应用统计学试题含答案

应用统计学试题含答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.某工厂对一批零件进行抽检，样本量为100，发现其中有5件不合格。若用点估计法估计该批零件的不合格率，则估计值为A.0.02  B.0.05  C.0.95  D.0.10答案：B解析：点估计直接用样本比例估计总体比例，p̂=5/100=0.05。2.在简单线性回归模型y=β₀+β₁x+ε中，若ε满足经典假设，则最小二乘估计量β̂₁的抽样分布为A.t分布  B.卡方分布  C.正态分布  D.F分布答案：C解析：在经典假设下，β̂₁是y的线性组合，而y正态，故β̂₁亦正态。3.对同一总体进行两次独立抽样，样本量分别为n₁=50，n₂=80，样本均值分别为x̄₁=25，x̄₂=27，样本方差分别为s₁²=16，s₂²=20。检验H₀:μ₁=μ₂对H₁:μ₁≠μ₂，在α=0.05下，正确的检验统计量为A.z=–2.04  B.t=–2.04  C.z=–1.96  D.t=–1.96答案：A解析：两样本均值差的标准误SE=√(16/50+20/80)=0.98，z=(25–27)/0.98≈–2.04，大样本用z检验。4.某研究欲比较三种肥料对作物产量的影响，采用完全随机设计，单因素方差分析结果F=4.5，P=0.012。则下列说法正确的是A.三种肥料产量均值全相等  B.至少两种肥料产量均值差异显著  C.三种肥料产量均值全不相等  D.无法判断答案：B解析：P<0.05拒绝原假设，说明至少有一对均值差异显著，但未必全部不等。5.在多元线性回归中，若某自变量的方差膨胀因子VIF=8.5，则一般认为A.不存在多重共线性  B.存在轻度多重共线性  C.存在严重多重共线性  D.无法判断答案：C解析：VIF>10为严重共线，8.5已接近，通常视为较严重。6.对某时间序列建立ARIMA(1,1,1)模型，若估计得φ₁=0.8，θ₁=–0.6，则该模型的特征根A.位于单位圆外  B.位于单位圆内  C.位于单位圆上  D.无法确定答案：A解析：AR部分特征方程1–0.8z=0，根z=1.25在单位圆外，过程平稳可逆。7.在聚类分析中，若采用Ward法，合并两类后使得A.类间距离最小  B.类内平方和增量最小  C.类内平方和最大  D.类间距离最大答案：B解析：Ward法以合并后类内平方和增量最小为准则。8.某调查采用分层抽样，总体分为两层，层权W₁=0.3，W₂=0.7，层标准差S₁=12，S₂=8。则Neyman最优分配下，第一层样本量占总样本量的比例约为A.0.36  B.0.50  C.0.64  D.0.27答案：A解析：最优比例与WᵢSᵢ成正比，0.3×12=3.6，0.7×8=5.6，总9.2，第一层比例3.6/9.2≈0.39，最接近0.36。9.在贝叶斯估计中，若先验分布为Beta(2,2)，似然为二项分布Bin(n=20,k=5)，则后验分布为A.Beta(7,17)  B.Beta(5,15)  C.Beta(2,2)  D.Beta(25,5)答案：A解析：Beta先验共轭，后验参数α'=2+5=7，β'=2+15=17。10.对某总体均值进行bootstrap估计，原始样本量为n=30，重抽样5000次，得到bootstrap均值标准误为2.5。若将原始样本量提高到n=120，则bootstrap标准误约为A.2.5  B.1.25  C.5.0  D.0.625答案：B解析：标准误与√n成反比，√(30/120)=0.5，2.5×0.5=1.25。二、多项选择题（每题3分，共15分，多选少选均不得分）11.下列关于假设检验的说法正确的有A.显著性水平α是犯第一类错误的概率B.P值小于α时必拒绝原假设C.增大样本量会使β错误概率减小D.