2026年统计学专业期末考试题库及答案-统计预测与决策理论应用历年真题解

2026年统计学专业期末考试题库及答案—统计预测与决策理论应用历年真题解一、单项选择题（每题2分，共20分）1.在时间序列预测中，若某序列的ACF图在滞后1阶后迅速衰减至0附近，而PACF图在滞后1阶后截尾，则该序列最可能服从A.AR(1)B.MA(1)C.ARMA(1,1)D.ARIMA(0,1,1)答案：A解析：ACF拖尾、PACF截尾是AR(p)的典型特征，滞后1阶截尾对应AR(1)。2.设某产品月销量Xt满足Xt=0.8Xt-1+εt，εt～N(0,σ²)。若已知X100=120，则X102的最小均方误差预测值为A.120B.96C.76.8D.153.6答案：C解析：两步预测φ²X100=0.8²×120=76.8。3.在贝叶斯决策中，若损失函数为平方误差，则最优决策为A.后验均值B.后验中位数C.后验众数D.先验均值答案：A解析：平方误差损失下的贝叶斯估计量是后验均值。4.对某季度数据建立SARIMA(0,1,1)(0,1,1)₄模型，其季节差分阶数为A.0B.1C.4D.12答案：B解析：括号内第二个1表示季节差分阶数D=1。5.若某预测方法的MAPE连续三年分别为4.2%、3.8%、4.5%，则该方法A.存在明显偏差B.存在递增方差C.表现稳定D.存在滞后答案：C解析：MAPE波动小于1个百分点，表明预测精度稳定。6.在指数平滑中，平滑参数α=0.8意味着A.历史权重衰减缓慢B.历史权重衰减迅速C.序列无趋势D.序列无季节答案：B解析：α越大，近期观测权重越高，历史信息衰减越快。7.对高维回归实施LASSO的主要目的是A.降低偏差B.提高可解释性并实现变量选择C.消除异方差D.增强共线性答案：B解析：LASSO通过ℓ₁惩罚实现稀疏估计，自动选择变量。8.若随机森林的OOB误差为6.3%，而测试误差为9.1%，则最合理的解释是A.模型过拟合B.模型欠拟合C.数据泄露D.样本分布偏移答案：D解析：OOB误差与测试误差差异大，提示训练集与测试集分布不一致。9.在状态空间模型中，Kalman滤波的一步ahead预测误差称为A.平滑残差B.创新序列C.似然增量D.增益向量答案：B解析：创新序列(innovation)是观测值与一步预测之差。10.若某预测区间的覆盖率连续10期均为98%，而名义水平为95%，则A.区间过宽B.区间过窄C.模型无偏D.模型方差低估答案：A解析：实际覆盖率高于名义水平，说明区间保守、过宽。二、多项选择题（每题3分，共15分）11.下列哪些技术可用于处理非平稳序列A.差分B.Box-Cox变换C.协整检验D.小波分解E.季节调整答案：ACE解析：差分与季节调整直接消除非平稳；协整处理多个非平稳序列的长期均衡；Box-Cox与小波主要处理方差非平稳或局部特征。12.关于Bagging的陈述正确的是A.降低方差B.基学习器必须深度很大C.可并行训练D.对不稳定学习器效果显著E.一定提升预测精度答案：ACD解析：Bagging通过平均降低方差；基学习器无需很深；并行训练是其优点；对不稳定学习器（如决策树）效果佳；若基学习器本身偏差大，Bagging未必提升精度。13.下列属于概率预测评分规则的是A.CRPSB.MAEC.DSSD.LogSE.RMSE答案：ACD解析：CRPS(连续分级概率评分)、DSS(Dawid-Sebastiani)、LogS(对数评分)均评估概率分布；MAE、RMSE仅评估点预测。14.在贝叶斯模型平均(BMA)中，权重取决于A.先验模型概率B.边缘似然C.参数后验众数D.模型复杂度惩罚E.训练时长答案：ABD解析：BMA权重∝先验模型概率×边缘似然；边缘似然已隐含复杂度惩罚；与后验众数及训练时长无关。15.对高维协方差矩阵估计，有效方法包括A.样本协方差B.Ledoit-Wolf收缩C.GraphicalLASSOD.因子模型E.硬阈值答案：BCDE解析：样本协方差在高维下病态；收缩、稀疏、因子结构均为有效正则化。三、计算与证明题（共35分）16.（8分）设Yt服从ARIMA(1,1,0)模型：(1−φB)(1−B)Yt=εt，εt～N(0,σ²)，|φ|<1。已知Yn=100，Yn-1=95，φ=0.7，σ=2。求Yn+3的95%预测区间。解：记Wt=(1−B)Yt，则Wt～AR(1)：Wt=φWt-1+εt。Wn=Yn−Yn-1=5。三步预测：Wn(1)=φWn=3.5Wn(2)=φ²Wn=2.45Wn(3)=φ³Wn=1.715Yn+3=Yn+Wn(1)+Wn(2)+Wn(3)=100+3.5+2.45+1.715=107.665预测误差方差：Var(en(3))=σ²[1+(1+φ)²+(1+φ+φ²)²]=4×[1+1.7²+2.39²]=4×(1+2.89+5.7121)=38.4084标准误=√38.4084≈6.19795%区间：107.665±1.96×6.197→[95.52,119.81]17.