1.2 等腰三角形 第2课时同步课件-北师大版(2024)八下课件

北师版-数学-八年级下册第一章三角形的证明及其应用2等腰三角形第2课时等腰三角形的判定与反证法复习导入(1)等腰三角形的两底角________．(2)等腰三角形_____________、____________及_____________重合．(3)等边三角形的三个内角都_______，并且每个内角都是_______．相等顶角的平分线底边上的中线底边上的高相等60°【探究1】等腰三角形的判定探究新知前面已经证明了等腰三角形的两底角相等.反过来有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?ABC可以发现：有两个角相等的三角形是等腰三角形.ABC如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC，只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了.如何证明这一结论呢?如图所示，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则∠ADB=∠ADC=90°.ABCD在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(AAS)，∴AB=AC(全等三角形的对应边相等).等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).BCA符号语言：在△ABC中，∵∠B=∠C

，∴AB=AC.注意：（1）“等角对等边”的运用前提是在同一个三角形中.（2）在未判定出三角形是等腰三角形时，不能用“底角”“顶角”“腰”“底边”这些名词.等腰三角形判定方法归纳：判定方法边角两条边相等的三角形是等腰三角形两个角相等的三角形是等腰三角形例1已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形.证明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA，∴△ABD≌△DCA(SSS).∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等).∴AE=DE(等角对等边).∴△AED是等腰三角形.解题通法“等角对等边”是证明两条线段相等的常用方法.在证明时，往往通过计算三角形各角的度数、利用角的关系或全等三角形得到同一个三角形中的两个角相等，进而得到边相等.【探究2】反证法在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.你认为小明这个结论成立吗?小明的思考过程如下.你能理解他的推理过程吗?BCA如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等.假设AB=AC，那么根据定理“等边对等角”可得∠C=∠B，这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC.像小明那样，在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.注意：用反证法证明时，如果结论的反面不止一种情况，那么必须把各种可能的情况一一加以否定，才能肯定原结论是正确的;例2用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：△ABC.求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角.证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°.于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°.这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立.所以，一个三角形中不能有两个角是直角.注意：用反证法证明时，否定的是命题的结论，而不是条件.解题通法

用反证法证明的一般步骤(1)先假设结论的反面是正确的；(2)然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已有定理、定义或已知条件相矛盾的结果；(3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.【例1】如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上．若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有

()A．2个

B．3个C．4个

D．5个应用举例C【例2】用反证法证明某一命题的结论“a>b”时，应假设

()A．a<bB．a≥bC．a＝bD．a≤b【例3】在△ABC中，∠A＝100°.若∠B＝______，则△ABC是等腰三角形．D40°【例4】如图，AB＝DC，BD＝CA.求证：△AED是等腰三角形．

∴△ABD≌△DCA(SSS)，∴∠ADB＝∠DAC，∴AE＝DE，∴△AED是等腰三角形．【方法指导】要证明△AED是等腰三角形，可以通过△ABD≌△DCA得到∠DAE＝∠ADE.【例5】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AD于点F，交AC于点E，求证：△AEF是等腰三角形．【方法指导】根据角平分线和余角的性质，可得相等的角，再根据等角对等边得到等腰三角形．证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ABC＋∠C＝90°，∠ABC＋∠1＝90°，∴∠1＝∠C.又∵BE平分∠ABC，∴∠2＝∠3，∴∠1＋∠2＝∠1＋∠3.又∵∠AFE＝∠1＋∠2，∠AEF＝∠C＋∠3＝∠1＋∠3，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF，∴△AEF是等腰三角形．【例6】用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是钝角．已知：△ABC.求证：∠A，∠B，∠C不能有两个角是钝角．【方法指导】利用“反证法”的一般步骤：(1)假设；(2)归谬；(3)结论来证明．证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角都是钝角，不妨设∠A和∠B是钝角，即∠A＞90°，∠B＞90°，于是∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾．因此“∠A和∠B是钝角”的假设不成立，所以，一个三角形中不能有两个角是钝角．归纳总结在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为“等角对等边”等腰三角形的判定反证法判定定理有两条边相等的三角形是等腰三角形定义法引入随堂练习1．在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝3，则AC的长为

()A．2 B．3C．4 D．5B2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径画圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数为()A．30°B．45°C．60°D．90°B3．用反证法证明结论“a，b，c至少有一个是正数”，应先假设

()A．a，b，c都是正数

B．a，b，c都不是正数C．a，b，c至多有一个正数

D．a，b，c至多有两个正数B4.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由.解：△BDE是等腰三角形.理由如下：∵BD平分∠ABC，∴∠EB