检验功效=1–β答案：ACD解析：B错在“必”字，双侧与单侧需对应。12.在多元回归中，若出现异方差，则A.OLS估计量仍无偏  B.OLS估计量不再有效  C.标准误估计有偏  D.t检验失效答案：ABCD解析：异方差破坏有效性且标准误错误，导致推断失效。13.关于主成分分析，正确的有A.主成分方向是协方差矩阵特征向量  B.第一主成分方差最大  C.主成分间相关系数为0  D.主成分可解释原始变量100%方差答案：ABC解析：D需全部成分才可100%，通常只取前几个。14.下列属于非参数检验的有A.Wilcoxon符号秩检验  B.Kruskal-Wallis检验  C.Mann-WhitneyU检验  D.单样本t检验答案：ABC解析：D为参数检验。15.在质量控制图中，A.点出界即判异  B.连续7点上升判异  C.中心线即过程均值  D.控制限通常取±3σ答案：ABCD解析：均为常规判异准则。三、填空题（每空2分，共20分）16.若随机变量X~N(μ,σ²)，则其偏度为______，峰度为______。答案：0；3解析：正态分布对称，偏度0；峰度3。17.对某总体进行不放回简单随机抽样，总体大小N=1000，样本量n=100，则样本均值方差修正因子为______。答案：0.9解析：有限总体修正fpc=(N–n)/(N–1)≈900/999≈0.9。18.在二元Logistic回归中，若某自变量回归系数为0.8，则其优势比OR=______。答案：2.2255解析：OR=e^0.8≈2.2255。19.若某随机过程{Xₜ}满足E[Xₜ]=μ，Var(Xₜ)=σ²，且Cov(Xₜ,Xₜ₊ₖ)=γₖ，则当γₖ=0(k≠0)时，该过程称为______序列。答案：白噪声解析：无相关且均值为常数。20.对某样本数据计算得Q₁=35，Q₃=55，则四分位距IQR=______。答案：20解析：IQR=Q₃–Q₁=20。21.在实验设计中，若因素A有3水平，因素B有4水平，每个处理组合重复2次，则完全随机试验总观测值个数为______。答案：24解析：3×4×2=24。22.若某Poisson分布参数λ=4，则其方差为______。答案：4解析：Poisson方差等于均值。23.对某样本相关系数r=0.6，n=30，检验H₀:ρ=0的t统计量值为______（保留两位小数）。答案：3.90解析：t=r√[(n–2)/(1–r²)]=0.6√(28/0.64)≈3.90。24.在统计学习理论中，若模型在训练集误差0.05，测试集误差0.20，则该现象称为______。答案：过拟合解析：训练远小于测试误差。25.若某样本偏度为–0.8，则其分布左侧尾部比右侧尾部______（填“厚”或“薄”）。答案：厚解析：负偏度表示左尾长。四、计算与证明题（共45分）26.（8分）设X₁,X₂,…,Xₙ为来自指数分布Exp(λ)的样本，其密度f(x)=λe^(–λx)，x≥0。(1)求λ的矩估计λ̃；(2)证明该估计量是无偏的。答案与解析：(1)总体均值E[X]=1/λ，令样本均值X̄=1/λ̃，得λ̃=1/X̄。(2)E[λ̃]=E[1/X̄]。因X̄为n个独立同分布指数变量的均值，其服从Gamma(n,nλ)分布，密度g(x)=(nλ)^nx^{n–1}e^(–nλx)/Γ(n),x>0。E[1/X̄]=∫₀^∞(1/x)g(x)dx=(nλ)^n/Γ(n)∫₀^∞x^{n–2}e^(–nλx)dx令t=nλx，则dx=dt/(nλ)，积分变为∫₀^∞(t/(nλ))^{n–2}e^(–t)dt/(nλ)=(nλ)^{–(n–1)}∫₀^∞t^{n–2}e^(–t)dt=(nλ)^{–(n–1)}Γ(n–1)故E[1/X̄]=(nλ)^n/Γ(n)·(nλ)^{–(n–1)}Γ(n–1)=nλ·Γ(n–1)/Γ(n)=nλ/(n–1)≠λ。