湖北省孝感中学2026届数学高二上期末经典试题含解析

湖北省孝感中学2026届数学高二上期末经典试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内的极大值点有（）A.1个 B.2个C.3个 D.4个2．已知空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（）A. B.C. D.3．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数到与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列、这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23则该数列的第100项为（）A.4862 B.4962C.4852 D.49524．命题“，都有”的否定为（）A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得5．直线x+y﹣1＝0被圆（x+1）2+y2＝3截得的弦长等于（）A. B.2C.2 D.46．如图所示，在三棱锥中，E，F分别是AB，BC的中点，则等于（）A. B.C. D.7．“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8．已知，向量，，若，则x的值为（）A.-1 B.1C.-2 D.29．若函数，满足且，则（）A.1 B.2C.3 D.410．在下列函数中，求导错误的是（）A.， B.，C.， D.，11．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则12．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，点是的右支上一点，且，，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．数列的前n项和满足：，则________14．圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线E（如右图）是由椭圆C1:+=1和双曲线C2:-=1在y轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆C1上一点P0出发，经过点F2，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为P1，P2，P3，P4，…，若P0，P4重合，则光线从P0到P4所经过的路程为_________.15．从10名大学毕业生中选3个人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选不同选法的种数为___________.16．设P为圆上一动点，Q为直线上一动点，O为坐标原点，则的最小值为___三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图在直三棱柱中，为的中点，为的中点，是中点，是与的交点，是与的交点.（1）求证：；（2）求证：平面；（3）求直线与平面的距离.18．（12分）已知点和圆.（1）求圆的圆心坐标和半径；（2）设为圆上的点，求的取值范围.19．（12分）为落实国家扶贫攻坚政策，某地区应上级扶贫办的要求，对本地区所有贫困户每年年底进行收入统计，下表是该地区贫困户从2017年至2020年的收入统计数据：（其中y为贫困户的人均年纯收入）年份2017年2018年2019年2020年年份代码1234人均年纯收入y/百元25283235（1）在给定的坐标系中画出A贫困户的人均年纯收入关于年份代码的散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并估计A贫困户在年能否脱贫.（注：假定脱贫标准为人均年纯收入不低于元）参考公式：，参考数据：，.20．（12分）如图，在四棱锥中，平面底面ABCD，，，，，（1）证明：是直角三角形；（2）求平面PCD与平面PAB的夹角的余弦值21．（12分）如图，在梯形中，，四边形为矩形，且平面，.（1）求证：；（2）点在线段（不含端点）上运动，设直线与平面所成角为，求的取值范围.22．（10分）已知椭圆的焦点为，且长轴长是焦距的倍（1）求椭圆的标准方程；（2）若斜率为1的直线与椭圆相交于两点，已知点，求面积的最大值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】利用极值点的定义求解.【详解】由导函数的图象知：函数在内，与x轴有四个交点：第一个点处导数左正右负，第二个点处导数左负右正，第三个点处导数左正右正，第四个点处导数左正右负，所以函数在开区间内的极大值点有2个，故选：B2、B【解析】利用空间向量运算求得正确答案.【详解】.故选：B3、D【解析】根据题意可得数列2，3，5，8，12，17，23，，满足：，，从而利用累加法即可求出，进一步即可得到的值【详解】2，3，5，8，12，17，23，后项减前项可得1，2，3，4，5，6，所以，所以.所以.故选：D4、A【解析】根据命题的否定的定义判断【详解】全称命题的否定是特称命题，命题“，都有”的否定为：，使得故选：A5、B【解析】如图,圆(x＋1)2＋y2＝3的圆心为M(−1,0)，圆半径|AM|=，圆心M(−1,0)到直线x+y−1=0的距离：|，∴直线x+y−1=0被圆(x+1)2+y2=3截得的弦长：.故选B.点睛:本题考查圆的标准方程以及直线和圆的位置关系.判断直线与圆的位置关系一般有两种方法：1．代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二元方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大.2．几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．当直线与圆相交时,可利用垂径定理得出圆心到直线的距离,弦长和半径的勾股关系.6、D【解析】根据向量的线性运算公式化简可得结果.【详解】因为E，F分别是AB，AC的中点，所以，，所以，故选：D7、B【解析】因但8、D【解析】根据给定条件利用空间向量垂直的坐标表示计算作答.【详解】因向量，，，则，解得，所以x的值为2.故选：D9、C【解析】先取，得与之间的关系，然后根据导数的运算直接求导，代值可得.【详解】取，则有，即，又因为所以，所以，所以.