人教版九年级数学下册《第二十八章锐角三角函数》单元测试卷及答案

第页人教版九年级数学下册《第二十八章锐角三角函数》单元测试卷及答案一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。）1．已知∠α为锐角，且cosα=3A．60° B．90° C．30° D．45°2．在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB=3A．35 B．45 C．533．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都放大2倍，则sinA的值（）A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定4．已知α为锐角，cos(α−20°)=1A．30° B．50° C．60° D．80°5．在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，且BD⊥CE，那么tan∠ABC的值为（）A．3 B．2 C．2 D．36．如图，一条笔直的东西公路的北边有一个建筑物C，小明在公路上的点A处测得建筑物C在北偏东60°的方向上；小明向东走20米到达点B处，测得建筑物C在北偏东30°方向上．则建筑物C到公路l的距离为（）A．10米 B．103米 C．15米 D．37．一辆卡车沿倾斜角为30°的斜坡向上行驶100m，则卡车水平方向所经过的距离为（）A．1002(m) B．1003(m) C．8．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA的值是（）A．35 B．45 C．49．若△ABC中，锐角A、B满足|sinA−3A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形10．图1是一款折叠日历，图2是其侧面示意图，若AB＝AC＝a，BD＝CD＝b，∠BAC＝20°，∠BDC＝100°，则点A，D之间的距离为（）A．asin10°﹣bcos50° B．acos10°﹣bsin50° C．asin10°﹣bsin50° D．acos10°﹣bcos50°11．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面120m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行73m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M，N，A，B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）（）A．41m B．42m C．43m D．77m12．如图，⊙O的半径为2，弦CD垂直直径AB于点E，且E是OA的中点，点P从点E出发（点P与点E不重合），沿E→D→B的路线运动，设AP＝x，sin∠APC＝y，那么y与x之间的关系图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝3，则cosA＝．14．计算：tan215．在Rt△ABC中，∠C＝90°．如果tanB＝2，AB＝5，那么AC＝．16．若m为正整数，且满足m＜tan60°＜m+1，则m＝．17．定义一种运算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：当α＝60°，β＝45°时，sin(60°+45°)=32×18．定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（sec），锐角A的正割记作secA．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，点E在边CA上，∠ADE＝90°，DE＝CE，那么secA的值是．三、解答题（本题共8小题，共72分．）19．（8分）计算：（1）cos230°•tan60°﹣4sin30°+tan45°；（2）|1−320．（8分）根据下列条件，解直角三角形：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，∠B＝60°；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，b=621．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，连接BE，BE＝5，sin∠CBE=2（1）求BC的长；（2）求tanA的值．22．（8分）如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD．在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i＝1：3，AB=1010（1）求平台BN的高度；（2）求建筑物的高度（即CD的长）．23．