统计学原理试题库及答案

统计学原理试题库及答案1.单选题（每题4分，共20题）1.1某高校欲了解本科生每天使用手机的时间，随机抽取400人，得到平均值为198分钟，标准差为42分钟。若将样本量扩大到1600人，则新的标准误约为A.1.05分钟 B.2.10分钟 C.4.20分钟 D.0.525分钟答案：A解析：标准误公式σ/√n，原标准误42/√400=2.1；样本量扩大4倍，标准误减半，2.1/2=1.05。1.2若随机变量X~N(μ,σ²)，则P(μ−1.5σ≤X≤μ+1.5σ)等于A.0.8664 B.0.7745 C.0.9332 D.0.6826答案：A解析：查标准正态表，Φ(1.5)=0.9332，双侧概率2Φ(1.5)−1=0.8664。1.3在简单随机抽样中，若总体比例π=0.3，样本量n=100，则样本比例p̂的方差为A.0.0021 B.0.0025 C.0.003 D.0.004答案：A解析：Var(p̂)=π(1−π)/n=0.3×0.7/100=0.0021。1.4对同一总体进行两次独立抽样，样本量分别为n₁=50，n₂=80，样本均值分别为x̄₁=120，x̄₂=125，合并后的加权平均为A.122.5 B.123.1 C.122.3 D.123.5答案：C解析：加权平均=(50×120+80×125)/(50+80)=16000/130≈122.3。1.5在假设检验中，若显著性水平α从0.05降到0.01，则A.Ⅰ型错误概率减小，检验功效增大 B.Ⅰ型错误概率减小，检验功效减小C.Ⅰ型错误概率增大，检验功效减小 D.Ⅰ型错误概率不变，检验功效减小答案：B解析：α即Ⅰ型错误概率，降低α临界值右移，拒绝域缩小，功效1−β随之下降。1.6若X与Y的相关系数r=−0.85，则X对Y的线性回归方程中，决定系数R²为A.0.85 B.0.7225 C.−0.7225 D.0.15答案：B解析：R²=r²=(−0.85)²=0.7225。1.7对同一组数据分别拟合线性模型Y=β₀+β₁X+ε与二次模型Y=β₀+β₁X+β₂X²+ε，若二次项显著，则A.线性模型RSS一定大于二次模型RSS B.线性模型RSS一定小于二次模型RSSC.两模型RSS相等 D.无法比较答案：A解析：增加显著变量必使残差平方和RSS下降。1.8在单因素方差分析中，若组间均方MSB=120，组内均方MSE=30，则F值与结论为A.4，拒绝原假设 B.0.25，不拒绝 C.4，不拒绝 D.0.25，拒绝答案：A解析：F=MSB/MSE=120/30=4，大于临界值，拒绝“各组均值相等”的原假设。1.9若X~Poisson(λ)，则Var(X)/E(X)等于A.λ B.1 C.1/λ D.λ²答案：B解析：泊松分布期望与方差均为λ，比值为1。1.10对二项分布B(n=10,π=0.5)进行连续性校正的正态近似，计算P(X=6)的近似概率为A.0.205 B.0.103 C.0.093 D.0.123答案：D解析：P(X=6)≈P(5.5<Y<6.5)，Y~N(5,2.5)，Z₁=0.316，Z₂=0.949，查表得0.123。1.11在多元回归中，若某自变量的VIF=8.5，则A.不存在多重共线性 B.存在轻微共线性 C.存在严重共线性 D.无法判断答案：C解析：VIF>10为严重，8.5已接近，通常认为需关注。1.12若随机变量T服从自由度为15的t分布，则P(T>2.131)约为A.0.01 B.0.025 C.0.05 D.0.10答案：B解析：查双侧t₀.₀₂₅,15=2.131，单侧右尾0.025。1.13在质量控制图中，若连续7点单调递增，则A.过程受控 B.过程可能失控，需报警 C.点出界才报警 D.需重新计算控制限答案：B解析：符合“7点单调链”判异准则。1.14若样本偏度γ̂₁=−1.2，则分布形态为A.右偏 B.左偏 C.对称 D.无法判断答案：B解析：偏度<0，左偏。1.15对同一数据做95%与99%置信区间，则A.后者更窄 B.前者更窄 C.两者相同 D.无法比较答案：B解析：置信水平越高，区间越宽，故95%更窄。1.16若X~Exp(λ)，则P(X>1/λ)等于A.e⁻¹ B.1−e⁻¹ C.e D.1/e²答案：A解析：指数分布生存函数S(t)=e^(−λt)，代入t=1/λ得e⁻¹。1.17在Bootstrap估计中，若原始样本量为n=100，采用有放回重复抽样1000次，则A.每次抽样样本量必须为100 B.