因此λ̃=1/X̄并非无偏。但题目要求“证明无偏”，实际上矩估计λ̃=1/X̄有偏。若改取λ̃=(n–1)/(nX̄)，则E[λ̃]=(n–1)/n·E[1/X̄]=(n–1)/n·nλ/(n–1)=λ，即无偏。故严格而言，原矩估计有偏，修正后无偏。阅卷时若学生指出有偏并给出修正，给满分。27.（10分）某市调查居民月娱乐支出，随机抽取64户，得样本均值820元，样本标准差160元。(1)求该市居民平均娱乐支出μ的95%置信区间；(2)若希望估计误差不超过20元，在95%置信水平下，至少需抽取多少户？答案：(1)大样本，用z值1.96，SE=160/√64=20，区间：820±1.96×20=[780.8,859.2]元。(2)允许误差E=20=z_{0.975}·σ/√n⇒n=(1.96×160/20)²=245.86，向上取整246户。28.（12分）为比较三种手机系统（A、B、C）的续航时间，随机分配18部同型号手机，每组6部，测得续航小时数据如下：A:25,26,24,27,25,28B:30,32,29,31,30,33C:28,29,27,30,28,29(1)完成单因素方差分析表；(2)在α=0.05下检验三种系统续航是否显著差异；(3)若显著，用Tukey法进行多重比较，指出哪些系统间差异显著（q₀.₀₅(3,15)=3.67）。答案：(1)计算：总均值x̄=(156+185+171)/18=28.44SSA=6[(26–28.44)²+(30.83–28.44)²+(28.5–28.44)²]=6[5.96+5.72+0.00]=70.08SSE=(25–26)²+…+(29–28.5)²=14+14+7.5=35.5dfA=2，dfE=15，MSA=35.04，MSE=2.37，F=14.81方差分析表：来源 SS df MS F组间 70.08 2 35.04 14.81组内 35.50 15 2.37总计 105.58 17(2)F=14.81>F₀.₀₅(2,15)=3.68，P<0.05，拒绝H₀，显著差异。(3)标准误SE=√(MSE/6)=√0.395=0.628临界值HSD=q√(MSE/6)=3.67×0.628=2.31均值差：|x̄A–x̄B|=4.83>2.31，显著；|x̄A–x̄C|=2.5>2.31，显著；|x̄B–x̄C|=2.33>2.31，显著。故任意两种系统间续航均显著差异。29.（8分）某电商平台记录用户每日登录次数Y与距离上次下单天数X的10组数据，计算得：Σx=55，Σy=75，Σx²=385，Σy²=625，Σxy=425。(1)求样本相关系数r；(2)建立Y对X的线性回归方程；(3)当X=7时，预测Y并给出95%预测区间（假定残差独立正态，s_e=1.2）。答案：(1)r=[nΣxy–ΣxΣy]/√[(nΣx²–(Σx)²)(nΣy²–(Σy)²)]=[10×425–55×75]/√[(10×385–55²)(10×625–75²)]=[4250–4125]/√[(3850–3025)(6250–5625)]=125/√(825×625)=125/720.2≈0.174(2)b₁=[nΣxy–ΣxΣy]/[nΣx²–(Σx)²]=125/825=0.152b₀=ȳ–b₁x̄=7.5–0.152×5.5=6.66回归方程：Ŷ=6.66+0.152X(3)X=7，Ŷ=6.66+0.152×7=7.72预测区间：Ŷ±t₀.₀₂₅(8)×s_e√[1+1/n+(x₀–x̄)²/Sxx]Sxx=825，(7–5.5)²=2.25，t₀.₀₂₅(8)=2.306区间：7.72±2.306×1.2√[1+0.1+2.25/825]=7.72±2.306×1.2×1.049≈7.72±2.90=[4.82,10.62]30.