（9分）某零售商对周销量建立状态空间模型：观测方程：Yt=μt+εt，εt～N(0,σ²ε)状态方程：μt=μt-1+ηt，ηt～N(0,σ²η)已知σ²ε=25，σ²η=4，初始μ0|0=100，P0|0=9。现观测到Y1=108，求μ1|1及P1|1，并给出第2周销量的一步预测分布。解：预测步：μ1|0=μ0|0=100P1|0=P0|0+σ²η=9+4=13更新步：K1=P1|0/(P1|0+σ²ε)=13/38≈0.342μ1|1=μ1|0+K1(Y1−μ1|0)=100+0.342×8≈102.74P1|1=(1−K1)P1|0=0.658×13≈8.55第2周预测：Y2|1～N(μ1|1,P1|1+σ²ε)=N(102.74,8.55+25)=N(102.74,33.55)18.（10分）某企业欲预测季度利润，考虑三种模型：AR(4)、SARIMA(1,0,1)(0,1,1)₄、随机森林。使用2010Q1—2022Q4数据，末四年做滚动原点验证，结果如下：模型|RMSE|MAE|MAPE|CRPSAR(4)|3.81|3.10|8.7%|2.15SARIMA|3.05|2.44|6.9%|1.72RF|3.42|2.70|7.6%|1.98（1）请给出选择SARIMA的统计依据；（2）若企业更关注利润下滑风险，应如何调整评估指标？解：（1）SARIMA在三项指标均最优，且CRPS最小，表明其概率预测校准度最好；Diebold-Mariano检验显示SARIMA相对AR(4)的RMSE差异p=0.018<0.05，显著优于AR(4)。（2）可引入下行加权指标，如LinLin损失（低估损失权重2倍）、QuantileLossatτ=0.1，或计算下行MAPE(仅实际>预测时计入)。亦可用CVaR区间覆盖率评估左尾。19.（8分）证明：对于任意线性预测X̂n+h=∑ψiXn−i，最小化MSE等价于投影定理。证明：令预测误差en+h=Xn+h−X̂n+h。MSE=E[en+h²]=E[(Xn+h−∑ψiXn−i)²]。对ψk求偏导并令为零：∂MSE/∂ψk=−2E[Xn−k(Xn+h−∑ψiXn−i)]=0⇒E[Xn−ken+h]=0，即误差与观测空间正交。由投影定理，此正交条件唯一确定最优线性投影，故得证。四、综合建模题（30分）20.背景：某共享单车公司需预测未来7天各站点借车量，以指导车辆调度。数据：2021年1月—2023年10月，共1005个站点，15分钟粒度，含天气、节假日、POI、地铁时刻表等外生变量。任务：（1）给出完整建模流程，含数据清洗、特征工程、模型选择、验证、概率预测、决策应用；（2）针对“早高峰部分站点供不应求”问题，设计基于预测结果的调度优化策略，并量化其期望收益。解：（1）流程a.数据清洗：剔除连续缺失>2小时站点；线性插值补全短缺口；异常值用3σ规则+孤立森林联合检测。b.特征工程：时间特征：星期、节假日、寒暑假、节气；天气特征：温度、湿度、风速、降水，使用滞后0–2小时；空间特征：站点500米内POI数量（办公、住宅、公交）、地铁进站量滚动30分钟和；历史特征：同期上周同期借车量、上周同期还车量、过去24小时滑动平均；交互特征：温度×节假日、降雨×工作日；对高度偏斜变量做Box-Cox。c.模型选择：基准：SARIMA(0,1,3)(0,1,1)₂₄+外部回归(SARIMAX)；机器学习：GradientBoostingTrees(LightGBM)，含类别特征直接支持；深度学习：TemporalFusionTransformer(TFT)，编码静态站点属性、动态时变变量；验证：2023年7—10月滚动窗口，步长1天，预测horizon=7×96=672步。评估：RMSE、MAE、MAPE、CRPS、区间覆盖率、技能分数Skill=1−RMSE/naive。结果：TFT在CRPS领先7.3%，LightGBM在MAPE领先2.1%，但TFT概率预测校准更好，故选TFT。d.概率预测：TFT输出分位数0.1–0.9，共9分位；用PinballLoss调参；对极端事件（暴雨、演唱会）引入贝叶斯后验修正，融合气象部门降水概率。e.验证：PIT图近似均匀，区间覆盖率94.8%vs名义95%，表明校准良好；DM检验p<0.01优于其余模型。（2）调度优化a.决策变量：每晚22:00决定调度卡车数量K及路径，目标次日早高峰(7:00–9:00)缺车数期望最小。b.需求缺口：对站点i，早高峰借车预测分布Qi～TFT输出，还车分布Ri～同理；净需求Di=Qi−Ri。c.缺车概率：P(Di>bi)=1−F_Di(bi)，bi为当前库存。d.期望缺车：E[max(Di−bi,0)]=∫_{bi}^{∞}(x−bi)f_Di(x)dx，用分位数插值快速算。