1.5 角平分线 第2课时同步课件-北师大版(2024)八下课件

北师版-数学-八年级下册第一章三角形的证明及其应用5

角平分线第2课时三角形的三条角平分线情境导入问题

角平分线的性质定理及判定定理是什么？性质定理：判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.填一填：(1)角平分线上的点到这个角的两边的距离_______；(2)在一个角的内部到角的两边距离________的点在这个角的___________；(3)三角形三边的垂直平分线相交于_______点，并且这一点到三个顶点的距离_______．相等相等平分线上一相等思考：三角形的三个内角平分线的特点？三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等．探究新知探究1【三角形三条内角平分线性质】如图，分别折出三个角的平分线，然后观察三条角平分线有什么特点．发现：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别是D，E，F.求证：∠A的平分线经过点P，

且PD＝PE＝PF.求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．ABCPEFMDN证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为D，E，ABCPEFMDN∴PD＝PE.同理，PE＝PF，∴PD＝PE＝PF.∴点P在∠A的平分线上，即∠A的平分线经过点P.探究2比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理．请填表：

三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于________________交于_______________钝角三角形交于________________直角三角形交于________________交点性质到三角形的__________的距离相等到三角形的_____的距离相等三角形内一点三角形外一点斜边上的中点三个顶点三角形内一点三边应用举例A．1∶1∶1B．1∶2∶3C．2∶3∶4D．3∶4∶5【方法指导】利用三角形角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形的高相等，底边长分别是20，30，40，利用等高不同底的三角形的面积之比等于底边之比得出答案．例1如图，△ABC的边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于(

)BCAOCACBED例2如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.(1)已知CD＝4cm，求AC的长；(2)求证：AB＝AC＋CD.【方法指导】(1)求AC的长，因为AC＝BC，BC＝CD＋DB，也就是求CD＋DB的和，根据角平分线的性质定理可知，CD＝DE＝4cm，可证Rt△DEB是等腰直角三角形，利用勾股定理求得BD的长度；(2)AB＝AE＋EB，因为AE与AC相等，DE与EB相等，可证得AB＝AC＋CD.(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝4cm.∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC.

∴∠BDE＝90°－45°＝45°，∴BE＝DE＝4cm.

ACBEDACBED(2)证明：易证△ACD≌△AED(AAS)，∴AC＝AE，CD＝ED.易得BE＝DE＝CD，∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD.随堂练习1．到三角形三边距离相等的点是()A．三条高的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．不能确定C

CADOEBC3.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE是△ABC的角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N.求证：FE=FD.证明：如图所示，过点F作FG⊥AC于点G.又∵AD平分∠BAC，FM⊥AB，∴FM=FG(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).同理可得FN=FG，∴FM=FN.∵∠ACB=90°，CE平分∠ACB，∴∠ECA=45°，∵∠B=60°，∴∠BAC=30°，

∠MEF=∠EAC+∠ECA=30°+45°=75°(三角形外角的性质)，∴∠NDF=∠BAD+∠B=15°+60°=75°(三角形外角的性质