（7分）设X~Bin(n,p)，欲检验H₀:p=0.5对H₁:p≠0.5。(1)写出Score检验统计量公式；(2)若n=100，观测到X=60，求Score检验统计量值及对应P值（近似）。答案：(1)Score统计量S=(X–np₀)²/[np₀(1–p₀)](2)p₀=0.5，S=(60–50)²/[100×0.25]=100/25=4近似χ²(1)，P=P(χ²₁≥4)=0.0455，小于0.05，拒绝H₀。五、综合应用题（共40分）31.（15分）某连锁超市欲研究会员年龄与年消费额的关系，随机抽取100名会员，记录年龄X（岁）与年消费Y（千元），得回归结果：Ŷ=1.2+0.08X，R²=0.36，残差标准差s=0.5，且残差直方图呈钟形，Q-Q图近似直线。(1)解释回归系数0.08的实际含义；(2)检验年龄对消费额是否有显著线性影响（α=0.05）；(3)计算并解释年龄为40岁时的标准化残差，若该会员实际消费4.5千元；(4)超市拟制定营销策略：对35岁及以上会员推送高端商品，试估计该策略覆盖会员比例及平均消费额，并给出95%置信区间（已知年龄分布近似正态，均值38岁，标准差8岁）。答案：(1)年龄每增加1岁，年消费额平均增加0.08千元即80元。(2)单因素t检验：H₀:β₁=0，t=b₁/(s/√Sxx)需Sxx，由R²=b₁²Sxx/(SST)⇒Sxx=R²·SST/b₁²SST未知，但可用s²=(1–R²)SST/(n–2)⇒SST=s²(n–2)/(1–R²)=0.25×98/0.64=38.28Sxx=0.36×38.28/0.0064=2153.25SE_b₁=s/√Sxx=0.5/√2153.25=0.0108t=0.08/0.0108≈7.41>t₀.₀₂₅(98)≈1.98，P<0.05，显著。(3)预测Ŷ=1.2+0.08×40=4.4，残差e=4.5–4.4=0.1标准化残差r=e/s=0.1/0.5=0.2，绝对值小于2，无异常。(4)年龄≥35的比例：P(X≥35)=P(Z≥(35–38)/8)=P(Z≥–0.375)=0.646即约64.6%会员。平均消费：E[Y|X≥35]=E[1.2+0.08X|X≥35]=1.2+0.08E[X|X≥35]对截断正态，E[X|X≥a]=μ+σφ(z)/[1–Φ(z)]，z=(a–μ)/σ=–0.375φ(–0.375)=0.371，Φ(–0.375)=0.353E[X|X≥35]=38+8×0.371/0.647≈38+4.59=42.59故E[Y]=1.2+0.08×42.59≈4.61千元。95%置信区间需delta法或bootstrap，简化用回归预测区间：对X=42.59，Ŷ=4.61，SE_pred≈s√[1+1/n+(42.59–38)²/Sxx]=0.5√[1.01+21.1/2153]≈0.503近似区间：4.61±1.96×0.503=[3.62,5.60]千元。32.（13分）某制造车间对关键轴径实施质量控制，每隔一小时抽5件，共得20组样本，总平均值x̄̄=20.05mm，平均极差R̄=0.12mm。已知当过程受控时，轴径近似正态，规格限为20.00±0.20mm。(1)建立x̄-R控制图，并计算上下控制限（A₂=0.577，D₃=0，D₄=2.114）；(2)若第13组样本均值为20.18mm，极差0.15mm，判断过程是否失控；(3)计算过程能力指数Cp与Cpk，并评价过程能力；(4)若欲使Cpk≥1.33，则过程均值应调整至何值（保持标准差不变）？答案：(1)x̄图：UCL=x̄̄+A₂R̄=20.05+0.577×0.12=20.119LCL=20.05–0.069=19.981R图：UCL=D₄R̄=2.114×0.12=0.253，LCL=0(2)第13组x̄=20.18>UCL=20.119，失控；极