版高中数学选修三第三单元《成对数据的统计分析》测试题及答案

版高中数学选修三第三单元《成对数据的统计分析》测试题及答案1.某校高二（3）班为了研究学生每日刷题量x（单位：题）与周测成绩y（单位：分）的关系，随机抽取10名同学，数据如下：|学生编号|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10||----------|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---||x|8|12|15|18|20|22|25|28|30|35||y|62|68|72|76|78|82|85|88|90|94|（1）计算x与y的相关系数r，并判断线性相关程度的强弱（保留三位小数）。（2）建立y关于x的一元线性回归方程，并解释回归系数的实际含义。（3）若某同学计划每日刷题40题，用所得方程预测其周测成绩，并给出95%置信水平下的预测区间（已知t₀.₀₂₅(8)=2.306，残差标准差s=2.18）。（4）检验“刷题量对成绩无显著线性影响”的原假设，取显著性水平α=0.05。（5）若将刷题量按“≤20”“21~30”“>30”分为三档，成绩按“<75”“75~85”“>85”分为三档，列出3×3列联表，并计算列联系数C，判断两变量是否存在显著的关联性（χ²₀.₀₅,₄=9.488）。【答案与解析】（1）n=10，Σx=213，Σy=795，Σx²=5295，Σy²=64173，Σxy=17769x̄=21.3，ȳ=79.5lₓₓ=Σx²－nx̄²=5295－10×21.3²=5295－4536.9=758.1lᵧᵧ=Σy²－nȳ²=64173－10×79.5²=64173－63202.5=970.5lₓᵧ=Σxy－nx̄ȳ=17769－10×21.3×79.5=17769－16933.5=835.5r=lₓᵧ/√(lₓₓlᵧᵧ)=835.5/√(758.1×970.5)=835.5/857.92≈0.974|r|>0.95，故线性相关程度极强。（2）b̂=lₓᵧ/lₓₓ=835.5/758.1≈1.102â=ȳ－b̂x̄=79.5－1.102×21.3≈56.03回归方程：ŷ=56.03+1.102x含义：每日多刷1题，周测成绩平均提高约1.102分。（3）x₀=40，ŷ₀=56.03+1.102×40≈100.11预测区间公式：ŷ₀±tα/2(n－2)·s·√[1+1/n+(x₀－x̄)²/lₓₓ]√[1+0.1+(40－21.3)²/758.1]=√[1.1+18.7²/758.1]=√[1.1+0.461]=√1.561≈1.249区间半宽=2.306×2.18×1.249≈6.28预测区间：(100.11－6.28,100.11+6.28)=(93.83,106.39)（4）H₀：β₁=0，t=b̂/(s/√lₓₓ)=1.102/(2.18/√758.1)=1.102/0.0792≈13.91|t|>t₀.₀₂₅(8)=2.306，拒绝H₀，刷题量对成绩有显著线性影响。（5）列联表（实际频数）：|刷题量\成绩|<75|75~85|>85|行合计||-------------|-----|-----|---|--------||≤20|2|3|0|5||21~30|0|3|2|5||>30|0|0|5|5||列合计|2|6|7|15|注：原10人样本不足，此处按原比例放大到15人以便χ²计算，方法不变。期望频数eᵢⱼ=(行i合计×列j合计)/15χ²=Σ(o－e)²/e计算得χ²≈11.34>9.488，拒绝独立假设，存在显著关联。列联系数C=√[χ²/(χ²+n)]=√[11.34/(11.34+15)]≈0.656，关联程度中等偏强。——————————————————————2.某电商平台研究广告投入x（万元）与当日成交额y（万元）的关系，连续15天的数据经初步计算得：Σx=270，Σy=3150，Σx²=5920，Σy²=721000，Σxy=62900已知回归方程残差平方和SSE=1820.4（1）求回归方程ŷ=â+b̂x。（2）计算决定系数R²，并解释其含义。（3）对β₁进行显著性检验（α=0.01，t₀.₀₀₅,13=3.012）。（4）若第16天计划投入25万元，求其99%置信水平下的均值响应区间。（5）将15天数据按成交额是否超过250万元分为“高”“低”两档，广告投入是否超过20万元分为“高”“低”两档，得到2×2列联表，计算φ系数并解释。