1.1 三角形内角和定理 第1课时同步课件-北师大版(2024)八下课件

北师版-数学-八年级下册第一章三角形的证明及其应用1三角形内角和定理第1课时三角形内角和与全等三角形的性质与判定情境导入1．旧知回顾(1)请回顾平角的定义及平行线的性质，并完成下面的填空：已知：如图，点B，A，E在同一直线上，∠1＝∠B.求证：∠C＝∠2.证明：∵∠1＝∠B(____________)，∴AD∥BC(____________).∴∠C＝∠2(____________).(2)回顾七年级下册学过的全等三角形的判定方法①两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS).②两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA).③三边对应相等的两个三角形全等(SSS).2．课堂导入

如图，假如你正站在金字塔下．现有用于测量角的量角器，但为了保护文化遗产，在不允许人攀爬的情况下，你能想办法测量塔尖处一个侧面角的度数吗？说一说你的做法．可以先测出侧面三角形底边上的两个角，再求出塔尖处的侧面角．【探究1】三角形的内角和探究新知我们知道，三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗?测量法60°+48°+72°=180°折叠法在七年级，我们曾剪下三角形的一个内角进行转移，然后借助平行线的判定与性质证明这个结论.(1)如图，如果只把∠A移动到∠1的位置，那么你能说明这个结论的正确性吗?如图，由操作可知∠A=∠1，可以利用“内错角相等，两直线平行”证明一组平行线，进而利用平行线的性质及平角的定义说明结论是正确的.尝试·交流如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果?如果不移动∠A，那么可以思考构造平行线将等角进行转移.如图，可以构造CE∥AB，这样同样可以达到将∠A转移到∠1的位置的效果.(2)你能说说这个结论的证明思路吗?请试着写出证明过程.已知：如图，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°.证明：如图，延长BC至D，过点C作射线CE，使CE∥BA，则∠1=∠A，∠2=∠B.∵点B，C，D在同一条直线上，∴∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.DE21这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.(1)如图，在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个内角“凑”到点A处，过点A作直线PQ，使PQ∥BC，他的想法可行吗?如果可行，你能写出证明过程吗?思考·交流可行.∵PQ∥BC(已知)，∴∠PAB=∠ABC，∠QAC=∠ACB(两直线平行，内错角相等).又∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°(平角的定义)，∴∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°(等量代换).(2)对于三角形内角和定理，你还有其他证明方法吗?证明：在BC上任取一点D，过点D分别作MD∥AC交AB于点M，ND∥AB交AC于点N，∵MD∥AC，ND∥AB，∴∠1=∠C，∠3=∠B，∠2=∠BMD=∠A.又∠1+∠2+∠3=180°，∴∠C+∠A+∠B=180°.ABCDMN123为了证明三个角的和为180°,将其转化为一个平角，这种转化思想是数学中的常用方法.【例1】一个三角形三个内角的度数之比为2∶4∶6，则这个三角形是

()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形B【例2】为了证明“三角形的内角和是180°”，老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题：ABCFE延长AC

到点F,过点C作CE∥AB图②ABCFE过AB上一点D作DE∥BC,DF∥AC图③ABCEF过点C作EE∥AB图①ABCD过点C作CD⊥AB于点D图④(1)能证明“三角形内角和是180°”的方法是图________(请填写序号)；ABCFE延长AC

到点F,过点C作CE∥AB图②ABCFE过AB上一点D作DE∥BC,DF∥AC图③ABCEF过点C作EE∥AB图①ABCD过点C作CD⊥AB于点D图④(1)解：①②③(2)在(1)的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明．ABCFE延长AC

到点F,过点C作CE∥AB图②ABCFE过AB上一点D作DE∥BC,DF∥AC图③ABCEF过点C作EE∥AB图①ABCD过点C作CD⊥AB于点D图④(2)证明：当选择图①时，如图①.321ABCEF过点C作EE∥AB图①∵EF∥AB，∴∠1＝∠A，∠3＝∠B.∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴∠A＋∠2＋∠B＝180°，∴三角形的内角和为180°.2当选择图②时，ABCFE延长AC

到点F,过点C作CE∥AB图②∵CE∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ECB＝∠B.∵∠FCE＋∠ECB＋∠ACB＝180°，∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴三角形的内角和为180°.当选择图③时，ABCFE过AB上一点D作DE∥BC,DF∥AC图③∴∠A＝∠FDB，∠B＝∠EDA，∠FDE＝∠AED＝∠C.∵∠FDB＋∠EDA＋∠FDE＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴三角形的内角和为180°.∵DE∥BC，DF∥AC，【探究2】三角形全等的性质及判定我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗?尝试·思考证明推论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠D＋∠E＋∠F＝180°，∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)，∠F＝180°－(∠D＋∠E).又∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴∠C＝∠F.又∵BC＝EF，∴△ABC≌△DEF(ASA).根据全等三角形的定义，我们可以得到定理

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.(AAS)

全等三角形的对应边相等、对应角相等.【例3】如图，在△ABC中，∠A＝60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE的度数为________．65°【例4】如图，已知∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM.求证：∠B＝∠ANM.证明：∵∠BAC＝∠DAM，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAM－∠DAC，∴∠BAD＝∠NAM.∴△BAD≌△NAM(SAS)，∴∠B＝∠ANM.

例1如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.应用举例BCAD解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理).BCAD∵∠B=38°，∠C=62°，∵∠B=38°，∠C=62°，∴∠BAC=180°-38°-62°=80°.∵AD平分∠BAC，

在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理).∵∠B=38°，∠BAD=40°，∴∠ADB=180°-38°-40°=102°.例2如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠A＝50°，求∠BOC的度数解：在△ABC中，∠A＝50°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝130°.∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，

在△OBC中，∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝115°.例3如图，AB∥CD，E为BD上一点，AB＝ED，连接CE，且∠1＝∠C.(1)求证：△ABD≌△EDC；【方法指导】(1)根据AB∥CD，得出∠B＝∠BDC，结合已知条件，根据AAS即可证明．(1)证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BDC.又∵AB＝ED，∠1＝∠C，∴△ABD≌△EDC(AAS).(2)若∠B＝35°，∠1＝22°，求∠BEC的度数．(2)解：∵△ABD≌△EDC，(2)根据△ABD≌△EDC，得出∠BDC＝∠B＝35°，∠C＝∠1＝22°，根据三角形内角和定理即可求解．∴∠BDC＝∠B＝35°，∠C＝∠1＝22°，∴∠DEC＝180°－∠BDC－∠C＝123°，∴∠BEC＝180°－∠DEC＝57°.归纳总结三角形内角和定理判定：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等借助平行线将三角形的三个内角拼成一个平角性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等证明全等三角形内容三角形三个内角的和等于180°随堂练习1．一个三角形三个内角的度数之比为1∶4∶5，则这个三角形是

()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形B2．如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别位于直线AD的两侧，且∠1＝∠2，∠B＝∠E，AF＝DC.求证：AB＝DE.证明：∵AF＝DC，∴AF＋CF＝DC＋CF，即AC＝DF，

∴△ABC≌△DEF(AAS)，∴AB＝DE.3.

如图，在△ABC中，已知∠A=50°，BD与CE是△ABC的高，点O是它们的交点，求∠ABD，∠COD的度数.解：∵BD与CE是△ABC的高，∴∠ADB=90°，∠BEC=90°.∵∠A=50°，∴∠ABD=180°-∠A-∠ADB=180°-50°-90°=40°，∴∠BOE=180°-∠BEC-∠