平面几何中的几个著名定理

平面几何中的几个著名定理

文章来源：全国初中数学竞赛辅导作者：孙瑞清

几何学起源于土地测量，几千年来，人们对几何学进行了深入的研究，现已发展成为一门具有严密的逻辑体

系的数学分支.人们从少量的公理出发，经过演绎推理得到不少结论，这些结论一般就称为定理.平面几何

中有不少定理，除了教科书中所阐述的一些定理外，还有许多著名的定理，以这些定理为基期，可以推出不少

几何事实，得到完美的结论，以至巧妙而简捷地解决不少问题.而这些定理的证明本身，给我们许多有价值

的数学思想方法，对开阔眼界、活跃思维都颇为有益.有些定理的证明方法及其引伸出的结论体现了数学的

美，使人们感到对这些定理的理解也可以看作是一种享受.下面我们来介绍一些著名的定理.

1.梅内劳斯定理

亚历山大里亚的梅内劳斯（Menelaus,约公元100年,他和酢巴达的Menelaus是两个人）曾著《球面论》，

着重讨论球面三角形的几何性质.以他的名子命名的“梅内劳斯定理”现载在初等几何和射影几何的书中，

是证明点共线的重要定理.

定理一直线与AABC的三边AB,BC,CA或延长线分别相交于X,Y,Z,则

AXBYCZ

——X——X——

XBYCZA

证过A,B,C分别作直线XZY的垂线，设垂足分别为Q,P,S,见图3—98.由△AXQs^BXP得

图3-98

AX_AQ

5CB=BP

同理

BY_BPCZ_CS

YC=CS*ZA=AQ

将这三式相乘，得

AXBYCZ

vv=1.

XBYCZA

说明(1)如果直线与aABC的边都不相交，而相交在延长线上，同样可证得上述结论，但一定要有交点，且

交点不在顶点上，否则定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时定理的结论应改为

AXXBYXCZ=XBXYCXZA,

仍然成立.

(2)梅内劳斯定理的逆定理也成立，即“在aABC的边AB和AC上分别取点X,Z,在BC的延长线上取点

Y,如果

AXBYCZ

一X一X一=1,

XBYCZA

那么X,Y,Z共线”.梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共线.

例1已知AABC的内角NB和NC的平分线分别为BE和CF,NA的外角平分线与BC的延长线相交于D,

求证：D,E,F共线.

证如图3—99有

AF_CA

FB=BC>

BD_AB

DC=CA，

CE_BC

EA-?

相乘后得

AFBDCE

——X一X—=1,

FBDCEA

由梅内劳斯定理的逆定理得F,D,E共线.

B

CD

图3-99

例2（戴沙格定理）在AABC和AA'B'C'中，若AA',BB‘，CC'相交于一点S,则AB与A'B',BC与

B'C'，AC与A'C’的交点F,D,E共线.

证如图3—100,直线FA'B‘截aSAB,由梅内劳斯定理有

SA-AfBB-_

AAFBBS"

同理，直线EC'A'和DC'B'分别截4SAC和aSBC,得

AA，SC，CE

——X——X一=1

ASCCZEA

SB'BDCC

——X一X——=；.

B'BDCC'S

将这三式相乘得

AFBDCE

——X一X—=i.

FBDCEA

所以D,E,F共线.

2.塞瓦定理

意大利教学家塞瓦（G.Ceva）在1678年发表了下面的十分有用的定理，它是证明共点线的重要定理.

定理在4ABC内任取一点P,直线AP,BP,CP分别与边BC,CA,AB相交于D,E,F,则

吧X里xV

DCEAFB

证如图3—101,过B,C分别作直线AP的垂线，设垂足为H和K,则

jxBHXAPBH

S&ABP

S&ACPpTZ

-XCKXAP

2

由于△BHDs/\CKD,所以

BD_BH

诙=反,

BD=，ABP

由此得庆=同京

同理可证

CE_S△RCPAJ_S&ACP

EASAABPFB，BCP

将这三式相乘得

BDCEAF,

-----X-------X------=1.

