上平移个单位得到的，所以函数对称中心的纵坐标为，故C错误；对于D，设图像向右平移个单位长度后所得函数为的解析式为，则，又因为，所以不是偶函数，故D错误．故选：A．8.设函数,若有四个不同的零点，且满足，则的取值范围是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出函数的图象，结合直线与函数图象的交点个数可得出的取值范围，再利用对称轴将所求式子消元处理，再整体换元令，转化为求的值域可得.【详解】令，由有四个不同的零点，则与有四个不同的交点，令，解得或，故当或时，；当时，；且当，；解方程，得；作函数的图象，对称轴为.要使与有四个不同的交点，如图可得.又满足，则，可得.因为图象关于对称，所以，则，则，令，则，构造函数，，由，函数在单调递增，则，即.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分．9.已知等差数列的前项和为，若，则下列说法正确的有（）A. B.C.的最大值为 D.【答案】ABC【解析】【分析】根据，通过得出，判断A，通过得出，进而推出，判断B的正误，等差数列中，由，结合等差数列性质可得的最大值为，判断C，借助等差数列性质，将转化为，结合，得出，判断D.【详解】对于A选项，因为，所以，故，A正确，对于B选项，因为，所以，即，又，所以，B正确，对于C选项，因为，，所以数列的公差小于0，且当时，，当时，，所以的最大值为，C正确，对于D选项，，所以D错.故选：ABC.10.陕西省某中学体能测试成绩服从正态分布，已知，则下列说法正确的是（）（参考数据：）A.B.C.若随机抽取3名学生，则至少2人成绩超过75的概率为D.若随机抽取100名学生，则成绩超过85的人数期望为20【答案】BD【解析】【分析】利用正态分布的对称性判断B；结合正态分布的原则判断A；利用二项分布的概率公式判断C；利用二项分布的期望公式判断D即可.【详解】对于B，由正态分布性质得，则，故B正确，对于A，当时，则，，由正态分布性质得，而由已知得，与题意不符，故A错误；对于C，由正态分布性质得，，设成绩超过75的人数为，则，由二项分布概率公式得，则至少2人成绩超过75的概率为，故C错误，对于D，设成绩超过85的人数为，且，由题意得，由二项分布的期望公式得，则成绩超过85的人数期望为20，故D正确.故选：BD11.已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于两点，为椭圆上一动点，则下列结论错误的是（）A.若，则到轴的距离为 B.的最小值为6C.的最大值为 D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】A项，由向量关系得中点，设点坐标建立方程组求解可得；B项，设直线参数方程，代入椭圆方程，求弦长最值即可；C项，举特例，当位于长轴左顶点时，且轴时，面积大于可判断错误；D项，设直线方程联立直线与椭圆方程，取特殊点，再利用垂直关系建立方程求解参数，可得弦长不满足.【详解】由椭圆方程，可得，则，故右焦点，A项，由，可知三点共线，且为的中点，设，则，由都在椭圆上，则，解得，则，则，故轴，且点到轴的距离为，故A正确；B项，由椭圆方程，可得焦点，设过焦点的直线参数方程为（为参数），代入椭圆方程，整理得关于的方程：，设分别对应参数，则，所以，故当，即直线与轴垂直时，，故B错误；C项，当位于长轴左顶点时，即，且轴时，由，，则，故C错误；D项，当直线与轴重合时，则，不满足题意，故可设直线，联立消得，则（），当位于短轴上顶点，即时，若，则，由代入上式化简得，，则将（）式代入得整理得①；解得或，又由，将或代入得或，故D错误；故选：BCD.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.若直线是曲线的一条切线，则________．【答案】【解析】【分析】设切点为，求出切线斜率，利用切点在切线上，代入方程，即可得出结论.【详解】由曲线，得，设直线与曲线相切于点，所以，解得，.故答案为：13.已知，，则________．【答案】【解析】【分析】先对已知条件两边平方，再利用三角函数的平方关系和二倍角公式，即可求解.【详解】由已知，，两边平方可得，，又，所以，所以.故答案为：14.已知数列满足，且对于任意的，都有，则除以5的余数为________．【答案】2【解析】【分析】先通过对递推关系式变形,通过计算前几项的余数找出周期,再根据周期计算除以5的余数.【详解】由题目的条件可以知道,即，所以有,且除以5的余数为2，;除以5的余数为3，;除以5的余数为1，;除以5的余数为2，;除以5的余数为3，显然,余数呈现2,3,1的周期循环，所以，即除以5的余数与的相同为2.