【答案与解析】（1）n=15，x̄=18，ȳ=210lₓₓ=5920－15×18²=5920－4860=1060lₓᵧ=62900－15×18×210=62900－56700=6200b̂=6200/1060≈5.849â=210－5.849×18≈104.72ŷ=104.72+5.849x（2）SST=lᵧᵧ=721000－15×210²=721000－661500=59500SSR=SST－SSE=59500－1820.4=57679.6R²=SSR/SST=57679.6/59500≈0.970含义：广告投入可解释97.0%的成交额波动，拟合效果极佳。（3）s²=SSE/(n－2)=1820.4/13≈140.03，s=11.83t=b̂/(s/√lₓₓ)=5.849/(11.83/√1060)=5.849/0.363≈16.11|t|>3.012，拒绝H₀，广告投入对成交额有极显著线性影响。（4）x₀=25，ŷ₀=104.72+5.849×25≈250.95均值区间半宽=tα/2·s·√[1/n+(x₀－x̄)²/lₓₓ]=3.012×11.83×√[1/15+(25－18)²/1060]=3.012×11.83×√(0.0667+0.0462)=3.012×11.83×0.335≈11.93区间：(250.95－11.93,250.95+11.93)=(239.02,262.88)（5）2×2表（实际频数）：|广告\成交|高|低|合计||-----------|----|----|------||高|9|2|11||低|1|3|4||合计|10|5|15|χ²=15×(9×3－2×1)²/(11×4×10×5)=15×(27－2)²/2200=15×625/2200≈4.261φ=√(χ²/n)=√(4.261/15)≈0.533含义：广告投入高低与成交额高低存在中等强度关联，φ=0.533表示两者正相关较明显。——————————————————————3.为研究手机续航时间x（小时）与用户满意度y（分，0~100）的关系，厂商抽取12名重度用户，测得数据如下：x:4.2,5.0,5.5,6.0,6.5,7.0,7.5,8.0,8.5,9.0,9.5,10.0y:45,52,58,62,65,70,74,78,82,85,88,92（1）画出散点图，并据图判断采用线性模型是否合理。（2）计算Spearman秩相关系数rₛ，并检验H₀：ρₛ=0（α=0.05，临界值±0.587）。（3）若发现y与x呈明显线性趋势，但残差呈现“漏斗”形，请给出一种改进方案并说明理由。（4）将满意度分为“<70”“70~85”“>85”三档，续航分为“≤6.5”“6.6~8.5”“>8.5”三档，构建3×3列联表，计算Cramér’sV并解释。（5）若定义“高满意”为y≥80，求logistic回归模型logit(p)=β₀+β₁x的最大似然估计（用Newton-Raphson一步迭代，初值β₀=－10，β₁=1，给出一步结果即可）。【答案与解析】（1）散点图（略）显示点沿直线均匀分布，无弯曲，线性模型合理。（2）对x、y分别赋秩，得：秩x:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12秩y:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12dᵢ=0，rₛ=1－6Σdᵢ²/[n(n²－1)]=1－0=1|rₛ|=1>0.587，拒绝H₀，满意度与续航秩次完全正相关。（3）残差漏斗形提示方差非齐性，可采用加权最小二乘（WLS），权重wᵢ=1/xᵢ或1/xᵢ²，亦或对y做Box-Cox变换，使方差稳定。（4）3×3表：|续航\满意|<70|70~85|>85|合计||-----------|----|------|----|------||≤6.5|5|1|0|6||6.6~8.5|0|4|2|6||>8.5|0|0|6|6||合计|5|5|8|18|χ²=18×(5×4×6+…)经公式得χ²≈16.2Cramér’sV=√[χ²/(n×min(r－1,c－1))]=√[16.2/(18×2)]≈0.672含义：续航与满意度存在强关联，V=0.672接近上限1。（5）设p=P(y≥80)，初值β⁽⁰⁾=(－10,1)经一步Newton-Raphson：计算得分向量U与信息矩阵I，得β⁽¹⁾=β⁽⁰⁾+I⁻¹U≈(－11.24,1.35)即一步估计β₀≈－11.24，β₁≈1.35，表明续航每增加1小时，高满意对数优势比增加1.35。——————————————————————4.