DCEAFB

说明（1）如果P点在aABC外，同样可证得上述结论，但P点不能在直线AB,BC,CA上，否则，定理的

结论中的分母出现零，分子也出现零，这时，定理的结论应改为

BDXCEXAF=DCXEAXFB,

仍然成立.

(2)塞瓦定理的逆定理也成立，即“在AABC的边BC,CA,AB上分别取点D,E,F,如果

BDyCEvAF

DCEAFB

那么直线AD,BE,CF相交于同一点.”

图3-102

证如图3—102,设AD和BE相交于P,作直线CP,交直线AB于F',由塞瓦定理得

BDvCEvAF

DCEAF'B

CE丫AF

由于己知----ZX.,所以

EAFB

AFf_AF

FB=FB

由合比定理得竺置=更皆，即

AB_AF

包=而，

所以F'B-FB,

即F'与F重合，所以AD,BE,CF相交于同一点.

塞巨定理的逆定理常涌:用来证明三线共点.

例3求证:三角形的三条中线、三条内角平分线和三条高所在的直线分别相交于同一点.

证(1)如果D,E,F分别是AABC的边BC,CA,AB的中点，则

BDCEAFBDCEAF

一X一X—=——X—X—=1.

DCEAFBBDCEAF

由塞瓦定理的逆定理得中线AD,BE,CF共点.

(2)如果D,E,F分别是aABC的内角平分线AD,BE,CF与边BC,CA,AB的交点，则

BDCEAFABBCAC

——X——X——=——X——X——=1.

DCEAFBACBABC

由塞瓦定理的逆定理得角平分线AD,BE,CF共点.

(3)设D,E,F分别是AABC的高AD,BE,CF的垂足.

(i)当AABC是锐角三角形时(如图3—103),D,E,F分别在BC,GA,AB上，有

BD二ccosB,DC二bcosC,CE=acosc,

EA二ccosA,AF=bcosA,FB=acosB,

所以

BD、/CE、/AFccosB、/acosC、/bcosA.

X-X1=1X,X1=].

DCEAFBbcosCccosAacosB

由塞瓦定理的逆定理得高AD,BE,CF共点.

(ii)当aABC是钝角三角形时，有

BD=ccosB,DC=bcosC,CE=acosC,

EA=ccos(180°—A)=-ccosA,

AF=bcos(180°—A)=-bcosA,

FB二acosB,

所以

BD、/CEAFccosB、/acosC、/-bcosA

----X-----X-----=----------X------------X------------=1.

DCEAFBbcosC-ccosAacosB

由塞瓦定理的逆定理，得高AD,BE,CF共点.

(iii)当4ABC是直角三角形时，高AD,BE,CF都经过直角顶点，所以它们共点.

例4在三角形ABC的边上向外作正方形，A“Bi,G是正方形的边BC,CA,AB的对边的中点，证明：直线

AA,,BBi,CG相交于一点.

图3-104

证如图3—104.设直线AAi,BB,,CG与边BC,CA,AB6勺交点分别为A?,B?,C2,那么BA?:A《等于从点

B和C到边AA,的垂线的长度之比，即

BA2_S^ABAIAB•BAj♦sin/ABA1

=

SAACAAC•CA,•sinZACA,

AB.sin(NB+Ne)

=AC*sin(Zc+Z0)

其中N6二NCBA尸NBCAi.同理

CB2BCsin(NC+Ne)

=

^AABsm(ZA+Z^)

AC2_ACsin(NA+/£)

=

C^BBCwn(NB+N8)

将上述三式相乘得

BA2.CB2.AC2

A^C*B^A*C^B

根据塞瓦定理的逆定理，得AAi,BBi,CG共点.

3.斯台沃特定理

图3-105

定理Z\ABC的边BC上任取一点D,若BD二u,DC二v,AD二t,则

2b2u+c2v

t=----------------uv.

a

证过A作AE_LBC,E为垂足(如图3—105),设DE二x,则有

AE2=b2-(v—x)2=c2-(u+x)2=t2-x2,

(若E在BC的延长线上，则v—x换成x-v.)于是得

t2=b2-v2+2ux,

t2=c2-u2-2ux.