（10分）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝3m，∠CAB＝60°；停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB＝37°（点C，A，D在同一直线上，且直线CD与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73（1）求AB的长；（2）求物体上升的高度CE（结果精确到0.1m）．24．（10分）如图，甲、乙两艘海上巡逻艇同时从A岛出发，甲先沿北偏东60°方向航行140海里到B岛领取物资（领取物资的时间忽略不计），再沿东南方向航行到E岛与乙巡逻艇汇合，E岛恰好在A岛的正东方向．乙巡逻艇从A岛出发后，先沿南偏东53°方向航行到岸边的C处，再沿海岸线水平向右航行70海里到D处加油，加油完毕后，再沿东北方向航行至E岛．（1）请求出AE的长度；（结果保留根号）（2）若甲、乙巡逻艇的航行速度都为50海里/小时，且甲、乙巡逻艇恰好同时到达E岛，请问乙巡逻艇在D处加油花了多少小时？（计算结果精确到0.01）（参考数据：sin37°≈3525．（10分）如图1是一款多功能折叠椅的实物图，图2是其打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度）．支架AB，CD相交于点O，支架AB可绕点A旋转，支架CD可绕点O旋转，同时支架CD的端点C可在椅面AQ上左右滑动．AN为桌面EF的支撑臂．HG．HM为桌面EF的托杆，点G，M分别固定在桌面和支撑臂上，两托杆可以绕连接点H转动．现折叠椅为完全打开状态，已知AO：BO＝1：2，AQ与地面BD平行，AN⊥AQ，AQ＝EF＝32cm，NE＝CQ＝5cm，AB＝66cm，AN＝27cm．（1）求两支架底端B，D之间的距离；（2）已知将折叠椅完全打开成桌子时，桌面的倾斜角（桌面与水平方向的夹角）为15°，支架AB与椅面AQ的夹角为32°，求此时桌面左上角顶点F到地面的距离．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）26．（10分）如图（1），已知△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，tan∠B=34，tan∠F（1）如图（2），当E′在线段AB上时，设ABBE'=x，（2）当AB＝2BE时，设以A、C、E′、G为顶点构成的四边形面积为S，求SS参考答案一、选择题1．C【解答】解：∵∠α为锐角，且cosα=3∴∠α＝30°．故选：C．2．A【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，sinB=3∴cosA=AC故选：A．3．C【解答】解：∵把△ABC的三边都放大2倍后，所得的三角形与△ABC是相似三角形，∴∠A的大小不变，∴sinA的值不变，故选：C．4．D【解答】解：∵cos60°=1∴α﹣20°＝60°，解得：α＝80°，故选：D．5．A【解答】解：连接DE，过点E作BC的垂线，垂足为F，∵BD，CE分别是边AC，AB上的中线，∴点D，E分别为AC和AB的中点，∴DE是△ABC的中位线．令DE＝2x，则BC＝4x，又∵四边形DEBC是等腰梯形，∴BF=1由对称性可知，∠GBC＝∠GCB，∴△GBC是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°．又∵EF⊥BC，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC＝3x．在Rt△EBF中，tan∠ABC=EF故选：A．6．B【解答】解：过点C作CP⊥AB，∠PAC＝90°﹣30°＝60°，∠PCB＝30°，∵PBPC∴BP=PCtan30°=3∵PCAP∴AP=PC∵AB＝AP﹣BP＝20米，∴3PC−∴PC=103故选：B．7．D【解答】解：如图：过点B作BC⊥AC，垂足为C，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝100m，∴AC＝AB•cos30°＝100×32=∴卡车水平方向所经过的距离为503m，故选：D．8．C【解答】解：如图，连接格点BD、CD．在Rt△ABD中，tanA=BD故选：C．9．D【解答】解：根据题意得sinA−32=∴sinA=32，cosB∴锐角A＝60°，锐角B＝60°，∴△ABC为等边三角形．故选：D．10．D【解答】解：连接BC，连接AD并延长交BC于点E，∵AB＝AC，DB＝DC，∴AD是BC的垂直平分线，∴∠BAD＝∠CAD=12∠BAC＝10°，∠BDE＝∠CDE在Rt△BDE中，BD＝b，∴DE＝BD•cos50°＝bcos50°，在Rt△ABE中，AB＝a，∴AE＝AB•cos10°＝acos10°，∴AD＝AE﹣DE＝acos10°﹣bcos50°，∴点A，D之间的距离为acos10°﹣bcos50°，故选：D．11．C【解答】解：延长BA交MN于点C，可知BC⊥MN，由题意可知BC＝120m，MN＝73m，∠CNB＝45°，∴CN=BC∴MC＝MN+CN＝73+120＝193m．∵∠AMC＝22°，∴AC＝MC•tan22°≈193×0.40＝77.2，∴AB＝BC﹣AC＝120﹣77.2＝42.8≈43（m）．则潮汐塔AB的高度为（结果精确到1m）为43（m），故选：C．