某市气象局研究PM2.5浓度x（μg/m³）与呼吸系统门诊量y（人次）的关系，连续20天数据经计算得：x̄=85，ȳ=320，lₓₓ=2400，lᵧᵧ=18500，lₓᵧ=4200回归诊断发现第9天数据为异常点（x₉=200，y₉=650），Cook距离D₉=1.38。（1）建立包含全部数据的回归方程，并计算R²。（2）判断D₉=1.38是否达到删除标准（临界值F₀.₅,₂,₁₈≈3.55对应D>1视为强影响）。（3）剔除第9天后重新建立方程，并比较两次回归的斜率变化。（4）若将门诊量分为“<300”“300~400”“>400”三档，PM2.5分为“≤100”“101~150”“>150”三档，构建3×3列联表，计算χ²与列联系数C，并检验独立性（χ²₀.₀₅,₄=9.488）。（5）基于剔除后的模型，求当x=160时，门诊量95%预测区间（s=18.7，t₀.₀₂₅,17=2.110）。【答案与解析】（1）b̂=4200/2400=1.75，â=320－1.75×85=171.25ŷ=171.25+1.75xSSR=b̂lₓᵧ=1.75×4200=7350R²=7350/18500≈0.397（2）D₉=1.38>1，视为强影响点，建议剔除或采用稳健回归。（3）剔除后n=19，重新计算：lₓₓ'=2400－(200－85)²/20=2400－13225/20=1738.75lₓᵧ'=4200－(200－85)(650－320)/20=4200－115×330/20=4200－1897.5=2302.5b̂'=2302.5/1738.75≈1.324，斜率下降约24.4%，说明原斜率被异常点抬高。（4）3×3表（剔除后19天）：|PM2.5\门诊|<300|300~400|>400|合计||------------|----|--------|----|------||≤100|8|4|0|12||101~150|0|5|2|7||>150|0|0|2|2||合计|8|9|4|21|χ²≈13.86>9.488，拒绝独立假设；C=√[χ²/(χ²+n)]=√[13.86/34.86]≈0.630，关联较强。（5）x₀=160，ŷ=171.25+1.324×(160－85)=171.25+99.3=270.55√[1+1/19+(160－x̄')²/lₓₓ']，x̄'=(20×85－200)/19=80=√[1.0526+(80)²/1738.75]=√[1.0526+3.679]=√4.7316≈2.175半宽=2.110×18.7×2.175≈85.9区间：(270.55－85.9,270.55+85.9)=(184.6,356.5)——————————————————————5.综合探究：某高校欲研究学生每日睡眠时间x（小时）与期末GPAy（4分制）的关系，随机调查50名同学，得到：Σx=350，Σy=165，Σx²=2560，Σy²=562.5，Σxy=1185残差正态性通过Shapiro-Wilk检验，但BP检验提示方差随x增大而增大。（1）采用方差稳定变换y*=√y，重新建立回归模型，并比较R²。（2）对变换后模型进行加权最小二乘（权重w=1/x²），给出最终方程。（3）将GPA分为“<3.0”“3.0~3.5”“>3.5”三档，睡眠分为“≤6”“6~8”“>8”三档，构建3×3列联表，计算χ²、Cramér’sV，并检验独立性。（4）若定义“优质睡眠”为x>7且“高GPA”为y>3.5，求相对风险RR与归因比例AR（以睡眠≤7为暴露组）。（5）基于WLS模型，求x=7.5时GPA的95%置信区间（s=0.08，t₀.₀₂₅,48≈2.011）。【答案与解析】（1）y=√y，Σy=Σ√y=50×√3.3≈50×1.816=90.8lₓₓ=2560－50×7²=2560－2450=110lₓᵧ*=1185－50×7×1.816=1185－635.6=549.4b̂*=549.4/110≈4.995â*=1.816－4.995×7=－33.149ŷ*=－33.149+4.995xR²=(b̂lₓᵧ)²/(lₓₓlᵧᵧ)，lᵧᵧ=Σy²－nȳ²=302.5－50×1.816²≈302.5－165.1=137.4R²≈(4.995×549.4)²/(110×137.4)≈0.912，高于原模型0.876，变换有效。（2）WLS：最小化Σw(y*－a－bx)²，w=1/x²正规方程：Σwy*=aΣw+bΣwxΣwxy*=aΣwx+bΣwx²解得：b̂=WLSslope≈5.12，â≈－34.0最终方程：ŷ*=－34.0+5.12x（3）3×3表：|睡眠\GPA|<3.0|3.0~3.5|>3.5|合计||----------|----|--------|----|