e.收益：每减少一次缺车可节省用户流失成本3元，调度成本含卡车固定200元/辆、可变1.2元/辆·公里。f.模型：随机规划，目标min调度成本+3×E[缺车]；解：用SampleAverageApproximation，抽样500次，CPLEX求解；对1005站点聚类为80区域，降维。g.结果：优化后早高峰缺车数下降42%，日期望净收益增加1.37万元；敏感性分析显示降水概率>60%时收益下降但仍为正。五、案例分析题（共20分）21.某省疾控中心需预测流感样病例(ILI)周发病率，以提前调配医疗资源。数据：2010—2023年周数据，含ILI%、气温、湿度、疫苗接种率、学校开学时间、搜索引擎流感指数。（1）指出流感预测相比普通销售预测的三项特殊挑战；（2）给出融合搜索指数的建模方案，并说明如何检验指数增量信息；（3）若2024年春季出现新型变异株，导致历史关系突变，如何在线更新预测？解：（1）挑战a.非平稳性：病毒变异导致传播机制突变，历史参数失效；b.多重时间尺度：季节性+局部爆发+长期趋势，需分层建模；c.数据延迟：ILI报告滞后1–2周，搜索指数实时但噪声大，需处理延迟与精度权衡。（2）方案a.结构：状态空间模型，观测方程ILI_t真实=报告_t+δ_t，δ_t～N(0,σ²_δ)反映延迟；状态含真实ILI、搜索指数偏差、变异株指示；b.搜索指数处理：对原始指数做平滑，取对数差分；用Granger因果检验确认搜索指数滞后1–2周对ILI显著；c.信息检验：构建嵌套模型，无搜索指数vs有搜索指数，比较边缘似然，BF>10认为显著；亦可用R²增加、DM检验。（3）在线更新a.采用贝叶斯动态线性模型(DLM)，允许时变回归系数；b.设置变异株指示变量为隐Markov状态，转移概率用BayesianChangepointDetector估计；c.每周更新后验，若检测到结构突变（后验概率>0.7），扩大系统噪声方差，让模型快速自适应；d.用ParticleLearning实现高效在线推断，延迟<30秒；e.对极端情景，引入专家先验，如R0提升50%，先验加权融合。六、编程与计算题（共20分）22.使用Python完成以下任务并给出代码与输出截图（文字描述即可）：（1）生成长度120的AR(2)序列：Xt=1.2X_{t-1}−0.5X_{t-2}+εt，εt～N(0,1)，前200期burn-in；（2）用statsmodels拟合AR(p)，p由BIC选择，输出参数估计与残差Ljung-Boxp值；（3）做h=1–12步预测，绘制预测均值与90%区间；（4）计算CRPS并解释其相对MAE的优势。代码：```pythonimportnumpyasnpimportpandasaspdimportmatplotlib.pyplotaspltfromstatsmodels.tsa.ar_modelimportAutoRegfromstatsmodels.stats.diagnosticimportacorr_ljungboxfromscipy.statsimportnormfromsklearn.metricsimportmean_absolute_error(1)np.random.seed(42)n=120burn=200ar=np.array([1.2,-0.5])sigma=1x=np.zeros(burn+n)eps=np.random.randn(burn+n)fortinrange(2,burn+n):x[t]=ar[0]x[t-1]+ar[1]x[t-2]+eps[t]x=x[burn:](2)model=AutoReg(x,lags=10,ic='bic')res=model.fit()print(res.summary())lb=acorr_ljungbox(res.resid,lags=10,return_df=True)print('Ljung-Boxp:',lb['lb_pvalue'].min())(3)pred=res.get_prediction(start=len(x),end=len(x)+11)mean=pred.predicted_meanci=pred.conf_int(alpha=0.1)plt.figure(figsize=(8,4))plt.plot(np.arange(len(x)),x,label='Obs')plt.plot(np.arange(len(x),len(x)+12),mean,label='Forecast')plt.fill_between(np.arange(len(x),len(x)+12),ci.iloc[:,0],ci.iloc[:,1],color='gray',alpha=0.3)plt.legend()plt.show()(4)true=x[-12:]#pse