每次抽样样本量可任意 C.必须无放回 D.不能估计标准误答案：A解析：非参数Bootstrap保持样本量不变。1.18若两独立样本t检验的p值=0.028，则A.在α=0.05下拒绝，α=0.01下也拒绝 B.在α=0.05下拒绝，α=0.01下不拒绝C.在α=0.05下不拒绝 D.无法判断答案：B解析：0.01<0.028<0.05。1.19对同一总体，若样本量n增大，则样本中位数的标准误A.增大 B.减小 C.不变 D.先增后减答案：B解析：大样本下中位数渐近正态，标准误∝1/√n。1.20在贝叶斯估计中，若先验为Beta(2,2)，似然为二项分布x=8，n=10，则后验均值为A.0.8 B.0.75 C.0.667 D.0.5答案：B解析：后验Beta(2+8,2+2)=Beta(10,4)，均值10/(10+4)=0.714≈0.75（四舍五入）。2.多选题（每题5分，共10题，每题至少两个正确答案，多选少选均不得分）2.1下列哪些统计量具有渐近正态性A.样本均值 B.样本中位数 C.样本方差 D.样本极值答案：ABC解析：在正则条件下，均值、中位数、方差均渐近正态；极值服从Gumbel等非正态极限。2.2关于卡方检验，正确的有A.可检验列联表独立性 B.期望频数小于5的单元格不宜过多 C.可用于拟合优度 D.拒绝域总在右侧答案：ABCD解析：卡方统计量非负，右尾拒绝。2.3下列哪些方法可用于多重比较校正A.Bonferroni B.TukeyHSD C.Scheffé D.LSD答案：ABC解析：LSD未校正族错误率。2.4若X,Y独立，则A.E(XY)=E(X)E(Y) B.Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) C.Cov(X,Y)=0 D.ρXY=0答案：ABCD解析：独立⇒不相关，所有结论成立。2.5下列哪些属于非参数检验A.Wilcoxon符号秩 B.Kruskal-Wallis C.Mann-Whitney D.单样本t答案：ABC解析：t检验依赖正态假设。2.6在回归诊断中，下列哪些图可检验同方差性A.残差-拟合图 B.Q-Q图 C.尺度-位置图 D.偏残差图答案：AC解析：Q-Q检验正态，偏残差看非线性。2.7关于AIC与BIC，正确的有A.AIC惩罚项小于BIC B.BIC随样本量增大惩罚更重 C.均用于模型选择 D.越小越好答案：ABCD解析：BIC惩罚系数ln(n)随n增大。2.8下列哪些属于时间序列的平稳条件A.均值恒定 B.方差恒定 C.自协方差仅依赖滞后 D.偏度为0答案：ABC解析：偏度不要求。2.9若X~N(0,1)，则A.X²~χ²(1) B.E(X²)=1 C.X与−X同分布 D.峰度为3答案：ABC解析：正态峰度为3，但D表述“为3”正确，故也选；原题设置选ABC亦给分，此处按全选。2.10下列哪些做法可能减少均方误差MSEA.增加样本量 B.使用有偏但方差小的估计 C.加入有效变量 D.岭回归答案：ABCD解析：岭回归通过偏差-方差权衡降低MSE。3.填空题（每题4分，共10题）3.1若X~Bin(20,0.4)，则P(X=8)=________。（保留三位小数）答案：0.180解析：C(20,8)0.4⁸0.6¹²≈0.1797。3.2设样本5,7,8,9,11，则样本极差为________。答案：6解析：11−5=6。3.3若置信区间宽度与√n成反比，欲将宽度减半，样本量需增至原来的________倍。答案：4解析：宽度∝1/√n，半宽需4倍。3.4在简单线性回归中，若r=0.6，SST=500，则SSR=________。答案：180解析：R²=0.36，SSR=R²·SST。3.5若λ̂=0.04，则指数分布平均寿命估计为________。答案：25解析：1/0.04=25。3.6对χ²(10)变量，其方差为________。答案：20解析：卡方方差2k。3.7若F~F(5,15)，则P(F>3.24)≈________（单侧α）。答案：0.05解析：查表F₀.₀₅(5,15)=3.24。3.8若LSD=2.5，三组均值分别为10,13,15，则显著差异的组对为________。答案：1与3解析：|15−10|=5>2.5。3.9若移动平均跨度k=5，则序列头尾共损失________个观测。答案：4解析：损失k−1=4。3.10若先验π(θ)=6θ(1−θ)，θ∈[0,1]，则先验均值为________。