故答案为：2四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知在中，内角所对的边分别为，且．（1）求；（2）若的周长为，面积为，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角及正弦的和角公式得，即可求解；（2）利用三角形的面积公式及余弦定理，再结合条件得，即可求解.【小问1详解】因为，由正弦定理可得，又，所以，则，得到，又，所以.【小问2详解】由（1）知，所以，得，又因为，又，得，由的周长为，所以，整理得到，解得.16.如图，在三棱锥中，平面，，，，．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）由平面得到．由得到．利用直线和平面垂直的判定定理得到平面，利用平面和平面的判定定理得到平面平面；（2）由得到以点为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，建系，写出点的坐标，求出和平面的法向量，设直线与平面所成角为，利用数量积公式求出，从而得到直线与平面所成角的正弦值．【小问1详解】因为平面，平面，所以．因为，所以．又因为平面，故平面．又因为平面，所以平面平面．【小问2详解】因为，所以以点为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，则即，令得，故平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．17.已知双曲线（）的离心率为，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为（1）求双曲线C的方程；（2）证明：直线AB斜率k为定值；（3）O为坐标原点，若的面积为求直线AB的方程．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据双曲线的离心率以及右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离，求出，即得答案；（2）设，，利用点差法即可证明；（3）设出直线方程，联立双曲线方程，可得根与系数关系式，表示出弦长以及原点到直线的距离，结合三角形面积求出参数，即可求得答案.【小问1详解】双曲线（）右焦点的坐标为，不妨取C的一条渐近线的方程为即，所以又，解得，所以双曲线C的方程为.【小问2详解】设，，则,两式相减并整理得，,因为线段AB中点为，则，所以，因为，所以，所以直线的斜率k为定值2．【小问3详解】设直线，联立，消去得，因为，所以，则，故，点O到直线AB的距离为所以，整理得，解得（舍去），则，又因为，所以直线AB的方程为18.已知（1）讨论的单调性（2）对于恒成立；求的取值范围（3）设，为函数的两个零点；证明．【答案】（1）当时，在上为单调递增函数；当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数.（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求，讨论和这两种情况，解出的解为的单调递增区间，解出的解为的单调递减区间；（2）由（1）可知：当时，利用的单调性及特殊值可得不成立；当时，由的单调区间得到的最大值为，只需即可，解出这个不等式就是的取值范围；（3）由（1）及零点存在性定理由存在两零点可得，且，故可转化为证明，构造，利用导数法证明，由此证明.【小问1详解】定义域，；当时，的解为，则在上为单调递增函数；，的解为，的解为，则在上是单调递增函数，在上是单调递减函数.综上可知，当时，在上为单调递增函数；当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数.【小问2详解】由（1）可知：当时，在上为单调递增函数，，不满足，故不成立；当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数.则当时，取最大值为，令，解得，故对于恒成立的的取值范围为.【小问3详解】由（1）知，要使函数存在两个零点，则，且其最大值必须大于0，的最大值为，令，解得，则存在两零点，可得，设，为函数的两个零点，则，，解得①，②，①减去②得到，解得，要证明，只需证明，设，，则在上是单调递增函数，故，设，，，，，，，，，.19.甲乙两人进行若干局乒乓球训练赛，每局比赛必须决出胜负，且每局比赛结果相互独立．已知甲每局比赛获胜的概率为，规定先达到净胜3局者获得训练赛胜利并结束训练赛（某人的净胜局数某人胜的局数某人负的局数）．（1）记经过局比赛，甲获得训练赛胜利的概率为，求和；（2）经过若干局后，甲胜的局数与乙胜的局数的差为，记事件“时，甲最终获得训练赛胜利”发生的概率为，求证：是等比数列；（3）求甲获得训练赛胜利的概