故选：C10、B【解析】分别求得每个函数的导数即可判断.详解】；；；.故求导错误的是B.故选：B.11、C【解析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，逐一核对四个选项得答案【详解】解：对于A：若，则或，故A错误；对于B：若，则或与相交，故B错误；对于C：若，根据面面垂直的判定定理可得，故C正确；对于D：若则与平行、相交、或异面，故D错误；故选：C12、B【解析】画出图形，利用已知条件转化求解，关系，利用，解得，即可得到双曲线的方程【详解】由题意双曲线的图形如图，连接与轴交于点，设，，因为，所以，因为，所以，则，因为点是的右支上一点，所以，所以，则，因为，所以，，由勾股定理可得：，即，解得，则，所以双曲线的方程为：故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用“当时，；当时，"即可得出.【详解】当时，当时，，不适合上式，数列的通项公式.故答案为：.14、【解析】结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案.【详解】椭圆；双曲线，双曲线和椭圆的焦点重合.根据双曲线的定义有，所以①，②，根据椭圆的定义由，所以路程.故答案为：15、49【解析】丙没有入选，相当于从9个人中选3人，分为两种情况：甲乙两人只有一人入选；甲乙两人都入选，分别求出每种情况的选法数，再利用分类加法计数原理即可得解.【详解】丙没有入选，把丙去掉，相当于从9个人中选3人，甲、乙至少有1人入选，分为两种情况：甲乙两人只有一人入选；甲乙两人都入选.甲乙两人只有一人入选，选法有种；甲乙两人都入选，选法有种.所以，满足题意的选法共有种.故答案为：49.【点睛】本题考查组合的应用，其中涉及到分类加法计数原理，属于中档题.一些常见类型的排列组合问题的解法：（1）特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；（2）分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏；（3）间接法（排除法），从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法；（4）捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列；（5）插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空；（6）去序法或倍缩法；（7）插板法：个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题.把个元素排成一排，从个空中选个空，各插一个隔板，有；（8）分组、分配法：有等分、不等分、部分等分之别.16、4【解析】取点，可得，从而，，从而可求解【详解】解：由圆，得圆心，半径，取点A（3，0），则，又，∴，∴，∴，当且仅当直线时取等号故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】（1）法一：通过建立空间直角坐标系，运用向量数量积证明，法二：通过线面垂直证明，法三:根据三垂线证明；（2）法一：通过建立空间直角坐标系，运用向量数量积证明，法二：通过面面平行证明线面平行；（3）法一：通过建立空间直角坐标系，运用向量方法求解，法二：运用等体积法求解.【小问1详解】证明：法一：在直三棱柱中，因为，以点为坐标原点，方向分别为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.因为，所以，所以所以，所以.法二：连接，在直三棱柱中，有面，面，所以，又，则，因为，所以面因为面，所以因为，所以四边形为正方形，所以因为，所以面因为面，所以.法三：用三垂线定理证明：连接，在直三棱柱中，有面因为面，所以，又，则，因为，所以面所以在平面内的射影为，因为四边形为正方形，所以，因此根据三垂线定理可知【小问2详解】证明：法一：因为为的中点，为的中点，为中点，是与的交点，所以、，依题意可知为重心，则，可得所以，，设为平面的法向量，则即取得则平面的一个法向量为.所以，则，因为平面，所以平面.法二：连接.在正方形中，为的中点，所以且，所以四边形是平行四边形，所以又为中点，所以四边形是矩形，所以且因为且，所以，所以四边形为平行四边形，所以.因为，平面平面平面平面，所以平面平面，平面，所以平面【小问3详解】法一：由（2）知平面的一个法向量，且平面，所以到平面的距离与到平面的距离相等，，所以，所以点到平面的距离所以到平面的距离为法二：因为分别为和中点，所以为的重心，所以，所以到平面的距离是到平面距离的.取中点则，又平面平面，所以平面，所以到平面的距离与到平面的距离相等.设点到平面的距离为，由得，又，所以，所以到平面的距离是，所以到平面的距离为.18、（1）圆心的坐标为，半径；（2）【解析】（1）利用配方法化圆的一般方程为标准方程，可得圆心坐标与半径；（2）由两点间的距离公式求得，得到与，则的取值范围可求【小问1详解】解：由，得，圆心的坐标为，半径；【小问2详解】解：，，，，的取值范围是19、（1）散点图见解析；（2），能够脱贫.【解析】（1）直接画出点即可；（2）利用公式求出与，即可求出，把代入即可估计出A贫困户在2021年能否脱贫.【小问1详解】画出y关于x的散点图，如图所示：【小问2详解】根据表中数据，计算，，又因为，，所以，，关于的线性回归方程，当时，（百元），估计年A贫困户人均年纯收入达到元，能够脱贫.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接BD，在四边形ABCD中求得，在中，取得，得到，由线面垂直的性质证得平面，得到，再由线面垂直的判定定理，证得平面PBD，进而得到，即可证得是直角三角形（2）以为原点，以所在直线为x轴，过点且与平行直线为y轴，所在直线为z轴，建立的空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：如图所示，连接BD，因为四边形中，可得，，，所以，，则在中，由余弦定理可得，所以，所以因为平面底面，平面底面，底面ABCD，所以平面PAB，因为平面PAB，所以，因为，，所以平面PBD因为平面PBD，所以，即是直角三角形【小问2详解】解：由（1）知平面PAB，取AB的中点O，连接PO，因为，所以，因为平面，平面底面，平面底面，所以底面,以为原点，以所在直线为x轴，过点且与平行的直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，