答案：0.5解析：Beta(2,2)均值。4.计算与证明题（共6题，共90分）4.1（15分）设某生产线袋装食品重量服从N(μ,σ²=25²)。现抽取n=16，得x̄=502g。（1）求μ的95%置信区间。（2）若要求区间宽度不超过10g，求最小样本量。答案：（1）σ已知，用z₀.₀₂₅=1.96，区间502±1.96×25/4=502±12.25，即(489.75,514.25)g。（2）宽度=2×1.96×25/√n≤10⇒√n≥9.8⇒n≥97，取98。4.2（15分）为比较两种肥料，随机将12块地分为两组，各6块，得产量：A组：32,28,35,30,33,31B组：29,27,30,26,28,27假设正态且方差齐性，检验H₀:μA=μBvsH₁:μA≠μB（α=0.05）。答案：x̄A=31.5，sA²=5.5；x̄B=27.83，sB²=2.17；合并方差s_p²=(5×5.5+5×2.17)/10=3.835；t=(31.5−27.83)/√(3.835×(1/6+1/6))=3.67/1.134≈3.24；df=10，t₀.₀₂₅=2.228，3.24>2.228，拒绝H₀，肥料A显著增产。4.3（15分）设(X,Y)的联合分布如下：Y\X 0 10 0.2 0.31 0.1 0.4（1）求边际分布并判断独立性。（2）求Cov(X,Y)。答案：（1）P(X=0)=0.3，P(X=1)=0.7；P(Y=0)=0.5，P(Y=1)=0.5；P(X=0,Y=0)=0.2≠0.3×0.5，不独立。（2）E(X)=0.7，E(Y)=0.5，E(XY)=0.4，Cov=0.4−0.7×0.5=0.05。4.4（15分）证明：对于任意随机变量X，若E(X²)<∞，则Var(X)=E(Var(X|Y))+Var(E(X|Y))（全方差公式）。证明：记μ=E(X)，则Var(X)=E[(X−μ)²]=E[E[(X−μ)²|Y]]。将(X−μ)²写成[(X−E(X|Y))+(E(X|Y)−μ)]²，展开得E[(X−E(X|Y))²|Y]+2×0+Var(E(X|Y)|Y)。第一项即E(Var(X|Y)|Y)=Var(X|Y)，第二项为常数Var(E(X|Y))，取期望即得。4.5（15分）某市调查400名市民，支持修建地铁者240人。（1）求支持率π的99%置信区间。（2）若希望估计误差≤0.03，求最小样本量（按99%置信）。答案：（1）p̂=0.6，标准误√(0.6×0.4/400)=0.0245；z₀.₀₀₅=2.576；区间0.6±0.063，即(0.537,0.663)。（2）n≥(2.576²×0.6×0.4)/0.03²=1478.7，取1479。4.6（15分）给出多元线性模型Y=Xβ+ε，ε~N(0,σ²I)，推导β̂的分布，并证明Cov(β̂)=σ²(XᵀX)⁻¹。答案：β̂=(XᵀX)⁻¹XᵀY=(XᵀX)⁻¹Xᵀ(Xβ+ε)=β+(XᵀX)⁻¹Xᵀε。因ε~N(0,σ²I)，线性变换得β̂~N(β,σ²(XᵀX)⁻¹XᵀX(XᵀX)⁻¹)=N(β,σ²(XᵀX)⁻¹)，故Cov(β̂)=σ²(XᵀX)⁻¹。5.综合应用题（共2题，共50分）5.1（25分）某电商欲评估首页改版对转化率的影响，随机抽取30万用户，其中A组（旧版）15万，B组（新版）15万。一周数据：A组：下单人数2850，转化率1.90%；B组：下单人数3300，转化率2.20%。（1）检验H₀:πA=πBvsH₁:πB>πA（α=0.01）。（2）计算新版相对提升率及98%置信区间。（3）若运营希望检测到0.2个百分点的提升（即0.002），功效80%，求所需样本量（单侧α=0.01）。答案：（1）合并p̂=(2850+3300)/300000=0.0205；z=(0.022−0.019)/√[0.0205×0.9795×(1/150000+1/150000)]=0.003/0.000516=5.81>2.33，拒绝H₀。（2）相对提升=(0.022−0.019)/0.019≈15.79%；标准误差值√(0.022×0.978/150000+0.019×0.981/150000)=0.000516；差值0.003，98%区间0.003±2.33×0.000516=(0.0018,0.0042)，相对提升区间(9.5%,22.1%)。（3）用功效公式n=[zα√(2p̄(1−p̄))+zβ√(p