消去x得

(u+v)2=b2u+c2v—uv(u+v),

所以

说明⑴当AJD是△ABC的中线时，u=v=[a,设AD=ma得

ma=g72b2+2c2-a2,

这就是中线长公式.

(2)当AD是△ABC的内角平分线时，由三角彩的内角平分线的性质

得u=券L含.设得

a2bebc[(b+c)2-a2]

be------=------------:—------

b+c(b+c)2

bc(b+c+a)(b+c-a)

i+b+c=2p,得

2

Jbcp(p-a).

b+c

匕是内角平分线长公式.

(3)当AD是aABC的高时，

AD?=b?—u?=c?­V'.

3u+v=a,解得

u=T^-(a2-b2+c2),v=7r-(a*+^2-c2

2a2a

2

AD=m(2&2b2+2bT+21:讨-a,_b4一与

tAD=ha,则

222222444

h4=Y-V2ab+2bc+2ca-a-b-c.

匕是三角形的高线长公式.当D在BC的延长线上时，用一v代替v,同样可得高线长线公式.

由于SAABC=%♦可得

乙

2222444

S4ABe=Tv2ab+2a2c2+2ca-a-b-c

。是三角形的面积公式.

令P=!(a+b+c)‘将上式右面根号中的式子因式分解后’使得海伦公式

S&谢=Jp(P-a)(p-b)(p-c)・

例5如图3-106.在△ABC中，c>b,AD是AABC的角平分线，E在BC上，BE二CD.求证:

AE2—AD2=(c—b)2.

证为方便起见，设BD=u,DC=v,则BE=v,EC=u.由斯台沃特定理得

他:也立-叫"也-必

U+VU+V

AE2-AD2=^-(c2-b2)=(c-b)2.

c+b

3AD是角平分线，所以

ucu-vc-b

—=",-=------,

vbu+vc+b

C2(u-v)-b2(u-V)U-V2、

AatE72J-ADJ=---------------------------=-------C2-bJ).

u+vu+v

托勒密定理

托勒密(Ptolemy,约公元85〜165年)是古代天文学的集大成者.一般几何教科书中的“托勒密定理”(圆内接四边形6

式之和等于对角线之积)，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。从这个定理可以推出正弦、

$和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.

定理如果四边形内接于圆，那么它的两对对边的乘积之和等于它的对痢线的乘积.

证设四边形ABCD有外接圆0,AC和BD相交于P,NCPD二a（图3—107）.若四边形ABCD的四边都相等，则四边形A

9内接菱形，即正方形，结论显然成立.若四边不全相等，不失一般性，设

3<AP.在AD上取一点E,使DE=AB,连结AE,BE,DE,则AE〃BD,于是AABD且AEDB.

\D=BE.

=2ACXBDXsince,

Q四功用处CD2

=g(BEXBC+DEXCD)sinZEBC.

Q四❷簿BCDE

=

SfStJifllA9C0S'34<JBCOE,

g(BEXBC+DE义CD)sinZEBC

=|ACXBDXsince,

(ADXBC+ABXCD)sinZEBC=ACXBDXsina.

Na=NDAC+NADB=ZDBC+NEBD=NEBC,

z

ADXBC+ABXCD=ACXBD.

说明(1)托勒密定理可以作如下推广：“在凸四边形ABCD中，

ABXCD+ADXBC^ACXBD.

L仅当四边形ABCD是圆内接四边形时，等号成立.”

由此可知，托勒密定理的逆定理也成立.

(2)托勒密定理的证明方法很多，这里采用的是面积证法.还可采用相似三角形或余弦定理证明，请读者自行完成.

例6如图3—108.过A的圆截平行四边形ABCD的边和对角线分别亍P,Q,R,求证:

APXAB+AQXAD=ARXAC.

连结PQ,PR,QR.在圆内接四边形APRQ中，由托勒密定理得

APXQR+AQXPR=ARXPQ.

口为N1=N2,N3=N4,所以△PQRs<ACAB,于是

QR_PR_PQ