12．C【解答】解：当点P在线段ED时，y＝sin∠APC=AE∴当0＜x≤2时，函数图形是反比例函数，当点P在BD上时，∠APC是定值，y是定值，故选：C．二、填空题13．10【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，得AB为斜边．由tanA=BCBC＝3AC．在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理，得AB=AcosA=AC故答案为：101014．176【解答】解：原式=(=1=17故答案为：17615．25．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB=AC设BC＝x，则AC＝2x（x＞0）由勾股定理，得（2x）2+x2＝52，即（2BC）2+BC2＝52，∴4x2+x2＝25，∴x2＝5，∵x＞0，x=5∴BC=5∴AC=2BC=25故答案为：2516．1．【解答】解：tan60°=3，1＜∵m为正整数，且满足m＜tan60°＜m+1，m＜3∴m＝1．故答案为：1．17．6−【解答】解：sin15°＝sin（60°﹣45°）＝sin60°•cos45°﹣cos60°•sin45°=6故答案为：6−18．23【解答】解：如图所示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，∴CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴CD＝AD＝BD＝1/2AB，∴△DAC是等腰三角形，∴∠A＝∠DCA，∵DE＝CE，∴∠EDC＝∠DCA，∴∠EDC＝∠DCA＝∠A，∵∠AED是△EDC的外角，∴∠AED＝∠EDC+∠DCA＝2∠A，∵∠ADE＝90°，∴△ADE是直角三角形，∴∠A+∠AED＝90°，∴∠A+2∠A＝90°，∴∠A＝30°，设DE＝a，则AE＝2a，由勾股定理得：AD=A∴secA=AE三、解答题19．解：（1）原式==3=3（2）原式=320．解：（1）∠A＝30°，c=asinA=（2）∠B＝45°，a＝btanA=6tan45°=6，c=b21．解：（1）在Rt△BCE中，sin∠CBE=CE∵sin∠CBE=2∴CE＝2，则BC=B（2）∵点D为AB的中点，且DE⊥AB，∴AE＝BE＝5，∴AC＝AE+EC＝5+2＝7，∴tanA=BC22．解：（1）如图，过点B作BE⊥AM于E，∵斜坡AB的坡度为1：3，∴BEAE∴AE＝3BE，在Rt△ABE中，AB2＝BE2+AE2，即（1010）2＝BE2+（3BE）2，解得：BE＝10，答：平台BN的高度为10米；（2）如图，延长CD交AM于F，则CF⊥AM，∴四边形BEFD为矩形，∴DF＝BE＝10米，BD＝EF，设CD＝x米，则CF＝（x+10）米，在Rt△ACF中，∠CAF＝30°，∵tan∠CAF=CF∴33∴AF=3在Rt△CBD中，∠CBD＝60°，则BD=CD由（1）可知：AE＝3BE＝30米，∴3（x+10）−3解得：x＝153−答：建筑物的高度为（153−23．解：（1）由题意得：∠BCA＝90°，∵AC＝3m，∠CAB＝60°，在Rt△ABC中，由cos∠A=AC得：3AB=cos60°∴AB＝6m；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=AB2在Rt△BCD中，sin∠CDB=BC∴sin37°=3∴BD＝53m，由题意得，BC+AB＝BE+BD，∴BE＝BC+AB﹣BD＝33+6﹣53=6﹣2∴CE＝BC﹣BE＝33−（6﹣23）＝53答：物体上升的高度约为2.7m．24．解：（1）过点B作BH⊥AE于点H，由题意∠BAE＝30°，∠BEA＝45°，AB＝140海里，∴在Rt△AHB中，BH=1AH＝AB•cos∠BAE＝703（海里），∵在Rt△EHB中，∠BEA＝45°，∴BH＝HE＝70（海里），∴BE=2∴AE=AH+HE=(70+703答：AE的长度为（70+703）海里；（2）过点C作CM⊥AE于点M，过点D作DN⊥AE于点N设CM＝x，∵CD∥AE，∴∠CMN＝∠CND＝∠CDN＝90°，∴四边形CMND为矩形，∴DN＝CM＝x海里，MN＝CD＝70海里，∵在Rt△END中，∠AED＝45°，∴DN＝NE＝x海里，AM=703∵在Rt△AMC中，∠EAC＝37°，∴sin37°=x∴x＝303（海里），∴DE=2x＝306∴sin∠EAC=CM∴AC＝503（海里），∴甲巡逻艇的总路程为AB+BE=140+702∴甲巡逻艇到达E处所用时间为140+702∵乙巡逻艇的总路程为AC+CD+DE=503∴乙加油的时间：140+70=70答：乙巡逻艇在D处加油花了0.17小时．25．解：（1）∵AQ＝32cm，CQ＝5cm，∴AC＝AQ﹣CQ＝32﹣5＝27（cm），∵AQ∥BD，∴∠CAO＝∠B，∠ACO＝∠D，∴△ACO∽△BDO，∴ACBD∴BD＝2AC＝2×27＝54（cm），答：两支架底端B，D之间的距离为54cm；（2）如图，过点A作AP⊥BD，交BD于点P，分别过点N作NK⊥AN，过点F作FK⊥NK交于点K，∵∠QAO＝32°，AB＝